初中数学“图形与几何”内容

八年级下册

1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。

 

 

几何语言：如图所示 ∵△ABC≌△DEF  ∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，BC=EF，AC=DF

 

2、全等三角形的判定方法：

（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）
几何语言：如图所示

∵AB=DE，BC=EF，AC=DF        ∴△ABC≌△DEF

（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）

几何语言：如图所示

∵AB=DE，∠A=∠D，AC=DF        ∴△ABC≌△DEF

（3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）

几何语言：如图所示

∵∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E        ∴△ABC≌△DEF

（4）角角边：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

几何语言：如图所示

∵∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF        ∴△ABC≌△DEF

（5）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（H L）

 

 

几何语言：如图所示 ∵AB=DE，BC=EF（AB=DE，AC=DF）  ∴△ABC≌△DEF

 

 

 

（性质）几何语言： 如图所示 ∵ PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF），EC⊥PA于C，ED⊥PB于D ∴EC=ED

 

 

 

（判定）几何语言： 如图所示 ∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED ∴点E在∠APB的平分线上

 

3、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
 

 

 

 

 

 

 

4、角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
5 、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

 

	（性质）几何语言： 如图所示 ∵MN是线段AB的垂直平 分线（或MN⊥AB于D，AD＝BD） ∴CA=CB		（判定）几何语言： 如图所示 ∵CA=CB ∴点C在线段AB的垂直平分线MN上

 

 

 

 

 

 

 

 

6、线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

7、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

几何语言：

如图所示，在△ABC中

∵AB＝AC     

∴∠B＝∠C（等边对等角）

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

 

 

	几何语言： 如图所示，在△ABC中 ①    ∵AB＝AC，BD＝DC     ∴∠1＝∠2，AD⊥BC ②∵AB＝AC，∠1＝∠2     ∴AD⊥BC，BD＝DC ③∵AB＝AC，AD⊥BC      ∴∠1＝∠2，BD＝DC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

几何语言：

如图所示，在△ABC中

∵∠B＝∠C     

∴AB＝AC（等角对等边）

9、等边三角形的性质定理：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°  。

 

 

	（性质定理）几何语言： 如图所示， ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC， ∠A=∠B=∠C=60°

 

 

	（判定定理）几何语言： 如图所示，在△ABC中 （1）∵∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形 （2）∵∠A=∠B，∠A=60° ∴△ABC是等边三角形

 

 

 

 

 

 

 

 

10、等边三角形的判定定理：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

11、直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

几何语言：如图所示

∵∠C＝90°，∠B＝30°

∴AC＝ AB（或者AB＝2AC）

 

 

 

（定理）几何语言： 如图所示， 在Rt△ABC中， AC2+BC2=AB2

 

 

 

（逆定理）几何语言： 如图所示，在△ABC中 ∵AC2+BC2=AB2 ∴△ABC是直角三角形

 

12、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²。

 

 

 

 

13、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。

14、直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

 

 

（性质）几何语言：如图所示， （1）∵△ABC是直角三角形，D是AB的中点     ∴CD=AB（或AB=2CD） （2）∵△ABC是直角三角形  ∴∠A+∠B=90°

 

（2）直角三角形的两个锐角互余。

 

 

 

 

 

 

 

15、平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行。

（2）平行四边形的对边相等。

（3）平行四边形的对角相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

 

 

	（性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是平行四边形  ∴AB∥CD，AD∥BC （2）∵四边形ABCD是平行四边形  ∴AB=CD，AD=BC （3）∵四边形ABCD是平行四边形  ∴∠ABC=∠ADC，∠ BAD=∠BCD （4）∵四边形ABCD是平行四边形  ∴OA=OC，OB=OD

 

 

 

 

 

 

 

16、平行四边形的判定方法：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义）

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

16、三角形的中位线定理：

 

 

	（判定）几何语言：如图所示， （1）∵AB∥CD，AD∥BC                                   ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）∵AB=CD，AD=BC                    ∴四边形ABCD是平行四边形 （3）∵OA=OC，OB=OD                ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵ABCD（或ADBC）                 ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵∠ABC=∠ADC，∠ BAD=∠BCD     ∴四边形ABCD是平行四边形

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

几何语言：如图所示，在△ABC中

∵D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=BC

17、两条平行线间的任何一组平行线段相等 。
18、矩形的性质：（平行四边形具有的性质都具有）

（1）矩形的四个角都是直角。

 

 

（性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是矩形  ∴∠ABC=∠BCD＝∠CDA =∠DAB＝90° （2）∵四边形ABCD是矩形  ∴AC=BD

 

（2）矩形的对角线相等。

 

 

 

 

 

20、矩形的判定方法：

（1）有一个是直角的平行四边形是矩形。（定义）

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

 

 

	（判定）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC= 90°  ∴四边形ABCD是矩形 （2）∵∠ABC=∠BCD＝∠CDA＝90°            ∴四边形ABCD是矩形 （3）∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD       ∴四边形ABCD是矩形

 

 

 

 

21、菱形的性质：（平行四边形具有的性质都具有）

（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

 

 

	（性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是菱形    ∴AB=BC＝CD =DA （2）∵四边形ABCD是菱形  ∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB

 

 

 

 

 

22、菱形的判定方法：                                                 

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义）

（2）四边相等的四边形是菱形。

 

（判定）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC  ∴四边形ABCD是菱形 （2）∵AB=BC＝CD =DA    ∴四边形ABCD是菱形 （3）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形

 

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

 

 

 

 

 

 

23、菱形的面积=对角线（AC、BD）乘积的一半，即S=（AC×BD） 。

24、正方形的性质：（矩形、菱形具有的性质都具有）

（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

（2）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，

每条对角线平分一组对角。

 

 

（性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC＝CD =DA，∠ABC=∠BCD＝∠CDA＝90° （2）∵四边形ABCD是正方形  ∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠ABD=∠CBD＝∠ADB=∠CDB＝∠BAC=∠DAC＝∠BCA=∠DCA＝45°

 

 

 

 

 

47、正方形的判定：（方法很多，只举三例）

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）有一个内角是直角的菱形是正方形。

（3）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

 

 

	（判定）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是矩形， AB=BC              ∴四边形ABCD是正方形 （2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°         ∴四边形ABCD是正方形 （3）∵AC⊥BD，OA=OB=OC=OD                   ∴四边形ABCD是矩形

 

 

 

 

 

25、等腰梯形的性质：

（1）等腰梯形在同一底上的两个角相等。

 

 

（性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是等腰梯形  ∴∠ABC=∠DCB， ∠DAB＝∠ADC （2）∵四边形ABCD是等腰梯形  ∴AC=BD

 

（2）等腰梯形的两条对角线相等。

 

 

 

 

 

26、等腰梯形的判定方法：

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。

（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 。

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（教材中没有）

 

 

	（判定）几何语言：如图所示，在梯形ABCD中， （1）∵AB=CD              ∴四边形ABCD是等腰梯形 （2）∵∠ABC=∠DCB（或∠DAB＝∠ADC） ∴四边形ABCD是等腰梯形 （3）∵AC=BD    ∴四边形ABCD是等腰梯形

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27、重心：

线段的重心是它的中点；               

三角形的重心是三条中线的交点；

平行四边形的重心是对角线的交点。