第三章 指数函数和对数函数

 

                           第一部分： 整体分析

 

数学分析

 

指数函数和对数函数都是非常重要的初等函数，是在学习了第二章《函数》后，系统学习的函数模型。

1．指数函数和对数函数都是非常重要的基本初等函数。国民经济增长、人口增长、细胞分裂、放射性物质的衰变等都是现实生活中的实际问题，而实数函数和对数函数正是描述这些问题的基本模型。在大学数学的学习中，一些复杂的函数可以用指数是和对数函数近似地表示，微分方程的解也多是指数函数的组合。由此可见指数函数和对数函数的重要性和基础性。

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    3．三类函数增长快慢的比较以及数量级的联系。对数函数（底数大于1）、整数指数幂、指数函数（底数大于1），这三类函数都是随着自变量的值增加而增加，但是，它们增长的速度是不同的，对数函数最慢，整数指数幂函数快一些，指数函数最快。我们常常分别称为：对数增长，多项式增长、指数增长，这些是刻画增长的最基本模式。当自变量的值增加到一定程度时，三类函数的增长将分以不同的数量级增长。掌握三类函数的增长情况，可以根据数量级恰当地描述实际生活中的问题，建立合适模型。

4．此外，指数函数和今后要学习的等比数列有紧密的联系，数列的通项就是指数的形式。同时，本章的学习也渗透了数学中常有的数学思想方法，如函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法，这些方法将贯穿数学内容的始终。

 

教育分析

 

在学习了第二章《函数》后学生对函数的概念及性质有了比较深入的认识，而本章的学习将进一步加深学生对函数的理解，丰富函数的内涵，再次体会研究函数的一般思想方法。理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用（指数函数和对数函数是描述自然界变量关系的重要模型），进而学会用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题，增强学生数学应用意识。

通过指数概念的扩充，使学生体验数学概念的发生、发展的过程，体会“用有理数逼近无理数”的思想，感受“逼近”过程；在引导学生观察、分析、抽象、概括中，培养学生的思维能力。

通过实际问题的引入和解决带有实际意义的某些问题，培养分析问题和解决问题的能力和运用数学的意识。通过动手实践等活动，引导学生对客观事物中的数量关系和数学模型进行思考和判断，培养学生的数学建模能力，进一步发展他们的数学实践能力。

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课标解读

 

1．课标要求

（1）总体要求：学生将学习至顺函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步涉及运用函数思想方法理解和处理现实生活和社会中的简单问题。

（2）具体要求

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②理解有理指数幂的含义，通过护体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

⑤理解对数函数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将

一般对数化为自然对数或常用对数；通过阅读材料，理解对数的发展历史以及其对简化运算的作用。

⑥通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解指数函数的单调性与特殊点。

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2．课标解读

（1）削弱的内容：关于反函数，只要求知道指数函数与对数函数互为反函数，暂不要求理解、求解和应用；将复合函数的概念放到“导数及其应用”的相关内容中。

（2）指数函数与对数函数处理上的变化。

突出指数函数与对数函数这两个现实世界中的重要数学模型，强调它们的实际背景和运用价值。例如，要求太高具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景；太高收集现实生活中普遍使用的指数函数与对数函数的模型实例去了解它们的广泛应用；强调太高计算工具，比较指数函数、对数函数与幂函数增长的差异，以及作为不同的函数增长模型的应用等。这一变化同样是为了使数学学习不仅对知识的学习、理解和掌握，更要体现以知识为载体育人的价值，使学生更好地认识数学、认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的应用价值等。

 

内容结构

1．知识框图

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2． 章节安排

本章教学时间约需14课时，具体分配如下：

§1  正整数指数函数                             1课时

§2  指数扩充及其运算性质                       3课时

  2．1  指数概念的扩充

  2．2  指数运算的性质

§3  指数函数                                   3课时

  3．1  指数函数的概念

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  3．3  指数函数的图像性质

§4  对数                                       2课时

  4．1  对数及其运算

  4．2  换底公式

§5  对数函数                                   3课时

  5．1  对数函数的概念

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      5．3  对数函数的图像性质

§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较         1课时

 

小结与复习                                       1课时

 

重点分析

 

本章的学习重点主要有三个：1．指数函数与对数函数的概念；2．指数函数与对数函数的图像、性质和运算性质；3．函数增长快慢的比较．

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    指数函数与对数函数的学习，是在掌握概念的基础上，研究这两个函数的图像和性质。而在这个过程中，函数的运算也是非常关键的，因为在这里运算的规律和我们以前学习过的相比有些变化，可以说为运算引入了新的对象，这也是学习本章内容的一个重点。

