复数是在求一元三次方程的解的时候发现的。不是二元一次方程，利用求根公式，明明有实数根，但是

## 1. 任意三次方程

对于任意三次方程

$x^3+ax^2+bx+c=0$,

令 $x=y-\frac{a}{3}$,原方程可化为：

$\left ( y-\frac {a}{3} \right )^3+a\left ( y-\frac {a}{3} \right )^2+b\left (  y-\frac {a}{3} \right )+c=0$

即 ：

$y^3-\left ( b-\frac{a^2}{3} \right )y=-\left ( \frac{2a^3}{27}+\frac{ab}{3}+c \right )$

故任意一元三次方程均可化成：$x^3+px+q=0$的形式

## 2. $x^2=px+q,where \ p,q>0$

我们现在看一个特殊的方程：

$x^3=px+q,where \ p,q>0$

显然此方程有实数解

令 $x=u+v$,由于

$\left ( u+v \right )^3 = 3uv\left ( u+v \right )+u^3+v^3$

故,令$p=3uv,q=u^3+v^3$,又因为：

$u^3,v^3$是方程$y^2-qy+\frac{p^2} {27}$的解。联系二次方程的求根公式，可求得 $u,v$。则：

$x=u+v=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}$

对于方程$x^3=15x+4$, $x=4$显然是他的一个解，但是我们在利用公式的时候求根公式的时候发现： 根号下出现了负数。。。

http://s5/mw690/003ndsU3zy7jTCEMaOgd4&690