属性数学与勾股弦定理的天圆地方说

　　一、勾股弦定理在当代的不同认知内容

　　在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理。这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾∧2+股∧2=弦∧2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（约公元前580－公元前500）。

　　实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

　　无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了勾股定理，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这同一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富。值得一提的是：在发现这一共同性质后的收获却是不完全相同的。用以研究它的理论基础也是不完全相同的。下面以“毕达哥拉斯定理”和“勾股定理”为例，做一简单介绍：

　　毕达哥拉斯定理是以一个古希腊人的名字命名的定理。毕达哥拉斯生于公元前6世纪的毕达哥拉斯，早年曾游历埃及、巴比伦（另一种说法是到过印度）等地，后来移居意大利半岛南部的克罗托内，并在那里组织了一个集政治、宗教、数学于一体的秘密团体毕达哥拉斯学派，这个学派非常重视数学，企图用数来解释一切。他们宣称，数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于实用，而是为了探索自然的奥秘。他们对数学看法的一个重大贡献是有意识地承认并强调：数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事物或实际形象是截然不同的。有些原始文明社会中的人（如埃及人和巴比伦人）也知道把数脱离实物来思考，但他们对这种思考的抽象性质所达到的自觉认识程度，与毕达哥拉斯学派相比，是有相当差距的。而且在希腊人之前，几何思想是离不开实物的。例如，埃及人认为，直线就是拉紧的绳或田地的一条边；而矩形则是田地的边界。毕达哥拉斯学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。正因为如此，毕达哥拉斯学派在他们的探索中，发现了既属于算术又属于几何的用三个整数表示直角三角形边长的公式：若2n+1，2n2+2n分别是两直角边，则斜边是2n2+2n+1（不过这法则并不能把所有的整勾股数组表示出来）。也正是由于上述原因，这个学派通过对整勾股数的寻找和研究，发现了所谓的“不可通约量”例如，等腰直角三角形斜边与一直角边之比即正方形对角线与其一边之比不能用整数之比表达。为此，他们把那些能用整数之比表达的比称做“可公度比”，意即相比两量可用公共度量单位量尽，而把不能这样表达的比称做“不可公度比”。像我们今日写成：1的比便是不可公度比。至于与1不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派给出的。这个证明指出：若设等腰直角三角形斜边能与一直角边公度，那么，同一个数将既是奇数又是偶数。这就产生了矛盾。

　　关于对毕达哥拉斯定理的证明，欧几里得（公元前300年左右）所着的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”。

　　实际上，毕达哥拉斯学派关心得更多的是数学问题本身的研究；以毕达哥拉斯学派为代表的古希腊数学是以空间形式为主要研究对象，以逻辑上的演绎推理为主要的理论形式。而毕达哥拉斯定理的发现（关于可公度比与不可公度比的研究、讨论），实际上导致了无理数的发现，尽管毕达哥拉斯学派不愿意接受这样的数，并因此造成了数学史上所谓的第一次数学危机，但是毕达哥拉斯学派的探索仍然是功不可没的。

　　我国的勾股定理，至今可查的有关勾股定理的最早记载，是大约公元前1世纪前后成书的《周髀算经》，其中有一段公元前1千多年前的对话：“昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”

　　《周髀算经》中还有“陈子测日”的记载：根据勾股定理，周子可以测出日高及日远。例如，当求得了日高及测得了测量人所在位置到日下点的距离之后，计算日远的方法是：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股自乘，并开方而除之，得邪至日者。”

　　《周髀算经》是我国流传至今的一部最早的数学着作。书中主要讲述了学习数学的方法以及用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。在唐代，《周髀算经》与其他九部陆续出现在我国汉唐两代千余年间的数学着作一起，被国子监算学馆定为课本，后世通称这十本书为《算经十书》。《算经十书》较全面地反映了自先秦至唐初我国的数学成就。其中许多书中都涉及到了勾股定理的内容，尤其《九章算术》（《算经十书》之一）第九章“勾股”专门讲解有关直角三角形的理论，所讨论的主要内容就是勾股定理及其应用。我们的先辈们还根据勾股定理发明了一种由互相垂直的勾尺和股尺构成的测量工具矩。如《周髀算经》中记载了商高对用矩之道的论述：“平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远。”又如，我国魏晋间杰出的数学家刘徽在他的名着《海岛算经》（《算经十书》之一）中共列出了9个有代表性的可用矩解决的测望问题，其中第4个问题是：“今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺，从勾端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勾端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何。”

　　我国最早的关于勾股定理的证明，目前人们认为是汉代赵爽对《周髀算经》的注释。我国古代的数学与古希腊的数学不大一样。实际上，我国数学的主要研究对象不是空间形式，而是数量关系；其理论形式不是逻辑演绎体系，而是以题解为中心的算法体系。与古希腊数学采取层层论证的思维方式不同，我国古代数学家的思维方式是以直觉思维为主，又以类比为发现和推论结果的主要手段。

