(转)《从动力学到统计物理学》前言

来自2016.11.24 科学网 郑志刚

  这是一本试图在动力学与统计物理之间架起一座桥梁的书。动力学指的是一个系统在微观自由度层面的变量的演化行为，在物理上由经典力学或量子力学来描写。统计物理学则是一门对一个系统宏观热力学给予统计解释的学科。要架起一座桥梁并不容易，因为虽然统计物理学已经发展了１００多年，但动力学与统计力学的关系至今仍然是一个颇具争议的问题，历史上它被称为统计物理基本问题。微观动力学与统计力学及其宏观热力学的关系不仅仅在平衡态统计物理中存在。近年来随着小系统、小尺度、非广延、非平衡等因素的介入，有关基本问题的研究由于涉及到统计力学的根基而显得更加重要。

    统计物理学的研究对象是由大量单元组成的热力学系统，它成功地从微观上阐述了大自由度系统的宏观热力学现象及各种宏观行为的转变。通过引进合理的统计假设及考虑系统的各种作用，统计物理可以利用系综运算处理微观层次的复杂性，从而在宏观层次上理解热力学的一般规律。如今统计物理的思想方法和研究成果已被用于大量的领域。

    统计物理自诞生之日起就面临两对矛盾的挑战。一是系统微观动力学的确定性与统计物理研究对象行为的随机性之间的矛盾。这引出了统计物理的第一个基本问题，即统计性或随机性的动力学根源。第二对矛盾则是系统微观动力学的时间可逆性与宏观热力学过程的不可逆性之间的矛盾。这引出了统计力学中最古老和最有趣的问题之一，即第二个基本问题———宏观热力学时间不可逆性的微观起源。

   历史上对上述两对矛盾的研究是相互关联的。在微观世界中，分子运动所遵循的运动方程对时间反演不变，这种微观可逆性在某种条件下会在宏观热力学上体现出来，例如非平衡输运过程中的昂萨格倒易关系就是典型的漂亮结果。然而一般情况下，热力学过程的不可逆性是热力学的根本特点，它由热力学第二定律给出。统计物理学先驱玻尔兹曼于１８７２年推导出了稀薄气体单体约化几率分布随时间演化的方程，并推导了单粒子熵随时间单调演化的H定理，阐释了气体系统热力学过程的不可逆性，但这也受到了一些物理学家的猛烈攻击。为从动力学层面解释宏观不可逆性，玻尔兹曼提出了遍历性，由此开启了遍历理论的建立和发展过程。遍历理论在动力学和统计之间搭建了从微观到宏观的重要桥梁，此课题的重要性和意义在混沌动力学研究开展的几十年以后已不言自明。近几十年来的研究已经表明，系统微观动力学遍历性揭示了随机性和统计手段的内在起源，它们并非来自外来因素，而是来自系统微观动力学的不稳定性与内禀随机性，其中动力学的不稳定性密切联系着宏观过程的不可逆性。因此，从统计意义上来看，宏观过程的不可逆性与微观动力学的可逆性二者之间并不矛盾。在此意义上，系统的无限大自由度已不是决定性的因素。人们可以建立少自由度系统的统计力学及热力学。

   虽然关于热力学系统平衡态的微观动力学与统计之间的关系已基本清楚，但人们对非平衡态的理解，无论从宏观层面还是微观层面上都远未清楚，系统的非线性与复杂性产生的非平衡过程的多样性是建立普遍性基础理论的主要困难之一。非平衡态统计理论同样涉及类似于平衡态统计的基本问题，即动力学与统计之间的关系问题，称为非平衡态统计物理基本问题。在过去的半个多世纪里，非平衡态统计力学和不可逆过程热力学理论研究和框架构建也取得了许多令人振奋的进展。非平衡现象的研究领域已经从近平衡态扩展到了远离平衡态的系统，普利高津的耗散结构论与哈肯的协同学等一系列成果掀起了人们对非平衡系统研究的热潮，对各种非平衡现象及其内在本质普遍规律的细致深入研究已经成为了当前理论物理和其他交叉学科的重要前沿课题。纳米尺度下的非平衡行为在近二十年成为研究的热点。在纳米尺度下，一些效应变得非常重要，人们发现了系统在非平衡条件下的一系列称为涨落定理的行为关系，其中包括１９９５年加拉沃蒂与科恩针对满足阿诺索夫性的系统在混沌假设下提出的基于动力学层面的涨落定理，伊万斯与瑟尔斯在１９９４年从统计系综的角度对正逆过程的不对称性进行阐述及提出的瞬时涨落定理，加津斯基于１９９７年在热力学层面对一般非平衡过程热力学量之间关系的自由能等式，１９９８年克鲁克斯建立的热力学过程做功概率满足的半热力学涨落定理等。这些定理或关系的提出及其诠释是对一个多世纪以前统计物理基本问题和不可逆性起源问题的延续，人们在从动力学到热力学的不同层面以小系统为研究对象取得了更为深刻的理论结果，为１００多年前的那些论战提供了更为清晰的回答。另一方面，由于小尺度和小系统热力学本身就是近年来随技术发展已经提上日程的应用研究的重要问题，因此这些理论研究成果跨越了少体系统的平衡态和非平衡态统计物理与应用之间的鸿沟，实验研究为理论提供了重要的实例验证，理论结果又为小系统的热力学及其测量提供了理论依据和方法。

