行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的.日本著名的“算圣”关孝和在1683年的著作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法.与莱布尼茨从线性方程组的求解入手不同,关孝和从高次方程组消元法入手对这一概念进行阐述.行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家，他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念.

    1683年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中第一次提出了行列式这个概念。该书中提出了 乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。1693年，德国数学家莱布尼茨从三元一次方程组的系统中消去两个未知量得到了一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行列式中元素的位置：ij代表第i行第j列。1730年，苏格兰数学家科林•麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组的解法，并给出了四元一次方程组一般解的正确形式。1750年，瑞士的加布里尔•克莱姆首次在他的《代数曲线分析引论》给出了元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。此后，行列式的相关研究逐渐增加。1764年，法国的艾蒂安•裴蜀在论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。法国人的亚历山德•西奥菲勒•范德蒙德在1771年的论著中首次将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。此后，数学家们开始对行列式本身进行研究。1772年，皮埃尔-西蒙•拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，提出了子式的定义。1773年，约瑟夫•路易斯•拉格朗日发现了的行列式与空间中体积之间的联系：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。

    行列式被称为“determinant”最早是由卡尔•弗里德里希•高斯在他的《算术研究》中提出的。“determinant”有“决定”意思，这是由于高斯认为行列式能够决定二次曲线的性质。高斯还提出了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消元法。

    十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。此前，高斯只不过将“determinant”这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥古斯丁•路易•柯西在1812年首次将“determinant”一词用来表示行列式。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。柯西还证明了曾经在雅克•菲利普•玛利•比内的书中出现过但没有证明的行列式乘法定理。

    十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果。

行列式是现行高中普通课程标准（实验）中新增加内容，安排在选修4—2中，行列式作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生理解数学基本原理、思想、方法，培养学生数学知识的迁移能力，进一步学习提供必要的数学准备。行列式作为一种重要的数学工具引进，从更高的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。本文结合中学数学课程内容，将从空间几何、平面几何、解析几何、高中代数等方面探究行列式在中学数学领域中的应用。

一、行列式在平面几何中的应用

    一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难，利用行列式的知识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题。

例1 证明不存在格点三角形是正三角形。

证明：（反证法）假设存在格点三角形是正三角形。

不妨设http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002.gif 是格点三角形且是正三角形。设其顶点坐标分别为

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0004.gif ，

所以， http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0005.gif 。

又因为 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0006.gif ，

前后矛盾,所以不存在格点三角形为正三角形。

例2 证明三角形三条中线交于一点。(1980年高考题)

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0007.gif

               如图1

如图1所示，在三角形ABC中，H、I、J分别为边BC、AC、AB的中点。求证：三条直线AH、BI、CJ相交于一点G。

证明：不妨以AB所在直线为x轴，点C在y轴上作直角坐标系。设A、B、C三点的坐标分别为A（a,0）,B(b,0),C(0,c),则显然有Hhttp://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0010.gif ，分别求得直线方程：

AH：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0011.gif

CJ：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0012.gif

BI：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0013.gif

令AH所在直线为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0014.gif ，则

(2)-(1)得， http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0017.gif 。

代入（2）得， http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0018.gif ，

从而AH所在直线为 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0019.gif 。

同理，将这三个直线方程看做以http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0020.gif 为未知数的齐次线性方程组，则其系数行列式为：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0021.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0022.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0023.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0024.gif

所以齐次线性方程组有唯一解，即这三条直线交于一点。

例3 求证：三角形三条高线交于一点。

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0025.gif

证明：建立直角坐标系如图所示，设

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0026.gif

因为直线AD法向量为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0028.gif,所以直线AD为 。

同理，直线BE为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0029.gif

将三个直线方程看做是以x,y,1为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0032.gif ，

故齐次线性方程组有唯一解，即三条直线交于1点。

利用齐次线性方程组有非零解的充要条件这一理论，能给出中学解析几何中直线方程、圆锥曲线方程等的行列式形式。

例4 求经过点http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0034.gif ，且焦点在x轴上的椭圆方程。

解：设椭圆方程为 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0037.gif在椭圆上,则

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0038.gif

将其看成关于 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0040.gif 和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆方程可写成：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0042.gif ，

即 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0043.gif

解得 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0044.gif 。

例5 求经过点http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0046.gif ，且焦点在x轴上的双曲线方程。

解：设双曲线方程为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0049.gif在双曲线上,则

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0050.gif

将其看成关于http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0052.gif和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆方程可写成：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0054.gif ，

即 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0055.gif

解得 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0056.gif

例6 求椭圆 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0057.gif内接三角形ABC面积的最大值。

解：不妨设三角形ABC的坐标分别为 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0060.gif） ，易知：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0064.gif ，

因为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0065.gif ，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0066.gif 。

