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该博文整理自课程研究报告，详细内容可参见：

https://wenku.baidu.com/view/9c293150c950ad02de80d4d8d15abe2348 2f03f3

1.算法背景

经典的滤波算法包括维纳滤波，卡尔曼滤波，这些滤波算法都需要对输入信号的相关系数，噪声功率等参数进行估计，而实际中很难实现这些参数的准确估计，而这些参数的准确估计直接影响到滤波器的滤波效果。另一方面，这两类滤波器一般设计完成，参数便不可改变，实际应用中，希望滤波器的参数能够随着输入信号的变化而改变，以取得较好的实时性处理效果。为了弥补传统滤波算法的不足，满足信号处理的要求，又发展了自适应滤波。

2.算法基本原理

自适应滤波与维纳滤波，卡尔曼滤波最大的区别在于，自适应滤波在输出与滤波系统之间存在有反馈通道，根据某一时刻滤波器的输出与期望信号的误差调整滤波器的系数，从而实现滤波器系数的动态调整，实现最优滤波。

（1）信号模型

自适应滤波的目的仍然是从观测信号中提取真实准确的期望信号，因此涉及到的信号有：

期望信号 d(n)

输入信号 x(n)=d(n)+v(n)

输出信号 y(n)

（2）算法原理

一个M阶滤波器，系数为w(m)，则输出为：

y(n)=Σw(m)x(n-m)  m=0…M

写成矩阵形式：  y(j)=W^T(j)*X(j) 

n时刻的输出误差为：  e(j)=d(j)-y(j)= d(j)- W^T(j)*X(j)

定义目标函数为 E[e(j)^2]，则有：

J(j)=E[e(j)^2]= E[(d(j)- W^T(j)*X(j))^2]

当上述误差达到最小时，即实现最优滤波，这种目标函数确定的为最小方差自适应滤波。

对于目标函数J(j)，需要求得使其取到最小值对应的W，这里使用梯度下降法进行最优化：

W(j+1)=W(j)+1/2*μ(-▽J(j))

▽J(j)=-2E[X(j)*( d(j)- W^T(j)*X(j))]= -2E[X(j)e(j)]

W(j+1)=W(j)+μE[X(j)e(j)]

其中-2X(j)e(j)称为瞬时梯度，因为瞬时梯度是真实梯度的无偏估计，这里可以使用瞬时梯度代替真实梯度。

W(j+1)=W(j)+μX(j)e(j)

由此，可以得到自适应滤波最佳系数的迭代公式。

3.算法的收敛性

在最小均方误差自适应滤波算法中，最佳滤波器系数应该满足：

▽J(j)=0

即：-2E[X(j)*( d(j)- W^T(j)*X(j))]=0

经整理后，可以得到：

W_opt^T =R_xx^-1*R_xd

上式说明，自适应滤波的最佳滤波器系数同维纳滤波相同，与输入信号以及期望信号的相关矩阵有关。

对W(j+1)=W(j)+μX(j)e(j)等号两边求期望，并通过一系列推导，可得：

E[W(j+1)]=W_opt+Q(I-μΛ)^jQ^H(W₀-W_opt)

式中R_xx=Q^HΛQ， W₀为自适应滤波系数的初值。

当j取到无穷大时，滤波器应达到最优状态，因此：

(I-μΛ)^j=0，则有：|I-μΛ|<=1

上式即为最小均方自适应滤波的收敛条件。

Λ为输入信号的自相关矩阵R_xx的特征值构成的对角阵。

4.变步长自适应滤波算法

在整个迭代过程中，步长不变的情况称为定步长算法。为了保证算法的收敛性，一般要取一个比较小的步长值，但步长过小又容易导致算法收敛过慢。比较理想的情况是，在迭代的初始阶段，误差值较大时，取一个较大的迭代步长，以实现较快的收敛速度；随着迭代次数增加，误差逐渐减小，步长也应相应减小，达到较高的收敛精度。这种思想便称为变步长自适应滤波算法。

常用的变步长自适应滤波算法根据输入信号的或者误差值确定步长。

这里介绍两种具体的变步长算法：

（1）归一化变步长自适应滤波算法

μ_j =α/(β+X_j^TX_j)

α，β均为常数，且满足0<α<2，β>=0。

该算法使用输入信号的能量对步长因子进行归一化，确保其取到合适的值。

（2）Sigmod函数变步长自适应滤波算法

μ_j=β(1-exp(-αe_j^2))

α，β均为常数，且满足0<α，0=<β<μ_max。

从上述表达式中可以明显看出，随着误差增大，步长值也增大。

5.解相关自适应滤波算法

实验发现，当输入信号之间的相关性比较强时，自适应滤波的效果比较差。因此需要去除相邻两次输入信号序列的相关性，以得到较好的滤波效果。

解相关自适应滤波算法的实现过程为：

r= X_j^TX_j-1/ X_j-1^TX_j-1

Z_j=X_j-rX_j-1

    μ_j=βe_j/ Z_j^TX_j

    W_j+1=W_j+μ_jZ_j

6.变换域自适应滤波算法

根据解相关自适应滤波算法的思想，使用一组正交基对输入信号进行变换，在变换域上进行自适应滤波，最后再将滤波结果逆变换至时间域。常见的变换有傅里叶变换，分数阶傅里叶变换，小波变换，余弦变换。

7.算法应用与实现

下面讲述如何在实际问题中应用自适应滤波算法：

问题背景：一个点目标在x，y平面上绕单位圆做圆周运动，由于外界干扰，其运动轨迹发生了偏移。其中，x方向的干扰为均值为0，方差为0.05的高斯噪声；y方向干扰为均值为0，方差为0.06的高斯噪声。

问题分析与思路：

将物体的运动轨迹分解为X方向和Y方向，并假设两个方向上运动相互独立。分别将运动轨迹离散为一系列点，作为滤波器的输入，分别在两个方向上进行滤波，最终再合成运动轨迹。

程序设计思路：

 

生成期望信号-添加噪声-设置滤波器系数初值-迭代运算-最优滤波输出

滤波结果分析：

http://s8/bmiddle/003qTDx1zy7c39Fh0X5f7&690                                                                     定步长自适应滤波算法

 

http://s16/mw690/003qTDx1zy7c39Fzuhhbf&690

                                                              变步长自适应滤波算法


http://s3/mw690/003qTDx1zy7c39FNXNg82&690

                                                           解相关自适应滤波算法