　　对于勾股定理，我国古代的数学家没有把主要精力放在仅仅给出严格的逻辑推理证明上，也没有在不可通约量究竟是什么性质的数上面做文章，而是立足于对由此可以解决的一类实际问题算法的深入研究。通过在直角三角形范围内讨论与勾股定理、相似直角三角形性质定理有关的命题，他们推出了一种组合比率算法勾股术。勾股术把相似直角三角形的概念作为基本概念，把相似直角三角形的性质作为基本性质，使相似直角三角形之间的相似比率构成了勾股的核心。勾股术用比率表达相似勾股对应边成比例的原理，勾股整数和勾股两容（容圆、容方）问题的求解；建立了勾股测量的理论基础。后来，刘徽实际上把相似勾股形理论确定为勾股比率论，并明确提出了“不失本率原理”，又把这个原理与比例算法结合起来，去论证各种各样的勾股测量原理，从而为我国古代的勾股测望术建立了坚实的理论基础。

　　有的专家还提出：勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学。

　　二、相同的勾股定理内容为何出自不同的数学研究系统

　　我们从前面所讲的勾股定理的发现来看，希腊、埃及、古巴比伦、中国在勾股定理的数学内容上的揭示虽然相同。但是，他们使用的范畴与产生的理论基础则肯定是不会相同的。

　　从目前大家了解的历史记载中，埃及是在用勾股定理确定直角。古巴比伦是在研究勾股定理的整数结构群。希腊是在研究它的古老几何。而中国则是在研究阴阳的数理。

　　显而易见，他们研究与使用勾股定理的方向与内容都是不相同的。从而，我们可以这样认为。勾股定理应该是一个更广泛的基础定律，而不仅仅属于经典数学的几何学。它应该有更广阔的理论结构体系、与更深奥的数理知识范畴。因为人类在非常相近的历史时期内，同时用不同的探索途径都发现了它的存在。就是说这一定理对于希腊、埃及、古巴比伦、中国的原始文化之间，都有可触及到它客观存在的阶梯。我在讲属性数学的前面内容时，讲了一个瞎子摸象的故事。并且用属性数学归纳法，来说明了瞎子摸象的故事如何在属性归纳法的正确引导下，可以同样对大象得到一个正确全面的认识途径。不知道大家忘记了没有。现在，我们用瞎子摸象应用属性数学归纳法同样也能得到一个可以全面认识大象的方法。也来分析一下四个不同的国家与民族文化摸到的勾股定理内容。并通过属性数学的认识法则，更全面的认识一下勾股定理。看看勾股定理到底是一个什么？

　　希腊人说，勾股定理是几何原理。埃及人说，勾股定理是验证直角的方法。古巴比伦人说，勾股定理表达的是一种整数结构群的一个特殊性质结构。中国人说它是研究阴阳变化关联关系的数理。

　　同样是四种同时或者先后于不太长的历史时期中独立发现的结果，但是，没有人认为这也是一种科技上的瞎子摸象现象。没有人把这四种对勾股定理的认知类比为：它们也应该是四位瞎子摸到的象鼻子、象牙、象身体、象大腿。为什么呢？因为我们可以在瞎子摸象的同时，看到一个整体的大象。而在勾股定理的认知方面，我们则只能具体的知识认识到它的局部，而没有办法如大象一样一目了然的看到整体。

　　于是，摸到象鼻子的，变成了最先发现权的拥有者，大象就是一个软软的长管子的认识也就变成了公理。凡是研究大象，必需从象鼻子摸起，先摸象牙、象体、角腿都是错误的，不科学的。公理认知的程序化，把去摸象尾巴的人看成是绝对错误的。因为这种作法伤害了先摸到象鼻子人的最先发现权。也就是说，去研究象尾巴问题，只能是研究象鼻子的后继问题。而不能成为独立的科学。于是乎，瞎子们只能排队去先摸象鼻子，依次进行后继式研究它的其它部分。一哄而上，摸到四种不同结果的现象也就从此根本上杜绝了，瞎子摸象之争，也就再也没有了。

　　从此科学发展进入了轨道化，标准化，科学化了。就勾股定理而言，希腊人毕达哥拉斯成了第一个摸到象鼻子的人。埃及人的研究、古巴比伦人的研究，都变成了希腊人毕达哥拉斯的后继研究了。而中国的阴阳数理科学对勾股定理的认识，因为无法被纳入毕达哥拉斯的后继研究形式，而被挤出现代科学发展的轨道，远离了标准化、科学化的发展里程。

　　因为统一了瞎子摸象的程序与秩序。再也没有瞎子一哄而上的摸象场面了，不同的科学认知进入了一个相同的起始首肯认知次序行列。而对那些首肯认知不能接受的内容，则无法进入它的系列后继研究。而成为究竟是科学？还是不科学的争论范畴。形成了美国人与埃及人在勾股定理范畴内的认识不同，也形成了现代数学与中国古典数学数理科学之间的壁垒鸿沟。

