绳子末端速度的分解问题

信阳高中   陈庆威

    绳子末端速度的分解问题，是“运动的合成与分解”中的一个难点也是易错点。同学们在处理此类问题时，往往因搞不清哪一个是合速度（实际速度），哪一个是分速度而导致解题失败。下面通过对几个典型例题的详细分析，希望能帮助同学们消除解题中的困惑。

例1：如图A所示，在河岸上利用定滑轮拉绳绳使小船靠岸，拉绳的速度为v，当绳与水平面成θ角时，船的速度是多少？

解析：方法一：

1、找关联点（A点）

2、判断合速度（水平向左）

3、速度的合成与分解（沿绳子与垂直绳子）

4、验证正误（新位置在两坐标轴方向上）

船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。由图可知：v＝v1/cosθ 

方法二：微元法：

1、关联点在很短时间内经过一小位移S

2、绳子缩短了S′=OA-OB=PA=Scosθ

3、速度比即是位移比。

例2.　如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A的运动情况是(   )

A. 加速上升，且加速度不断增大    
B. 加速上升，且加速度不断减小
C. 减速上升，且加速度不断减小
D. 匀速上升                      
　

　解析　物体A的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向和与绳子垂直方向分解，如图3所示，则沿绳方向的速率即为物体A的速率vA=v1=vsinθ。随着汽车的运动，θ增大，vA=v1增大，故A应加速上升。

 
　　由v-t图线的意义知，其斜率为加速度，在0°～90°范围内，随θ角的增大，

曲线y=sinθ的斜率逐渐减小，所以A上升的加速度逐渐减小。
　　答案　B
　　点评　本题主要考查了运动的分解，解题的关键是要分清合速度与分速度。一般情况下，物体相对于给定的参考系（一般为地面）的实际运动就是合运动，本例中，汽车的实际运动就是合运动。另外，运动的分解要按照它的实际效果进行。

例3.如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为（　　）

A．v      B．v sinθ           C．v cosθ         D．

解：将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，根据平行四边形定则得，vB=vsinθ．故B正确，A、C、D错误．故选B．

例4.如图所示，质量mB=3.5kg的物体B通过一轻弹簧固连在地面上，弹簧的劲度系数k=100N/m．一轻绳一端与物体B连接，绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2后，另一端与套在光滑直杆顶端的、质量mA=1.6kg的小球A连接．已知直杆固定，杆长L为0.8m，且与水平面的夹角θ=37°．初始时使小球A静止不动，与A端相连的绳子保持水平，此时绳子中的张力F为45N．已知AO1=0.5m，重力加速度g取10m/s2，绳子不可伸长．现将小球A从静止释放，则：
（1）在释放小球A之前弹簧的形变量；
（2）若直线CO1与杆垂直，求物体A运动到C点的过程中绳子拉力对物体A所做的功；
（3）求小球A运动到底端D点时的速度．

解：（1）释放小球前，B处于静止状态，由于绳子拉力大于重力，故弹簧被拉伸，设弹簧形变量为x有：
kx=F-mBg
所以，x=0.1m
（2）对A球从顶点运动到C的过程应用动能定理得：

由此可知，弹簧此时被压缩了0.1m，此时弹簧弹性势能与初状态相等，对于A、B、和弹簧组成的系统机械能守恒：



由题意知，小球A运动方向与绳垂直，此瞬间B物体速度vB=0④
由①②③④得，W=7J
（3）由题意知，杆长L=0.8m，故∠CDO1=θ=37°
故DO1=AO1，当A到达D时，弹簧弹性势能与初状态相等，物体B又回到原位置，在D点对A的速度沿平行于绳和垂直于绳两方向进行分解，

例5.如图所示，一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连接小球a和b，它们的质量分别为ma和 mb．杆可绕距a球为1/4L处的水平定轴O在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过α角时小球b速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．