又在圆里正三角形面积最大，故 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0068.gif ，

即椭圆 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0070.gif 。

每个多项式都可以表示成几个多项式的和或者差，而每个多项式又可以表示成几个多项式的乘积，因此利用行列式的定义，就可以将任一多项式表示成一个行列式，进而利用行列式的性质对其进行分析．例如，设任一个多项式为F，它总可以表示成为 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0073.gif 。

应用行列式进行分解因式重在构造，利用行列式的性质进行运算，以使得可以提取公因式。

例7 分解因式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0074.gif

解：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0076.gif

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0077.gif （第一列乘以1加到第二列）

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0078.gif

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0079.gif （提取公因式）

=http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0081.gif

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0082.gif

例8 分解因式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0083.gif

解：原式http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0084.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0086.gif

例9 分解因式http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0087.gif

解： 原式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0088.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0089.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0090.gif

例10 分解因式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0091.gif

解：原式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0092.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0093.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0094.gif

例11 分解因式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0095.gif

解：原式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0096.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0097.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0098.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0099.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0100.gif 。

应用行列式解决代数不等式问题:

例12 求证不等式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0102.gif 。

证明：要证明 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0104.gif ；

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0105.gif （将第二行和第三行分别加到第一行）

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0106.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0107.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0108.gif

因为 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0111.gif得证。

例13 求证不等式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0112.gif 。

证明： http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0113.gif

=http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0114.gif （根据行列式线性性质展开）

=http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0115.gif

=http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0116.gif

=http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0117.gif 。即证。

例14 求证： 当 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0119.gif恒成立。

证明: http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0120.gif

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0121.gif （第二行乘以1加到第一行）

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0122.gif （第三行乘以1加到第二行）

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0123.gif （分别从第一行和第二行提取公因式x）

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0124.gif

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0125.gif

所以当 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0127.gif 。

故不等式http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0128.gif恒成立。

例15 用行列式证明柯西不等式: 求证不等式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0130.gif 。

证明： http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0131.gif ，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0132.gif

  http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0133.gif

又由于 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0134.gif

从而 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0135.gif，

即 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0136.gif ，即证得柯西不等式。

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0137.gif 。

在中学数学中详细介绍了一元二次方程的解法，而学生要解决未知数含根式或高次的方程就需要较强的解题技巧和思维能力，而采用行列式这个有用的数学工具去解决这类问题就可以取得事半功倍的效果。

例16 解方程： http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0138.gif 。

解： http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0139.gif

即 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0140.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0141.gif ，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0142.gif，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0143.gif，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0145.gif

解得： http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0147.gif。

例17 已知反比例函数 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0149.gif ，求在实数域内它们的交点所构成的图形的面积。

解： 由已知得 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0151.gif 。

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0153.gif 。

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0154.gif （第一列乘以1加到第二列）

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0155.gif

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0156.gif (提取公因式)

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0157.gif

= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0158.gif

所以 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0166.gif 。所以这三个交点构成的三角形面积为:

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0167.gif

将形如 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0169.gif ) ，显然直接采用中学数学现行的理论是不能解决这个问题的，我们不妨利用中学数学中求等比数列前N项和的方法构建一个齐次线性方程组，结合行列式给出解决这类分式有理化的通法。

一般地，不妨设S= http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0173.gif 去乘S，得到：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0174.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0175.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0176.gif

变形为：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0177.gif ，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0178.gif，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0179.gif。

将其看成关于1， http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0181.gif 的齐次线性方程组，有非0解，故系数行列式等于0，

即： http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0182.gif 。

所以：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0184.gif ）

例18 将 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0185.gif 分母有理化。

解：代值求得 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0187.gif 。

行列式在解决中学数学中的三角函数问题也有妙用，本文通过构造齐次线线性方程组给出余弦定理的行列式证法，和利用行列式的恒等变形的特性解决一些棘手的三角恒等式证明问题。

例19 证明三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。(余弦定理)

即 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0188.gif

   http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0189.gif

   http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0190.gif

证明:由射影定理知 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0191.gif ，

(1)由 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0194.gif,则我们将射影定理变形为：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0195.gif

将其看成关于 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0197.gif 和-1的三元齐次线性方程组,该方程组必有非0解,

所以 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0198.gif =0，将其展开有

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0201.gif=0

即 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0202.gif ，得证。

同理可证(2)和(3)。

例20 证明三角恒等式: http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0203.gif。

证明： http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0204.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0205.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0206.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0207.gif

附：1。应用行列式解决空间几何问题

中学数学必修4和选修2-1已经针对平面向量和空间向量有了较为深刻的研究，新课标要求学生掌握空间向量的线性运算和数量积，在此基础上我们引入空间向量的外积和混合积，探寻行列式的几何意义，以新的视角去认识向量与空间几何的紧密关系，开辟新的解题思路和方法，为初等数学和高等数学的衔接做好铺垫。

