第一章　立体几何初步

 第一部分： 整体分析

数学分析

1．几何学是研究空间图形的科学．

英国著名数学家M．阿蒂亚曾说过，“几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的重要。即，几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。”这表明，几何不只是一个数学分支，还是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。

2．研究几何常用的方法有：综合的方法、变换的方法、代数的方法（解析几何、向量几何、代数拓扑、代数几何）等．

在高中阶段，几何的呈现形式是用综合几何的方法认识集合图形，用解析几何和向量几何的方法处理平面曲线和空间图形。这里变换的方法和代数的方法是研究几何的通性通法。

3．几何直观和几何语言是认识和描述现实世界与图形关系的重要工具。

一方面由于几何图形本身具有很强的直观性．以直观图形为载体的逻辑推理层次清晰、结论明确、可信度高；在代数分析中出现的众多几何术语表明：在某种意义上，几何直观已经渗透到一切数学领域中，甚至在那些看来几何是无所作为的领域内，几何直观仍然保持着强盛的生命力，其原因就在于几何直观能启示的东西是重要的、可接近的和有趣的。另一方面，随着计算机的普及，几何语言（如图形、表格、图像等）已经成为日常生活中一种重要的工具，从而也为几何直观在其他领域的广泛迁移提供了条件。

4．在立体几何中，点、线、面的平行、垂直等关系是研究的基本内容，这些关系在长方体中都有很好的体现，长方体是学习理解立体几何基本内容的重要模型．

5．立体几何的问题解决有助于数学思维的发展．

降维是处理立体几何问题的重要思想和方法，通过分解、投影等方式将立体几何（三维）问题转化为平面几何（二维）的问题．此外，相当多的空间图形都可以与立方体等基本图形建立联系，要么嵌入到基本几何图形，使不熟悉的问题变成较为熟悉的问题。

教育分析

1．发展学生把握空间与图形的能力，使学生更好地认识和理解人类生存的空间．

我们生活在空间与图形的世界里，图形直观、几何模型，以及几何图形的性质，是准确描述现实世界空间与图形关系，解决学习、生活和工作中各种问题的工具。随着计算机制图和成像技术的发展，处理空间与图形问题的几何方法更是被广泛应用到人类生活和社会发展的各个方面。因此，把握空间与图形的能力是学生应具备的基本数学素养，对于学生更好地认识、理解生活的空间，更好地生存与发展具有重要意义。

2．有助于发展学生的直觉能力，培养学生的创新精神．

几何作为一种直观、形象的数学模型，在发展学生的直觉能力，培养学生的创新精神方面具有独特的价值。创新，源于问题，往往发端与直觉。与数学其他分支相比，几何图形的直观、形象为学生进行自主探索、创新的活动提供了更为有利的条件。在几何中，视觉思维占主导地位，学生在运用观察、操作、作图、设计等手段探索研究几何图形性质的过程中，获得视觉上的愉悦，能增强探索的好奇心，激发出潜在的创造力，形成长效意识。

3．有助于发展学生的合情推理与演绎推理的能力，以及运用图形语言进行表达与交流的能力。

人们学习几何通常要经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等几个阶段。学生通过观察实物模型、空间几何体等，直观认识和理解空间图形的性质以及空间点、线、面的位置关系，并用数学语言表述这些性质。在此基础上通过直接观察、操作确认得出空间点、线、面的基本性质，以这些基本性质作为推理的出发点，探索并证明空间空间点、线、面位置关系的一些其他性质。这是一个对空间图形进行探索、研究，建立几何模型的过程，体现了合情推理与演绎推理的结合，这个过程有助于培养和发展学生的合情推理与演绎推理的能力，以及运用图形语言进行表达与交流的能力。

课标解读

1．整体定位

高中几何课程的设计，包括三大部分.第一部分是必修课程，包括立体几何初步、平面解析几何初步和平面向量；第二部分地选修1,2的课程，包括空间向量与立体几何、圆锥曲线与方程；第三部分是选修3,4的课程，包括球面上的几何、欧拉公式与闭曲面分类、几何证明选讲．

在必修课程中，“立体几何初步”这部分内容，从空间几何体的整体入手，观察、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识了理解空间点、线、面的平行于垂直的位置关系；然后对有关平行、垂直的性质与判定定理用数学语言进行严格的表述，对性质定理进行论证；然后给出一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

2．具体要求

（1）空间几何体

①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

②通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

③能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

④完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸。线条等不做严格要求）。

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式。

（2）点、线、面之间的位置关系

①借助长方体模型．在直观认识和理解空间点、线、面之间的位置关系的基础上抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