    有关热力学第二定律基本问题讨论的本质是对非平衡过程的理解。自然界大量的非平衡物理过程、化学反应动力学、生命过程以至于人类社会的经济等各种活动等表面上看起来似乎完全不同的非平衡现象背后是非平衡区域的输运行为，它们通过物质、能量或信息的时空迁移过程，如扩散、漂移、热传导、黏滞性等宏观现象展现出来。近年来，作用于系统上的外力总效果为零甚至无偏置外力情况下物质或能量在空间中产生的定向输运问题受到了广泛关注，对这一大类问题的研究有助于深入理解各种非平衡过程。

     热传导是能量在空间的定向输运过程，它是典型的非平衡统计热力学问题。传统热传导问题是非平衡热力学系统输运理论与线性响应理论的重要组成部分，其早期研究主要是采用唯象理论，并得到了线性响应下的傅里叶定律。基于经典和量子的微观动力学，利用统计物理方法导出热传导基本定律是非常重要的课题。低维与纳米材料的热传导理论与实验研究近年来形成了两个方面的小热潮，一个方面是正常热导率的动力学机制研究，另外一个方面则是低维体系热传导行为的应用，特别是热调控器件的理论与实验研究。

     正常热导率的问题是热传导微观动力学机制研究中非常重要的问题。近年来人们发现，低维体系的热导率不仅与材料性质有关，而且还可能是系统尺寸的函数，这种反常的热导率现象引起了人们的极大兴趣。人们从微观动力学的不同角度对大量一维和二维系统的热传导性质开展了研究，使得微观动力学行为与宏观能量输运之间的关系扩展到了更深入的从非线性动力学、声子与非线性模式动力学等角度对热传导机制的解释。这些研究促进了大自由度系统的统计性质、集体模激发性质、非线性波等相关问题的研究。基于声子图像的热传导微观理论，特别是声子的重整化理论不仅解释了热传导的微观机制，而且成功地应用到了低维材料的热导性质参数的计算中。

     热传导微观机制的研究也为实现能量输运与热传导过程的调控提供了必要的理论基础。以２００２年特拉尼奥等人通过引入缺陷成功控制热流而开辟热输运调控的新方向为起点，人们提出了热二极管、热三极管、热逻辑门等热调控器件的基本机制，并已在实验研究方面取得了进展。这些潜在的应用推动沉寂多年的声子学作为一门兼跨理论研究与实际应用的学科与电子学和光子学等站在一起，焕发新的生机和活力。

   非平衡系统在外力总效果为零的情况下发生定向输运，意味着内部或外部的某些对称性被打破，以此将非定向驱动的能量或涨落转化为定向的物质流动或做功。这种现象在物理上称为棘轮效应。在生物学中也有一类与此相关的被称为分子马达的分子机器。分子马达的行为是生命活动中最典型、最基本的非平衡现象。生命体区别于非生命体的重要标志是主动运动，实现各种主动的运动是通过被称为分子马达的蛋白酶来完成的，它们扮演着生命宏观活动的微观守护神的角色，在生物体内无处不在，并执行着如肌肉收缩、细胞内和细胞间的物质输运、DNA复制、细胞分裂等各种各样的生物功能。因此，探索细胞层次的生命运动不仅是生物学的重要使命，也是物理学家非常感兴趣的领域。

