证明两角相等的方法

 

（一）相交直线、平行线：

①二直线相交，对顶角相等。 

②两直线平行，同位角相等，内错角相等。

③同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；凡直角都相等。 

④角的平分线分得的两个角相等。

 

（二）三角形： 

①等腰三角形的两个底角相等；等边三角形三内角相等，均为60°（有一角为60°的等腰三角形是等边三角形）。 

②等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）。

③三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和。

④全等三角形的对应角相等。

⑤相似三角形的对应角相等。 

⑥直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形。 

 

（三）四边形： 

①平行四边形对角相等。 

②菱形的对角线平分一组对角，菱形（正方形）的对角线互相垂直。 

③矩形的四角相等，且均为直角。

④等腰梯形同一底上的两角相等。

 

（四）正多边形： 

①正多边形的各内角相等、外角相等，且每一个内角= (n-2)_*180°/ n，外角=360°/ n 

②正多边形的中心角相等，且中心角αn=360°/ n  。 

 

（五）圆中： 

①在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等或有两条弦心距相等，那么它们所对的圆心角相等。

②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆心角相等。

③切线长定理；从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。

④圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

⑤圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；并且每一个外角都等于它的内对角。

⑥三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角。

 

（六）利用等量代换、等式性质证明两角相等。

（七）利用三角函数推出角的度数相等。

证明两线段相等的方法

 

（一）常用轨迹

①两平行线间的距离处处相等。 

②线段垂直平分线（中垂线）上任一点到线段两端的距离相等。 

③角平分线上任一点到角的两边的距离相等。

④平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么，在其它直线上截得的线段也相等。

 

（二）三角形： 

①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形的两腰相等，等边三角形的三边相等）

②任意三角形的外心（三角形三边垂直平分线的交点，亦即三角形外接圆的圆心）到三角形三个顶点的距离相等。任意三角形的内心（三角形三个内角角平分线的交点，亦即三角形内切圆的圆心）到三角形三边的距离相等。

③等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边（三线合一）。三角形任一边上的中线平分该边。

④直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 

⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

⑥过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边（三角形的中位线），三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

⑦同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等。

8全等三角形的性质:全等三角形对应边,对应边上的高、中线,对应角的平分线相等。

 

（三）四边形： 

①平行四边形对边相等，对角线互相平分。 

②矩形的对角线相等，且两对角线的交点到四顶点的距离相等。 

③菱形（正方形）的四边相等。

④等腰梯形两腰相等、两条对角线相等。

⑤过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰（梯形的中位线）。（连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半）。

 

（四）正多边形： 

①正多边形的各边相等。

②正多边形的中心到各顶点的距离相等、到个边的距离相等。 

 

（五）圆中： 

①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。

②在同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。

③垂径定理；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

④切线长定理；从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。

⑤圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；并且每一个外角都等于它的

 

（六）轴对称图形的性质:关于轴对称的两个图形的对应线段相等。中心对称图形的性质:关于中心对称的两个图形对应线段平行且相等。

 

（七）线段运算：

①对应相等线段的和相等；对应相等的线段的差相等。 

②对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等的倍数所得的商相等。 

③两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则这两条线段相等。

 

 

求角的度数

 

1.    直角三角形的两个非直角互余。

2.    三角形的内角和等于180°，等边三角形的每一个内角等于60°，等腰直角三角形的两个非直角都等于45°。

3.    三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

4.    直角90°，平角180°。

5.    角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。

 

常用求解方法：

1、整体法（从整体着眼，寻求所求角与已知角之间的关系）

2、方程法（设未知角的度数为x，根据三角形内角和定理，得到关于x的方程，再进一步求解）

3、分类法（即分多种情况讨论）

4、构造法（在进行与角有关的计算时，为了能使用三角形内角和定理及内角与外角的关系，常常需要构造三角形或三角形的外角，这时需要添加某些线段或延长某些线段 ）

求线段长度的思路与方法

 

1、几何计算法

1直角三角形

情况一：已知了其中两边的大小，利用勾股定理，即可求出第三边的长度。

情况二：已知了三边中任一条边的长度，以及任一非直角的度数，可根据三角形内角和定理求出其他角的大小，可根据三角函数（正弦、余弦、正切）求出其他边的长度。

情况三：已知直角三角形斜边上的高，可利用等面积法求斜边上高的长度，亦可利用三角形相似求其他线段的长度。对于非直角三角形，亦可利用等面积法求某一线段的长度。

情况四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。涉及线段的中点，常常考虑做辅助线构造三角形的中位线，进一步利用三角形的中位线解决问题。

3等腰三角形（等边三角形）

利用三线合一，构造直角三角形，然后进一步求解线段的长度。

4四边形（矩形、菱形、正方形等）或者其他多边形，构造直角三角形，利用勾股定理或三角形相似求解。

2、方程法。设出线段长度为X，寻找等量关系，列出关于X的方程，解之即可。这是数量关系复杂问题的常用解题技巧。

3、公式法。如：两点间距离公式、数轴上两点之间的距离公式等。

证明三角形全等的方法：

1、（SAS:边角边）2、（ASA:角边角）3、（AAS:角角边）4、（SSS:边边边）
5、(HL:直角边，斜边定理）

证明三角形全等的一般思路：

1、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。

2、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）。

3、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）。

4、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等。

5、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形。

证明三角形相似的方法：

1.        平行三角形的一边构成的三角形与原三角形相似。

2.        两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

3.        三边对应成比例，两个三角形相似。

4.        二个角分别对应相等，两个三角形相似 。

5.        斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的判定定理的作用：

相似三角形对应高的比、相似三角形对应边的比、对应中线的比、对应角平分线的比和相似三角形周长的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

可以通过判定两个三角形相似，间接证明两三角形对应角相等、对应边成比例，间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．