•公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

•公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

•公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线。

•公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

•定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中的线面平行、垂直的有关性质与判定．

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

•平面外一条直线与此平面内的的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

•一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

•一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

•一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。

•一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

•如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

•垂直于同一平面的两条直线平行。

•两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

3．课标解读

（1）在《普通高中数学课程标准（实验）》中的“立体几何初步”主要是培养和发展学生的空间想象能力与几何直观能力。几何直观可以帮助我们探索和发现图形的性质，有助于逻辑推理。例如，垂直于同一平面的两条直线平行的证明，通过几何直观可以清晰地把证明思路表示出来。

（2）在处理方式上，与以往从局部到整体（点、线、面、体）展开立体几何内容的方式不同，《标准》按照从整体到局部的方式展开立体几何内容，先通过实物模型等认识空间几何体，再以长方体作为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置关系．《标准》中“立体几何初步”突出了直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索、研究几何的过程，同时，直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算也是认识几何体的四种不同的角度。在“立体几何初步”中，以直观感知、操作确认为重点，强调建立和提升学生的空间想象力和几何直观能力，尤其是在直观图、三视图和点、线、面的位置关系的教学中尤其重要，可以为以后的学习奠定一个好的基础。

（3）在描述和解决数学问题的过程中，正确地使用数学语言是非常重要的。数学语言包括自然语言、符号语言和图形语言。培养学生学会用图形语言表述数学问题、寻求解决数学问题的思路、分析和解决问题是数学教学的基点。“立体几何初步”是培养学生这种能力的一个重要载体。

 1．知识框图

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2． 章节安排

本章教学时间约需18课时，具体分配如下：

§1  简单几何体                                 1课时

§2  直观图                                     1课时

§3  三视图                                     3课时

§4  空间图形的基本关系与公理                   2课时

§5  平行关系                                   3课时

§6  垂直关系                                   4课时

§7  简单几何体的面积和体积                     2课时

小结与复习                                      2课时

重点分析

本章的重点有两个：1．空间点、线、面的平行于垂直关系；2．用三种语言（自然语言、符号语言和图形语言）表述几何问题及其互相转化。

平行与垂直是线、面关系中最主要的基本关系。它不仅是常见的图形之间的位置关系，而且也是刻画更复杂位置关系的基础，是表示几何图形位置的基本手段，比如：在选修2中用垂直于平面的向量（即法向量）来刻画平面。

用三种语言（自然语言、符号语言和图形语言）表述几何问题及其互相转化是这部分的重点。如何几何问题都需要使用恰当的数学语言来表述，这种表述既要简洁还要准确。不同的语言其自身特点不同，在表述问题上各有优势。本章的学习，可以从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系。

教材特色

1．重视借助几何直观揭示基本概念。基础知识的本质。现代数学观点认为“几何是可视逻辑”，几何的逻辑关系很多就是在它的图形中反映出来的，几何直观正是这种逻辑关系的表现。直观性原则是数学教学的重要原则之一，通过图形的直观性能启迪思维，帮助理解数学。本教材中，几何直观主要体现在以下两个方面：

首先，教材首尾彩插及每章节都编排了丰富的图形，说明大至宇宙空间，小至细胞粒子，形形色色的丰富图形都与我们所学习的立体几何基本图形相关。多面体、旋转体、直线、圆，这些图形在我们的生活中随处可见，这反映了学生学习的数学内容是现实的、有意义的，几何的内容与现实世界有着密切联系。

其次，教材十分重视模型的作用，引导学生通过实际模型的认识、观察，归纳出空间线面关系、面面关系、直线与圆、圆与圆的位置关系。长方体是几何中的一个重要模型，整个教材中特别重视长方体这一模型的应用，通过长方体让学生在直观感知的基础上认识空间中的一般点、线、面之间的关系。

2．尊重学生的认知规律，将几何知识按照一定的逻辑顺序展开

一是从整体到局部的方式展开立体几何内容，先通过实物模型等认识空间几何体，再以长方体作为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。整体认识是从直观图开始的，为展开立体几何学习奠定必要的基础。接下来学习的三视图，使学习者获得了必要的知识，提升了空间想象力，也是后面的学习容易一些。然后，安排了空间图形基本位置关系的内容，是按位置关系进行的分类，即平行、垂直，突出了研究学习的主题。最后是解决一些简单的面积和体积的计算问题。

二是从具体到抽象。对有关线面平行。垂直关系的定理的得出，都是从具体到抽象，从长方体中具体的线面特征出发，进而得到一般结论，期望学生比较自然地接受。其中性质定理按照《课标》的要求给予了证明，判定定理不加证明，只要求直观感知、操作确认。

三是教材中性质定理的证明没有采取通常的表述形式，即紧紧跟在定理后面，而是在表述了长方体的相关性质之后，问一般情形如何，随机给出推导，这个推导就是没有写出“证明”字样的证明。这种安排突出了探索过程，思维自然，有利于学生在立体几何入门阶段不感到难，避免过于繁难的证明造成学生学习立体几何的心理障碍。