   分子马达的结构和功能具有多样性。另一方面，很多不同种类的分子马达分享着类似的基本物理原理。因此，即使不同分子马达进化过程毫不相关，生物功能也各不相同，但对某一分子马达的分析都可以不断地启示我们对其他分子马达功能的确定。物理学家更喜欢透过现象看本质，并通过建立简单的模型来探讨分子马达产生定向输运的生物复杂性行为，通过了解这些不同种类的分子马达的结构和功能，进一步在物理上利用简单的机理和方程来揭示和描述其运动。对于分子马达功能的深入和更为丰富的理解，需要生物学、物理学、化学和力学的交叉。生物分子马达的研究是近年来生物学和物理学融合成果丰硕的热点领域之一。由于分子马达蛋白尺度小以及它们的工作大多处在热运动起重要作用的条件下，测量分子马达速率及发现相关的物理量在技术上就很具挑战性。许多用于各种物理概念测量的精巧技术大部分是由生物学家和物理学家一起合作开发的。

 上述的一些列涉及统计物理的激动人心的新课题表明了一个重要事实，那就是系统的微观动力学扮演着重要的角色。一方面，微观动力学的遍历理论为统计思想和方法的运用提供了基础，架起了从动力学到统计的桥梁;另一方面，微观动力学远远不限于满足遍历性这样相对简单的满足一定统计性的特征，遍历性破缺的情形随处可见。系统在微观动力学的这种复杂性使得系统会表现出各种非平衡的宏观涌现行为。物理上的平衡态与非平衡态相变就为我们展现了丰富多彩的由于遍历性破缺或对称破缺而产生的现象。我们不准备在本书中对这些问题的各个方面进行面面俱到的讨论，而是集中论述平衡态和非平衡态统计物理的基本问题及其近年来围绕基本问题的一些重要研究成果，主要内容包括平衡态统计物理基本问题，即动力系统学理论与遍历理论、少体系统的统计力学、高维哈密顿系统的动力学微分几何理论与拓扑相变、有限非平衡体系的涨落定理、低维体系的热传导与反常扩散、分子马达与定向输运等。本书自始自终贯穿的一条主线是热力学与统计力学中微观动力学扮演着重要角色的那些宏观集体行为。本书的内容安排如下:

  第一章将系统阐述确定性动力学系统的不稳定性与内禀随机动力学。我们从经典力学开始，以哈密顿系统的混沌行为为核心切入问题的讨论，通过对混沌动力学的详细分析来阐明随机性的微观动力学起源在于非线性系统的动力学不稳定性及其导致的混沌运动。混沌动力学研究表明，确定性系统会由于“失之毫厘，差之千里”的初值敏感性混沌特点而导致长时间行为的随机性，这一特征缩小了确定论和随机论之间的鸿沟，为动力学系统的统计描述提供了理论基础。对具有随机性的动力学系统有必要引入概率描述，而统计力学的思想和方法也将自然地进入动力学系统的框架和分析之中。

  第二章将在第一章的基础上完成从动力学到统计的过渡，进一步建立对有限自由度系统的平衡态统计描述。我们将系统阐述遍历理论的基本内容，将动力学系统的随机性概念，如回归性、遍历性、混合性、K 系统、阿诺索夫系统等按照由弱到强的顺序加以介绍，并在遍历性基础上建立少体系统的统计力学框架。大自由度哈密顿系统的统计热力学及其平衡态相变与哈密顿动力学特征有密切联系，通过建立哈密顿系统的微分几何理论，人们不仅可以利用微分几何的拓扑量来计算哈密顿系统的动力学特征指数，而且可以发现系统的动力学特征、几何拓扑特征的变化与平衡态相变等宏观热力学行为的密切联系。这将是本章的重要内容之一。

  在后三章，我们将讨论非平衡系统的基本问题及其应用。随着计算机模拟的广泛应用和纳米尺度实验技术的出现，人们有条件深入研究系统处于非平衡态下纳米尺度小系统的动力学行为细节，并发现了一系列被称为涨落定理的非平衡关系。该方面的研究在近二十年中取得了长足的进步，并对纳米尺度下系统的研究产生了实质性推动。这一系列的突破来自于几个与小系统非平衡涨落有关的定理的发现和建立。在第三章中，我们将集中介绍小系统的非平衡涨落效应。首先以耗散可逆动力学系统为基础建立对处于非平衡态的系统的确定性描述，并在混沌假设的基础上建立起SRB不变分布。然后我们将详细介绍几个重要的，包括加拉沃蒂－科恩涨落定理、伊万斯－瑟尔斯涨落定理、加津斯基自由能等式和克鲁克斯涨落关系在内的非平衡涨落关系。以少体硬球系统为例，我们还将讨论该系统的非平衡不可逆过程。

