神奇的“莫比乌斯带”

旬阳县城关小学  周佩

【教材分析】

    公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。 因为普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。

【教学设想】

   “莫比乌斯带”属《拓朴学》的内容，是新教材才增加的内容，作为一个数学游戏的介绍来安排的。这个内容对于教师来说，是一个不好组织的内容，对于小学生来说也是一个不好理解的内容。但是这个内容又是一个激发学生学习兴趣、拓展数学视野的好题材。因此，我定出以下三点活动目标：一、会制作一个莫比乌斯带；二、感受数学变化的魅力；三、获得学习成功的体验。为了实现以上目标，我在预设中通过“小魔术”引入，鼓励学生大胆猜想，创建宽松的、民主的课堂氛围。活动探究中以“猜想—验证—探究”来组织新课，让学生感受着数学的神奇魅力。为了让学生感受到“它有什么用”，适当利用课件通过展示，让学生直观地感受它的作用，使学生在美的享受中再一次感受知识的神奇。

【设计意图】

1、数学好玩。

    数学课向来以严谨自称，并且四年级的数学知识开始让学生感到有些“难”，因此有部分学生开始对数学课失去了兴趣，对数学知识失去了探索的勇气和信心。本节课，我力图借助“神奇的莫比乌斯圈”这个素材，让学生在其“魔术般的变化”中感受数学的无穷魅力，体会到数学好玩，从而进一步激发学习数学的热情。

2、课外数学

    在《神奇的莫比乌斯带》这节课的教学设计中，除了通过动手操作感受到数学的神奇外，我还着重向学生介绍了莫比乌斯圈的产生，以及人们运用莫比乌斯圈原理的发明创造给生活带来的方便。通过这些课外知识的延伸，拓展学生的数学视野，并且将学生的思考和探索也带向了课外。

3、形成科学的学习观。

    本节课中我鼓励学生面对未知时，要敢于展开大胆的猜想，在猜想之后一定要动手验证，并且身体力行，引导学生形成严谨的科学的学习观。

【活动目标】

知识技能：方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯圈，在动手操作中了解莫比乌斯带的特征。

过程与方法：经历动手操作，主动思考，合作交流的“做数学”的过程，探索莫比乌斯带的神奇特征。

情感态度：敢于大胆猜想，能够提出自己的见解；让学生通过猜测到验证这种数学活动，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学习数学的热情。

活动重点：

   学生经历动手操作，主动思考，合作交流的“做数学”的过程，探索莫比乌斯带的奇异性质。

活动难点：

   利用所学数学知识解决问题的能力。

教法： 启发式教学法、探究式教学法、问题教学法。

学法： 经历动手操作，主动思考的“做数学”的过程，并从中发现“莫比乌斯带”的奇异性质。

【活动准备】

1、师准备：变魔术的纸条和2个回形针。

   3个 1号纸条（1个在初步感知时做成2条边2个面、1个用来演示为什么是1个面1条边）

2个2号纸条（一个做成普通圈）

1个3号纸条

2、生准备：

长纸条三条(长20-30厘米，宽约3厘米，事先画好二等分线和三等分线)；

每人一把剪刀、一支水彩笔

【板书预设】

神奇的莫比乌斯带

   4条边  2个面

                  猜想             验证

 

二分之一        2条纸

                2个圈   

 

三分之一        3倍长的圈

                3个圈                      

 

 

【活动过程】

活动一：魔术引入 、激发兴趣。

1、大家看老师手上有什么？（纸条）

2、这是一张神奇的纸条，有多神奇呢？我这儿有一个红色的回形针，还有一个蓝色的回形针，我现在把红色的回形针夹在这个地方，把蓝色的回形针夹在这个地方，大家看，两个回形针有没有连在一起？周老师待会儿就变魔术，利于这张纸条，让他们手拉手，成为好朋友，你信吗？我们来试试看！如果我做成功了，你们要送给我什么？

3、变魔术，我需要一个学生帮忙，谁愿意？见证奇迹的时刻，帮我捡起来举高让大家看看，掌声在哪里？
4、其实一张普普通通的小纸条也有它神奇的地方，今天这节课，周老师就要和同学们一起玩一个数学游戏，我们一边玩儿，一边研究，看看这张普通的纸条有多神奇！

  活动二：初步认识、感受神奇

1、  请同学们拿出准备好的1号长方形纸条，看看这张纸条它有几个面？几条边？（2个面，4条边）

2、 现在谁会变魔术，能把这张有4条边2个面的纸条变成只有两条边和两个面吗？（生操作）

好聪明，把这张纸条头尾相连，卷成一个圈（教师演示制作过程，板书：圈）

2、这个纸圈真的是2条边2个面吗？数数看。

老师演示普通纸圈。（用彩笔画过蓝色面）先选一个起点，我们可以画一条线，然后拿出水彩笔沿着中间的线走一走，画一画。老师刚才用彩笔画过的是什么颜色的面？白色的面有没有画到？说明它有2个面。

3、既然你们这么厉害，我们来个高难度的，你能不能把它变成1条边1个面？

4、同学们还没有琢磨出来，这个纸带到底怎么做的呢？想不想学学？请看屏幕，先把它做成一个2个面的普通的纸圈，拿1号标记的手不动，注意看右手，我的右手把蓝色的面翻转180度，翻转进来和白色的面粘在一起。

5、再做一次，同学们和我一起做，把双面胶撕下来，这里有个粘贴处，粘上就好了。

6、这个圈真的只有1条边1个面吗？

独立思考，自己想办法验证一下。

汇报：你是怎样验证有一条边的？你是怎样验证有一个面的?

