我第一次读弗赖登塔尔的《作为教育任务的数学》的时候工作才满三年，因为当时总是听到我们的学生出国后数学比外国学生怎么怎么好，觉得国外的数学教育不如我们的好，所以只是略读了一下，也没有留下很深刻的印象．随着时间的推移，我的教学从一开始的解题、归纳、整理的感性阶段逐步转向研究课堂、研究学生的理性阶段，加上数学教育改革的呼声越来越高，同时新课程即将全面实施，再翻出这本《作为教育任务的数学》，一口气读完前十章，发现新课程的很多理念和弗赖登塔尔关于数学和数学教育的主要思想是一致的．以下是我再读此书的一些体会．

一、学习过程的层次性决定了教学过程的层次性

弗赖登塔尔认为，作为教育任务的数学是系统化了的常识．如3+2=5，矩形的面积等于长乘高，都是常识．这些常识是可靠的，不像某些物理现象(如感觉铁比木冷；以为运动物体会无条件地终于停止)会把人引入歧途．因为这样，数学比任何其他自然科学都更易于创造：一个聪明的儿童，靠自己就能发现或创造出许多数学知识．

常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则(如加法交换律)．这些法则在高一层次里又成为常识，再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷．这样，数学的发展过程就显出层次性，构成许多等级；同时也形成诸多如抽象、严密、系统等特性．一个人在数学上能达到怎样的层次，则因人而异，决定于他的先天和后天条件．但是，一个为多数人都能达到的层次必然存在．数学教育家的任务就在于帮助多数人去达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指出达到这个层次的途径．

例如只要演示一些平行四边形的图形，学生也能掌握什么是平行四边形，这就像告诉儿童什么是椅子一样的一种抽象化，并没有什么神秘．但是现在通常的过程却是由教师给出平行四边形的一个形式定义，于是一个层次被跳过了，学生又被剥夺了创造定义的机会．甚至还有更糟的，因为在这个阶段，学生根本不可能理解形式定义，更无法理解形式定义的目的和意义．如果允许一个学生重新创造几何，他会怎样做呢?给他一些平行四边形，他会发现许多共性，发现如对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、由对角线分成的某些三角形全等，以及用全等的平行四边形铺满平面的可能性等等大量重要的性质．接着他又会发现这些性质之间的联系，通过铺平面是导致这些发现的最有效的方法．于是就开始了逻辑地组织，用蕴含箭头记号来标志这些关系，最终他会发现由其中的一个性质就可导出所有其他的性质；也许不同的学生会选择不同的基本性质，由此，学生就抓住了形式定义的含义，它的相对性，以及定义等价的概念；通过这样的过程，学生学会了定义这种数学活动，而不是将定义强加于他．

弗赖登塔尔尖锐的指出：“……当然一些权威的数学家十分讨厌这样的教学．往往在学生还不知道定义是什么时，就要求他进行证明!难道定义、假设、命题、证明就是唯一正确的顺序?事实上，这些权威数学家忘记了他自己开始观察并研究一个新领域时，也并不是按照这个顺序的．……”

我们在教学中往往会要求学生一步就达到较高层次，或者将最低层次的教学跳过了，因为觉得内容太简单了．例如每堂新课，我们都是迫不及待的给出定义、定理或公式，剥夺了学生创造定义、定理或公式的机会．在讲到函数的极值和单调性时，我们有的教师极不愿意将极值和单调性分为两课时，也不管学生的层次，因为他只考虑内容的完美性，而无视学习过程的层次性．这些做法都是不负责任的，也是与新课程以学生为主体的理念相违背的．

二、学习数学的唯一正确方法是实行“再创造"决定教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造

弗赖登塔尔认为这是一种最自然的、最有效的学习方法．因为只有通过自己的再创造而获得的知识才真被掌握，才可以灵活应用；而更为重要的是，数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳，我们也必须在做数学中学习数学，也就是在创造数学中学习数学．弗赖登塔尔指出，搞数学研究的人就是用再创造的方法去阅读别人的论文的．

他指出：数学家向来都不是按照他创造数学的思维过程去叙述他的工作成果，而是恰好相反，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其他的东西推导出来．就像乐章的序曲一样，序言通常是最后才写的，把它放在本书的最前面，这是一种写作风格的反映．为适于印刷，必须把发现一项成果的顺序颠倒过来加以阐述；特别是对一些关键性的定义，它们其实是结构的最终笔触，却总被摆在最前面．弗赖登塔尔把这种叙述方法称为“教学法的颠倒”，指出了这种颠倒掩盖了创造的思维过程，唯一与教学法有关的要素——题材的分析被抛弃了，学生面对的只是分析的结果，或是看着知道结果的教师将被分析的内容再放在一起．如果学习者不实行再创造，他对学习的内容就难以真正的理解，更谈不上灵活应用了．

他还指出：今天，原则上似乎已普遍接受再创造方法，但在实践中真正做到的却并不多，其理由也许容易理解，因为教育是一个从理想到现实，从要求到完成的长期的过程．

他讲了一些课堂案例．例如：一所中学七、八年级的数学课，教师滔滔不绝地讲解，几乎没有时间进行提问，虽然最初10分钟让学生重复前节课的内容，但由于学生表达不好，还被教师打断了好几次．接着又观摩了五、七、十年级的数学公开课，那些最高水平的教师足足讲了三刻钟，学生甚至不敢透气，随后进行书面练习，要求学生运用教师已经证明的定理，也只是将定理中出现的参数赋以具体数值．

“最令我沮丧的是参加公开课的教师，他们显然认为这样一个过程是教学法的模式，并且赞赏执教者的高质量表现，他们似乎并非意识到这就是有人曾经夸张地描述过的学校：“每一个人都在睡觉而仅有一个人在讲，这种状态就是教学．这样的上课方式是电视屏幕上的方式，也许可以称之为TV模式．”

这是多么辛辣的讽刺啊！看到这里我也不禁汗颜，我们很多认为是优秀的课不就是这么上的吗！

三、教育思想的发展和课程的改革要求教师经常“充电”

弗赖登塔尔首先强调教师应该有数学应用方面的教学，他写道：数学教师通常认为，我教我理解的数学，对于应用我不了解，即使知道一点，也不符合数学的严谨性，我又无法使之严密化，如果将它们放进来，就会破坏了数学的逻辑结构．我们不应责怪数学教师的无知，因为他确实不知道如何用数学．他上哪儿去学呢?许多国家的数学教师培训中很少包含自然科学的副修课，而很多教数学的人自己也不懂物理，或是只学过非数学化的物理，培训课程与应用毫无关系．有个组织这类课程的人曾对我说：“如果将有用的数学教给教师，等教师一旦掌握，企业就会将他们买去，所以只能教给他们永远不能用于校外的数学．”

其次，弗赖登塔尔谈到数学教师的“双重遗忘”，即第一次进入大学时忘记中学数学，随后回到中学当教师又忘记高等数学．

比如我们在教导数、概率等内容时，很多教师把高等数学已经忘得差不多了，同时很多教师没有学过平面向量，有的教师就今天备一课，明天就上这一课，弗赖登塔尔把这讽刺为“多么短的消化道啊！”

最后，弗赖登塔尔指出数学教师培训的最低要求：

 (1)使教师能自信地使用现代数学的基本方法，

 (2)提供为理解现代数学结构所必需的基本知识，

 (3)发展有关如何应用数学的某些概念，

 (4)对如何进行数学研究作初步介绍．

虽然这本著作是上各世纪70年代初出版的，但是其思想影响之大，新课程中也体现出来了，这本书值得我们每一位从事数学教育的人认真读一读． 

                       作者：盛淳