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教材特色

 

1．以熟悉的问题揭示本章主题。学生已对正整数指数幂非常熟悉，国民经济增长、人口增加、细胞分裂、放射性物质的衰变等，都直接与正整数指数函数相联系。因此，本章第一节安排“正整数指数函数”,自然且较容易地让学生理解了指数函数的概念．

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3．突出换底公式的作用．通常情况下，计算对数需要使用计算工具，而一般的科学计算器只能对常用对数或自然对数进行计算，因此，需要对数换底公式。在高等数学中，比较两个较大数的大小，常常要用到指数换底公式，因此，在“小资料”中，给出指数换底公式。

4．通过图像，由特殊到一般地展开指数函数和对数函数的性质。在这一章，都是先分析具体的指数函数和对数函数的图像与性质，在讨论一般的指数函数和对数函数的图像与性质。不论在具体问题的研究中，还是在一般问题的研究中，又都是先绘制函数图像草图，利用图像分析出性质。

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    6．专设“指数函数、幂函数、对数函数增长的比较”一节。这种处理具有时代意义。现代生活中，很多事物变化很快，信息膨胀，常听到“指数爆炸”等说法。本节是通过具体函数，利用计算工具，感知指数函数、幂函数、对数函数增长差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

 

学法指导

 

本章的学法指导突出作用在阅读、听课、作业、复习（预习）这四（五）个环节之中．

1．要注意引导学生阅读教材，培养学生的阅读习惯．可以在教师的指导下，围绕教材的定义、法则、问题、例题，先阅读、再发问，展开有针对性的讨论。在授课中不够采用先讲后读、边讲边读、先读后讲哪种形式，建议教师都给学生阅读教材的机会和时间，并提出相应的阅读要求。

2．帮助学生养成良好的学习习惯，针对学生在初中学习时养成的一些不利于高中数学学习的习惯，有针对性的指导、引导和检查。；例如，听课时如何抓重点、记好笔记，如何先梳理当天知识再做作业等，提出相应的要求并及时检查．

3．针对本章的特点，要注意培养作图、用图思考分析的习惯，教师讲解要突出作图、用图的过程，对学生课堂回答问题、做作业时都要引导学生主动地作图、用图。

4．针对本章特点----引入了了两种新的运算，要有意识地引导学生过好“计算关”，重点是正确地理解、选择适用的运算法则，不跳步地书写，先算对，再提高速度．教师要通过例题板书和作业讲评，注意培养学生良好的书写习惯。

5．作为本模块的第三章，对部分好学生可以引导他们自己做本章小结，教师可以给出本章小结的建议和要点，让学生自己填入针对自己的相应内容或讨论结果。教师可以通过交流展示这些学生的“作品”，还可以引导学生相互说出“别人的小结好在什么地方”，给他们一个激励的评价，逐渐把及时主动梳理知识变成学生的学习过程和习惯．

 

本段教学建议

 

1．继续发展学生对变量数学的认识

本章的学习应继续关注发展学生对变量数学的认识。要使学生进一步认识到，在充满变化的现实世界中，有一类反映运动变化的数量关系，他们都直接与指数函数、对数函数相联系。例如，国民经济增长、任课增加、细胞分裂、放射性物质的衰变……

2．要使学生经历幂指数由整数逐步扩充到实数及由指数得到对数的过程。

（1）．了解指数概念的扩充是由于数学发展和实际应用的需要。

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    （4）．随着指数概念的扩充，指数运算性质的适用范围也随之扩充。其中，恒等性质可以由定义直接证明，不等性质，在高中阶段是可以证明的，但教学中不要求给出证明，对此可以鼓励少数数学学习优秀的学生证明这些问题（优秀需要后续学习的内容），这也是提高数学素养的很好的练习。

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    3．指数函数和对数函数是高中阶段最重要的两个函数模型，必须让学生掌握包括定义域与值域、特殊的、单调性及增长速度等基础知识和研究函数的基本方法．

（1）．通过具体实例帮助学生了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景。

（2）．让学生经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图像与性质得到对数函数的概念、图像与性质的过程。

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4．由于对数增长、多项式增长、指数增长是刻画增长的最基本的模式，因而教学中要通过具体函数，让学生利用计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

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建议学生收集有关直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的实际问题，交流这三种函数类型增长的含义。可以用小论文的形式报告学生自己的研究结果，使它作为评价学生学习的一种方式。