3．自然语言、符号语言、和图形语言的轮换表述和相互“翻译”。在全章的行文中，三种语言轮换地出现，给学生强烈的感受，有利于在不长的时间段高密度地接触三种语言，产生较深刻的印象，对三种语言加强理解和正确运用。

学法指导

1．开始学习本章内容是，有意观察身边的物体，直接表述或抽象后表述它的几何特征，从而认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征。

2．利用任何可以使用的材料制作模型，再根据模型绘制三视图和直观图，同学之间尽可能交换不同的模型，熟悉更多的具体的几何体及它们的三视图和直观图。有兴趣的学生，可以进一步根据三视图做出相应的模型。

3．在教材中，每一个具体的平行与垂直相关定理的学习，均让学生找出符合定理的具体的、身边的例子。这是非常重要的学习内容，在学习中，应重视这个环节，尽力去寻找和发现身边的实例。

4．加强学生对近似计算的认识．关注实际应用是21世纪数学课程改革的走向，现实问题中的数学大多是与“近似”紧密相联的，因此数学中的近似计算问题应更多地进入中学数学．特别是在解方程中，不仅要关注方程的精确解，而且要关注近似解的获得和近似程度的判定．突出近似解将使人们可解的眼界和范围扩大许多．特别是有了计算机等现代技术，近似计算的研究具有更为宽广的空间和实用价值．设计一些环节，让学生动手做近似计算，讨论近似的含义和近似计算的价值，认识近似解的获得和近似程度的判定．

5．作为本模块的最后一章，对部分学生可以引导他们自己写数学应用的小论文．教师可以交流展示这些学生的“作品”，还可以引导学生相互说出“别人的小论文好在什么地方”，给出他们一个激励的评价，从而逐渐把及时主动记录．整理知识变成学生的学习过程和习惯．

本段教学建议

在高中学习之前，学生已经初步建立了应用数学的意识和解决问题的体验，但拘于知识和能力的限制，没有开展“数学建模”的学习活动．本册教材是高中数学的第一模块，函数是高中数学的起始课程．函数的重要性主要表现在两个方面，一是函数思想的价值，二是函数的应用的价值．本册教材中单设了“函数应用”一章，力图在理念、意义、方法和能力上为高中阶段的进一步学习奠定基础．教师在教学中，既要考虑到学生在初中已有的基础，又要为整个高中阶段数学应用的学习作必要的准备．

1．处理好四个关键词

（1）．连续．在中学并不严格定义连续函数，这就需要教师从函数图像入手，通过一段曲线没有间断点来不照顾学生认识连续的意义．

（2）．近似．学生在以往的学习中，接触近似比较少，形成解方程就要得到精确解的错误认识，教师在教学中要改变学生对解的片面看法，让学生认识到，在大部分情况下，尤其是在解决实际问题的过程中，需要求方程的近似解．

（3）．逼近．在本章中，用二分法求方程的近似解就是逼近的思想．逐步逼近准确解，逐步地去求出愈来愈准确的近似值，直到近似值满足精确度要求．

（4）．模型．这里的模型是指数学模型，学生对数学模型间的相互转换并不陌生，但概括实际问题建立数学模型就很困难．数学建模的能力提高与数学理解的深入相伴相随．

2．让信息技术发挥应有的作用

在本章，信息技术充当着重要角色，二分法求方程的近似解的计算量非常大，这就需要利用计算器或计算机．在解决实际问题时，往往也需要经过复杂的计算，还需要用教学软件来处理．网络信息技术在本章中起到重要作用，学生通过上网查询资料，网络互动交流会使教学更加生动．

3．“利用函数性质判定方程解的存在”，教学中要把握好“度”，要重视引导学生从中认识到函数的作用．如“连续曲线”的概念是不加定义的；对于f(x)=0在区间（a,b）内存在实数解的条件，只需承认这个结果，能使用这个结果，能够判定方程解的存在就够了，而无需给出“函数零点的判定定理”“介值定理”“变号零点与不变号零点”等名称．

4．数学建模需要注意四点．

（1）．清晰递进地展开3个层次的教学步骤：用数学刻画实际问题；用数学解决简单的实际问题；数学建模．

（2）．关注建模的反思和改进．

数学建模具有明显的反思与改进的特征．一般来说，对问题的初步建模是比较简单的，运用假设，撇开复杂因素，将问题简单化、理想化，这样做容易得到结果，但这样的结果往往与实际不大相符，这是需要反思建模过程，分析影响因素，改进假设或选择新的模型．

要利用上述特征，数学建模的教学应认真开展反思性评价．这种评价有利于学生从多角度观察问题，思考问题，以此促使学生会质疑，会批评，在反思中进步．

（3）．有些地区的学生不熟悉教材中的函数建模案例所涉及的问题背景，教学时可以另选案例，只要利于学生经历数学建模的全过程，了解数学建模的基本步骤即可．同时教师应鼓励学生发现身边的问题，并用函数模型解决这些问题．