9、小结。这个只有1个边1个面的圈是德国数学家莫比乌斯在无意中发现的，不要小看这个圈，在当时，它就像是在浩瀚的星空中发现一颗行星一样惊世骇俗，所以，就以他的名字命名为莫比乌斯圈。（板书课题）也把它叫做莫比乌斯带。

10、同样的一张纸，为什么莫比乌斯圈只有1条边1个面呢？

（演示。其实道理很简单，大家看我手中这个圈的外侧面是什么颜色？内侧面呢？我这样一翻转，原本井水不犯河水的两个面就合二为一了，本来上面的边白色边和下面的绿色边老死不相往来，这样一翻转，就成了一条边了。这个神奇的翻转就让莫比乌斯圈变成一条边一个面了）

15、这样有什么好处呢？

   比如常见的传输带，传送带，如果他做成两个面的圈，那么在使用的过程中，要么磨损蓝色的面，要么磨损白色的面，老是磨损一个面，这个面就很容易坏了，如果我把它做成莫比乌斯圈，你看看，它磨过蓝色的面，紧接着就磨白色的面，这样白色的面和蓝色的面交替使用，轮流磨损，这样就延长了使用寿命。（课件）

其实办公室里的打印机，它的色带也是莫比乌斯圈，这样就不会只磨损一个面，这样就延长了使用寿命。（课件）

这样一个圈是不是很有意思？我告诉你，莫比乌斯圈的神奇才刚刚开始，想不想见识一下？

活动三：实践操作、再次体验。

1、两等分剪开

⑴拿出2号纸条做一个莫比乌斯圈。（先做一个纸圈，然后神奇的翻转）

⑵猜想。莫比乌斯圈中间的虚线，也就是二分之一的地方，如果沿虚线剪开，猜猜它会变成什么样？（板书二分之一  、猜想：2条纸、2个圈）

⑶验证。

a、要知道究竟怎么样?我们就要动手剪一剪求证一下，怎么剪呢？注意看，剪时先对折，从中间剪出一个口子，再把剪刀伸进去沿着线剪，3、2、1、剪完后到底是怎样的？把这个奇迹留给你们验证好不好？

b、剪完后是几个圈？（老师剪完）怎么会变成一个大圈，你知道吗？

C、演示普通圈一分为二。因为手中的圈有2个面，剪下去自然就一分为二，因为莫比乌斯圈只有一个面，它能剪断吗？相当于剪了一个两倍长的大圈，它是不是莫比乌斯圈呢？

d、用你的彩笔验证一下。

有没有经过所有的面？

学生操作验证，不是一个莫比乌斯圈。

小结：刚才大家从莫比乌斯圈二分之一处剪开，原以为它会一分为二，没想到它变成一个两倍长的圈，而且这个大圈居然不是莫比乌斯圈，怎么样？神奇不神奇？还有更神奇的想不想玩儿？

2、三等分剪开

⑴拿出3号纸条，做一个莫比乌斯圈。

⑵猜想。沿着三分之一得宽度一直剪下去，猜想一下会有什么结果？

（板书；3倍长的圈   、3个圈   ）

（3）认为是第一种的举手？第二种的举手？谁的猜测最给力？还是自己动手验证一下。

（4）学生操作验证。

是变成3个圈吗？是3倍长的大圈吗 ？那变成什么了？（一大一小套在一起的两个圈，怎么会这样呢？。

其实这还是和莫比乌斯圈的特点有关，什么特点？能剪断吗？这蓝色部分还是剪成了2倍长的圈，红色部分你剪到了吗？所以它还是原来的莫比乌斯圈，这样这个大圈就和小圈套在一起了，神奇吧？

活动四：联系生活、感受魅力

1、师：其实，它不仅好玩有趣，在生活中，你也经常能够看到他的身影。莫比乌斯圈蕴含着永恒、无限的意义。

①可回收标志。表示循环使用的意思。

②中国科技馆的三叶扭结，象征着科学没有界限。

③火炬。2007年世界特殊奥林匹克的主火炬就是莫比乌斯圈，它告诉我们，转换一种生命方式，您将获得无限发展。

可是，莫比乌斯圈有一个美中不足，有一个明显的边界，后来，德国科学家克莱因发现了一种自然封闭，又没有明显界限的瓶子，就用他的名字命名为克莱因瓶。

仔细观察，从莫比乌斯圈到克莱因瓶，继续把它抽象，综合最后变成了什么？竟然是我们的太极图，几千年前，我们的老祖宗就将阴和阳合二为一，象征生生不息，永无止境。

多么神奇的莫比乌斯圈，所以，后来好多人为此着了迷，数学家们对莫比乌斯圈不断的研究，后来就慢慢形成了一种新的学说，叫做拓扑几何学，有兴趣的同学课后可以了解一下！

活动五：回顾反思 总结收获

     我们今天沿着二分之一和三分之一的地方剪开莫比乌斯圈，给我们带来了很多神奇的地方，我们还可以…我们还可以沿着四分之一处剪开，又会给我们带来什么样的惊奇呢？大家课后可以研究一下。

   今天这节课，希望能给同学们这样一个启发，平时多留心观察，能够像今天这样大胆猜测，小心验证，下一个伟大的发现，就在咋们班诞生！