解：如图所示，vb表示a球转α角b球瞬时速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，
则有vbcosα=v           （1）
由b球与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0．因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量．现用va表示此a球速度的大小，

例6．一个半径R=0.6m的光滑半圆细环竖直放置并固定在水平桌面上，O为圆心，A为半圆环上左边最低点，C为半圆环最高点，环上套有一个质量为m=1kg的小球甲，甲可以沿着细环轨道在竖直平面内做圆周运动。在水平桌面上方固定了B、D两个定滑轮，定滑轮的大小不计，与半圆环在同一竖直平面内，它们距离桌面的高度均为h=0.8m，定滑轮B恰好在O点的正上方。现通过两个定滑轮用一根不可以伸长的细线将甲与一个质量为M=2kg的物体乙连接在一起，一开始用手托住乙，使小球甲处于A点，细线伸直，当乙由静止释放后。

（1）甲运动到C点时的速度大小是多少？

（2）甲、乙速度大小相等时，它们的速度大小是多少？

例7.如图所示，在光滑的水平地面上有一个表面光滑的立方体Q一长为L的轻杆下端用光滑铰链连接于O点，O点固定于地面上，轻杆的上端连接着一个可视为质点的小球P，小球靠在立方体左侧，P和Q的质量相等，整个装置处于静止状态．受到轻微扰动后P倒向右侧并推动Q．下列说法中正确的是（　　）

解：A、当立方体的速度大于小球在水平方向的速度时，立方体和小球分离，在分离之前，小球和立方体的水平方向速度相同，即：
vPsinθ=vQ
在分离之前，当轻杆与水平面夹角为θ时，由能量守恒定律有：

因此小球受到的合外力对小球做正功，故C正确；
D、在分离之前，小球的机械能减小，分离后，只有重力做功，机械能守恒，故D错误；
故选BC

例8.如图所示，高为0.3m的水平通道内，有一个与之等高的质量为M=1.2kg表面光滑的立方体，长为L=0.2m的轻杆下端用铰链连接于O点，O点固定在水平地面上竖直挡板的底部（挡板的宽度可忽略），轻杆的上端连着质量为m=0.3kg的小球，小球靠在立方体左侧．取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）为了使轻杆与水平地面夹角α=37°时立方体平衡，作用在立方体上的水平推力F1应为多大？
（2）若立方体在F2=4.5N的水平推力作用下从上述位置由静止开始向左运动，则刚要与挡板相碰时其速度多大？
（3）立方体碰到挡板后即停止运动，而轻杆带着小球向左倒下碰地后反弹恰好能回到竖直位置，若小球与地面接触的时间为t=0.05s，则小球对地面的平均冲击力为多大？
（4）当杆回到竖直位置时撤去F2，杆将靠在立方体左侧渐渐向右倒下，最终立方体在通道内的运动速度多大？

巩固练习：

1、如图，两定滑轮间距离为2d，质量相等的小球A和B通过细长的绳子带动小球C上升，在某一时刻连接C球的两绳夹角为2α，绳子张力为T，A、B下落的速度为v，不计滑轮摩擦和绳子和质量，绳子也不能升长。此时C球上升的速度是多少？若C球质量与A、B球相同均为m，α=30°时，三球从静止开始运动，则α=45°时，C球的速度是多少？

答： 

2、如图所示，一个长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2。则v1、v2的关系是：（C）

A、v1=v2              B、v1=v2cosθ            C、v1=v2tgθ        D、v1=v2sinθ

3、如右图所示，水平面上有一物体，人通过定滑轮用绳子拉它，在图示位置，若人的速度为5m/s，则物体的瞬时为多大？

答：

4、如图所示，光屏与平面镜M的初始位置平行，相距为d，点光源S发出的光线垂直入射到平面镜上，当平面镜绕垂直于过其中心O的轴以角速度ω逆时针匀速转过30°时，入射光线SO的反射光线在光屏上形成的光斑P的瞬时速度是多少？

(答：8ωd)