以下内容为结合自己书上所学以及参考资料整理所得，理解有误的地方请大家指正。

 

星期四（7月11日），下午4点，地点：819；数学研习小组的研讨题目：对行列式性质及应用的探讨，主讲人：李川渠。

行列式

 一、对线性代数的认识

对于这样的方程组：

http://s8/mw690/bdf042e807ce3ef4e6c27&690

怎么求解呢？

行列式！

谈到行列式大家学过线性代数的都不会陌生，在本科线代这本教材的开场就对行列式做出了比较细致的讲解，以此，我们对行列式的基本性质也建立起了理性的认识。

首先，说说个人对线性代数的理解。线性代数是高等代数的一大分支。按照多数人认可的说法，它定位为研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。何为线性？线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。代数则可以理解为研究数字和文字的代数运算理论和方法，如同几何一样都是数学的一个分支。总的来说，如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题，一次方程就是研究线性问题的方程，被称为线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。

作为线性代数中的一个重要工具，行列式的由来又是怎样的呢？数学开始就是一些数字运算，用数字运算只能解决一些问题，用字母代替数后就能解决同类的问题，这样代数就产生了，解决物体的形态时产生了几何；数学是在不断发展着，由于有了代数，就可以把未知的数用一个字母代替，根据数据的关系列成方程式，也就产生了列方程与解方程。有时一个运动关系不只有一个未知数，就用多个字母分别表示，这样就有了二元及多元方程组成的方程组。解这些一元的方程比较简单，解那些多元的方程就十分复杂，就有人把它们的系数列成方阵，这就是行列式的产生，用这些系数很容易得到未知数的解，并且不需把所有的未知数都解出来，因此解行列式的方法得到推广，至于矩阵，是在解行列式的基础上的进一步发展。十七世纪末，日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中就提出了行列式的概念与算法。在那之后，线性代数蓬勃发展在数学、物理学和技术学科中都有重要应用。

二、行列式性质

行列式定义（设为n阶）：n阶行列式

http://s8/mw690/bdf042e84e0e754efb747&690

 

     取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由 项组成，其中带正号与带负号的项各占一半， 表示排列 的逆序数。

     掌握了行列式的定义, 我们根据它的定义可以得出它的性质, 掌握了它的性质, 更方便有效地进行行列式的计算. 下边就是它的基本性质. 其中用D来表示行列式

性质1: 行列式和它的转置行列式相等. 换句话说, 也就是行列式的行和列互换后, 行列式是不变的. 可以表示为:(DT)T = D.

性质2: 行列式中可以把某一行元素的公因子提到行列式符号的外边来. 或者是说, 用一个数来乘以行列式, 就可以把这个数乘到这个行列式的某一行上面.

性质3: 如果在行列式中有一行( 或者列)元素全为零,那么行列式的值就为零.

性质4: 交换行列式得两行(或者列), 行列式的值仅改变符号.

性质5: 如果行列式中有两行(或者列) 是完全相同的,那么这个行列式的值为零.

性质6: 如果行列式有两行( 或者列) 的对应元素成比例, 那么这个行列式等于零.

性质7: 把行列式某一行( 或者列)的元素乘以同一个数后加到另一行的对应元素上, 行列式的值不变.

性质8: 如果行列式的某一行都是两组数的和, 那么这个行列式就等于两个行列式之和, 而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样.

三、 行列式的应用普遍在以下几个方面:

代数方面: 行列式的计算, 矩阵秩, 因式分解, 克拉默法则等;

几何方面: 解析几何当中三维的面积, 多维中的平面方程的表示和体积的计算等;

数学分析方面: 雅可比行列式的应用.

    总之, 无论是在多项式理论、线性代数, 还是微积分学,行列式作为最基本的数学工具之一, 都有着非常重要的应用.

3.1、代数应用

1.行列式计算：

    行列式计算方法多，技巧多。基本思路：化零，降阶，灵活运用性质、公式和特殊行列式。常用方法大致有：

a. 化成三角形行列式；

b. 用倍加变换化零按一行（列）展开，降阶法；

c. 各行（列）相加法，“加边”法；

d. 递推公式法，数学归纳法；

e. 利用特殊行列式（范德蒙行列式）法。

所以要计算行列式的值, 就转化成我们熟悉的形式或者利用性质来简化, 更有效的求解行列式的值.

行列式的概念最早出现在解线性方程组的过程中.行列式的定义也是和线性方程的求解分不开的,解线性方程组是行列式的一个主要的应用. 当线性方程组的方程个数与未知数的个数相等时, 方程组也不一定总是有唯一解. 对一个有n个方程和n 个未知数的线性方程组, 我们研究未知数的系数所对应的行列式.