  在第四章中，我们将对低维和少体系统的热传导行为及其调控进行系统阐述，试图从微观动力学角度对宏观热传导的机制及其应用进行探讨。在能量输运和热传导的微观动力学机制研究方面，我们将从两个层面加以考虑。第一个层面是考虑系统的微观哈密顿力学，探讨非线性、不可积性、遍历性与混沌等微观动力学特征对宏观热传导的影响，特别要探讨在诸多动力学特征中哪些因素与正常热导率直接相关。第二个层面是从能量载流子的角度来进行研究。热传导系统微观动力学中的集体激发模式是实现能量空间迁移输运的重要因素，其中典型的线性激发模式是声子，而高温下系统的非线性相互作用会使得非线性激发模，如孤子和呼吸子等在能量输运中变得重要起来。近些年提出来的重整化声子理论将声子动力学由线性区域推广到了非线性情形。

  第五章将着重讨论从生物分子马达与物理学背景下抽象出来的非平衡定向输运问题，并从热力学、统计物理和动力学方面加以分析。传统的关于物理定向输运的研究是从热力学，特别是热机及其密切相关的热力学第二定律开始的，是非平衡态情况下的有限时间热机问题的延伸。生物分子马达作为精巧的热力学机器用传统的热力学是无法简单描述的，用单纯的统计力学方法也是不够的，不仅要考虑分子马达蛋白的内部构型及其构型变化过程，还要考虑化学供能的过程以及该过程与力学做功过程的结合。从这一点来看，生物分子马达的刻画与描述过程中，内部动力学的非线性效应、化学供能过程与机械做功过程的耦合等因素不可避免，甚至起着重要和关键的作用。

  为使读者更好地阅读本书，我们一方面力求在基本知识铺垫的基础上展现最新的进展，另一方面尽可能通过合理的内容安排使读者可以相对独立地单独阅读每一章的内容。对于个别在不同章节出现的共同的基础知识，本书在附录部分给出。本书通过综合、全面地向读者展示统计物理基本问题与理论的新发展，希望以此引起读者的兴趣，并对现行统计物理教学与教材等提供有益的材料。

本书主体内容的写作基于两位作者多年来的科研及教学工作及其与诸多同事、研究生的讨论合作。我们自1992年开始的师生之谊及其对动力学与统计物理学之间关系的共同探索兴趣支撑着这二十多年的密切合作。我们共同完成了一批该方面的研究工作，在此感谢岁月赐予我们的珍贵友谊和这本以我们成果积淀为基础的专著。作者要感谢已故的休斯敦大学教授、香港浸会大学物理系前系主任、非线性研究中心主任胡斑比先生。两位作者与斑比先生的合作始于1996年，近20年的合作和友谊跨越了世纪，跨越了香江的历史变迁，跨越了统计物理学与非线性动力学的界限，我们谨以本书来纪念我们的挚友胡斑比先生。作者还要感谢学界的郝柏林、于禄、陈式刚、孙义燧、葛墨林、欧阳钟灿、郑伟谋、刘寄星、龙桂鲁、孙昌璞、欧阳颀、胡进锟、汪秉宏、何大韧、Michael Cross、来颖诚、屈支林、汤雷翰、李保文、Choi-Heng Lai、赵鸿、王炜、刘杰、刘宗华等各位教授的学术支持与合作，众多的前辈与朋友，长长的名单，恕不能一一列出，在此一并致谢。作者感谢北京师范大学非平衡统计物理与非线性动力学课题组多年来的研究生们，正是多年来的不断合作，教学相长，才使得本书的一些科研成果逐渐沉淀成为可以写入教科书的内容。感谢北京师范大学的方福康、杨展如、狄增如、张丰收、晏世伟、包景东、邵久书、李新奇、严大东、涂展春等同事，本书所涉及的领域自20世纪80年代起就是北师大物理学科的特色，作者蒙北师大众多统计物理与非线性科学领域的同行与合作者的鼓励、讨论与指点，相互学习，取长补短。

作者感谢多年来科技部国家自然科学基金委、973项目、教育部、北京师范大学、华侨大学等多方科研项目的支持。感谢夏建白院士、王恩哥院士对我们撰写本书的盛情邀请，感谢陈小红编辑、刘啸编辑在本书书稿撰写和修改过程中的大力帮助与耐心。

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