　　但是，文化体系之间的壁垒，并没有改变象鼻子是软软的长管子的认识。同样，也没有改变勾股定理在几何学与算术计算科学中的应用。可是，人类可以接受认识到象鼻子是软软的长管子只是大象的一部分，却不能接受认识到勾股定理是几何学的定理，而仅仅是勾股定理在数学领域中的一个具体部分的认识。也就是说，人们可以说，把大象认识成一条软软的长管子是一种片面认识。而不能说，勾股定理是几何学中的定理也是一种具体的学科认识。而不是勾股定理认识的全部，反而要肯定几何学认识到的勾股定理是科学，而其它学科认识到的勾股定理内容只要是与几何中的公理逻辑不一致。就要否定他的科学性，或者认为它是不科学的呢？

　　我们可以从相同的勾股定理内容为何出自不同的数学研究系统中这个历史问题中看到：中国的形意属性数理科学，与希腊的古几何学，几乎是在相同的时间内，同时认识到勾股定理的存在。但是它们的命运，则在人类科学发展的历史上显示出了巨大的差异。如美国人，非要用希腊人毕达哥拉斯的公理模式来衡量古埃及人是不是真正认识到了希腊人毕达哥拉斯公理。经典数学非要用几何理论与数学理论来衡量中国古老文化是不是科学，是不是真理。我认为，可以借助勾股定理问题，对以下问题需要更认真的优先来进行讨论：

　　1、如何来认识局部与整体。在科学探索领域，在人类受到某种限止而无法认识整体的时候，应该怎么样处理局部具体理论与整体的知识理论之间的结构关系。

　　2、如何来认识现象与本质。在科学探索领域，在人类从某种现象的研究中得到了具体的理论认识之后，应该如何判定它的本质所在，如何通过具体现象理论来研究它的本质性理论。

　　显而易见，这些问题的讨论，都涉及到属性数学研究的一些基本规律，与基本方法。研究这些问题，就是一个属性数学的深入探索过程。

　　如我们在前面文章中讲到的瞎子摸象问题一样，需要一个，具体的属性数学分析法。不然，我们仍然会在能看到整体存在的问题上，讥笑那些看不到整体存在而去摸象的瞎子，而自己在看不到整体存在的问题上，继续犯瞎子摸象的错误。

　　三、勾股定理与天圆地方说

　　希腊人毕达哥拉斯证明的勾股定理，是一个由三个方构成的一个面积等式。

　　埃及人应用的勾股定理是丈量直角的一种方法。

　　古巴比伦研究的勾股定理，是表达整数数群中勾股定理的结构性。

　　中国勾股定理是研究天圆地方学说。

　　也就是说，四大古国的先人们，在研究勾股定理时，都触及到了勾股定理的不同部位或者说是不同的局部。那么，我们怎么样来认识勾股定理的整体，如何认识勾股定理的本质？

　　我们从四种不同的勾股定理认识中，可以看到：

　　埃及人的知识认识范畴，可以划定在三角形边与角的规律性研究上，只要边的值确定，三角形的角也就随之确定。而且除了应用之外，如何发现的勾股定理，并没有记载。

　　希腊人毕达哥拉斯是在几何学的研究中发现勾股定理的，他的证明，使勾股定理走向计算的具体应用。并且通过这一计算，使人类从有理数的认知，走进无理数的认识领域。

　　古巴比伦的勾股定理的整数群的研究，究竟是为了干什么用的，它解决了那些数学领域中的问题，现在已经是千古之迷了。

　　唯有中国的勾股定理与中国古老的天圆地方说，目前还有据可查。

　　《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。

　　昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？

　　商高曰：数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。

　　商高所说：故折矩，勾广三，股修四，经隅五。这段话，后来被现代人理解的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是中国着名的勾股定理。

　　但是，我们从原文的意思来看，周公向商高问的问题则是量天、测地的数理。意思是让商高解释包牺氏立周天历度的数理。周天历度，是包牺氏创立的黄道历法的计算法则。也就是中国的天圆地方学说的数理理论。

　　天圆地方，并不是说天是圆的地是方的。所以过去有人说古代人认为天是圆的，地是方的是对这一学说仅仅在字意上理解造成的。其实，中国古代的天圆地方论，讲的是属性。讲的是天地之间的变化属性。天是圆的属性，地是方的属性。式、态、形、势中，取的是形喻也。那么，天的属性何以为圆？地的属性何以为方？它与经典数学中的圆概念有着本质的不同。因为经典数学有三维坐标，一切运动的表达都有一个静态参照框架。而属性数学是两个变化的向、相、象形成的三级层面结构。没有静态参照系，只有两个相对运动变化过程的相通，相变。所以，它对圆与方的具体定义也不是从加个固定点为圆心的半径定义法。而是属性定义法。而圆方的属性定义，与天地的属性定义在属性数理的原理上，是彼此相通的。所以，中国古代常常用圆的属性类天，以方的属性类地。来进行天地一体关系的研究。包牺氏的周天历度大法，就是以圆类天，以方类地构成的一个属性方圆结构一体化计算与分析体系。它的数理就是勾股定理。

　　那么，勾股定理为什么能变成了天圆地方属性表达的数理呢？中国古代是如何定义圆与方的呢？