Cram er法则对此作了详细的说明：

( 1)当方程组的系数行列式不等于零时, 方程组有解且解唯一.

( 2)如果方程组无解或者有两个不同的解时, 则系数行列式必为零.

( 3)如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零, 则没有非零解.

( 4)如果齐次线性方程组有非零解, 则系数行列式必为零.

当线性方程组对应的行列式不为零时, 由克莱姆法则,可以直接以行列式的形式写出方程组的解. 但是用克莱姆法则求解计算量比较大, 因此它并没有实际的应用价值, 一般只用于理论上的推导.

范德蒙德行列式

定义：  

http://s14/mw690/bdf042e84e0e7b4eea8cd&690

由范德蒙德行列式的定义知，http://s5/mw690/bdf042e84e0e7b501a0b4&690

1.1三角形法

   就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。

例1 计算n级行列式

http://s12/mw690/bdf042e84e0e7b4fe3a5b&690

 

该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.将第2,3，···，n 列（行）都加到第一列（行）（或第1,2，···，n-1列（行）加到第n列(行)），则第1（或n）列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式.

http://s13/mw690/bdf042e84e0e7b4fd294c&690

 

1.2加边法或升级法

计算n级行列式

http://s16/mw690/bdf042e807ce3f880415f&690

该行列式的各行（列）含有共同的元素b，b，···，b可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.

http://s4/mw690/bdf042e84e0e7b5148793&690

1.3计算爪型行列式

http://s16/mw690/bdf042e84e0e7b50b625f&690

http://s9/mw690/bdf042e84e0e7b5141f08&690

 

1.4利用特殊行列式(范德蒙行列式)法

 

http://s11/mw690/bdf042e84e0e7b514896a&690

证明：n = 2时:结论成立

设对于n-1阶结论成立，对于n阶：

http://s15/mw690/bdf042e830c90d12e72ce&690

http://s7/mw690/bdf042e84e0e7b51a5f76&690

http://s8/mw690/bdf042e84e0e7b5202077&690  

  2.关于|A|=0的证明

解题思路：
http://s11/mw690/bdf042e84e0e7b51995da&690

3.拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了http://s12/mw690/bdf042e84e0e7b52ae1db&690 个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。

其中：

①k级子式：在一个n级行列式 中任意选定k行k列http://s6/mw690/bdf042e84e0e7f58ef165&690个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式。

②余子式：在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n-k级行列式M称为k级子式M的余子式。

③代数余子式：设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别是http://s10/mw690/bdf042e84e0e7f59a6509&690 则M的余子式http://s3/mw690/bdf042e84e0e7f59a23f2&690前面加上符号
http://s5/mw690/bdf042e84e0e7f597fc74&690后称为 的代数余子式)。

 

4拉格朗日插值公式

设http://s7/mw690/bdf042e84e0e7f5a6b046&690，存在唯一的次数小于n的多项式

http://s10/mw690/bdf042e84e0e814412839&690

证：从定义容易看出http://s6/mw690/bdf042e830c90f986bbc5&690，故只需证明唯一性即可.
http://s7/mw690/bdf042e84e0e7f5b6f2b6&690

二、函数行列式

1.函数行列式的定义

元素是函数的行列式叫函数行列式.有时这个名称用来特指雅可比行列式.

由http://s13/mw690/bdf042e84e0f59f07efac&690到R的映射（或变换）就是n元函数，即

http://s2/mw690/bdf042e84e0f59f19ba21&690

http://s14/mw690/bdf042e84e0f5a71a817d&690

http://s4/mw690/bdf042e84e0f5a8efd1c3&690

http://s16/mw690/bdf042e84e0f5a8e6de4f&690

2、函数行列式的性质

为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n都是正确的.

已知一元函数 http://s2/mw690/bdf042e84e0f5a8febdf1&690，与它类似的有：

定理1.若函数组http://s3/mw690/bdf042e84e0f5a90e5132&690也有连续偏导数，则

http://s6/mw690/bdf042e84e0f5a9058c65&690

 

 

http://s6/mw690/bdf042e84e0f5a9120805&690

               http://s4/mw690/bdf042e84e0f63d238223&690

http://s7/mw690/bdf042e84e0f5a91aa416&690

3、函数行列式的几何意义

http://s14/mw690/bdf042e84e0f5a91d18cd&690，

http://s16/mw690/bdf042e84e0f613ed61ff&690