定义1：两个向量 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0217.gif的方向。向量的外积亦称向量积。

定义2：设http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0223.gif。

在直角坐标计算向量的外积和混合积：设http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0231.gif 。

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0232.gif 。

例1 已知正方体http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0233.gif的棱长为1，M点是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点。(2010年四川高考卷18题)

(1)求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线;http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0240.gif

(2)求二面角http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0234.gif 的大小;

(3)求三棱锥http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0235.gif 的体积。

解：以点D为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0236.gif则

由已知 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0237.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0239.gif ；

(1)证明: http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0246.gif=(-1,-1,1)。

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0253.gif。

又因为OM与异面直线AA'和BD'都相交,所以OM为异面直线AA'和BD'的公垂线。

(2)取平面 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0260.gif ) ,所以

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0263.gif，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0267.gif 。

由图分析可知,二面角http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0270.gif。

(3)因为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0275.gif，

所以 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0276.gif 。

例2 如图3所示, http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0286.gif。（2010年江西理科卷）

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0290.gif

(1)求点A到平面http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0287.gif的距离；

(2)求平面http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0289.gif所成二面角的正弦值。

解:建立如图4所示的直角坐标系http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0292.gif ，

   （1）方法一：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0295.gif，所以

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0296.gif，

                        因为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0297.gif，

                        所以http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0298.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0305.gif

即http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0300.gif，

所以http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0301.gif=，

又因为 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0304.gif 。

方法二：

设平面http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0308.gif

所以，http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0311.gif ，

故 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0313.gif 。

(2)设平面 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0316.gif，,从而

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0317.gif 。

设平面BCD的法向量为 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0319.gif,从而

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0320.gif ，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0321.gif ，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0322.gif 。

从而平面ACM与平面BCD所成二面角为锐角，其正弦值为 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0323.gif 。

例3 如图所示，在长方体 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0330.gif 的中点。

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0333.gif

(1)求证点http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0331.gif平面；

(2)求点N到直线ME的距离；

(3)求异面直线http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0332.gif的距离。

解：如图6所示以D为坐标原点建立空间坐标系D-xyz，则 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0341.gif ；

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0342.gif

(1)http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0345.gif，这三个向量的混合积为：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0346.gif

显然有这三个向量 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0350.gif共面。

(2)由向量外积定义知 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0351.gif ，设点N到直线ME的距离为d，所以

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0352.gif ，

又http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0354.gif 。

(3)设异面直线 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0363.gif的距离为直线EC1上任意一点和直线FD1 上任意一点连线在公垂线的方向向量的投影，

即http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0364.gif 。

2．应用行列式解决数列问题

定理1 若一等差数列http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0370.gif 。

证明：根据等差数列通项公式http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0376.gif ，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0377.gif

三个直线方程看成以http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0378.gif 为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0379.gif 。

故由三点共线的充分必要条件得 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0380.gif

例1 等差数列http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0383.gif 。

解：令http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0384.gif，由定理1得，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0385.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0387.gif

例2 等比数列 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0391.gif 。

证明：根据等比数列通项公式 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0394.gif 。

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0397.gif

从而，三点 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0398.gif满足直线方程(*),则

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0399.gif

三个直线方程看做以http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0401.gif 。

故三点共线的充分必要条件得，http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0402.gif 。

例3 若在各项均为正数的等比数列 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0406.gif 的值。

解：由已知 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0412.gif是等差数列。

对等比数列 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0414.gif ，

解得：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0416.gif 。

定理2 若 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0425.gif。

证明：由等差数列通项公式http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0427.gif ，

所以 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0428.gif 。

例4 已知等差数列a,b,c中三个数都是正数，且公差http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0432.gif不可能成等差数列。（1984年高考文科卷）

证明：设a,b,c是等差数列http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0438.gif的 第1，2，3项，则

所以由定理2得，数列http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0442.gif不可能成等差数列。

例5 已知http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0447.gif，求证a,b,c成等差数列。

证明：因为正数 http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0451.gif成等差数列，由定理2得:

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0452.gif

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0453.gif

所以a,b,c成等差数列。

定理3若等差数列第1，j项分别为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0454.gif，前n项和为 ，则,

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0455.gif

证明：由等差数列通项公式和前n项和公式http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0456.gif,变形为

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0460.gif

三个直线方程看成以http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0461.gif为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0462.gif。由三点共线的充要条件得：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0463.gif，

所以http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0464.gif。

例6 等差数列http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0469.gif等于（      ）（2009年福建理科卷第3题）

A．1           B．          C．2          D．3

解：由定理3得http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0471.gif ,

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0474.gif ，

故答案为C。

定理4 若等差数列前p,q,r项和为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0476.gif 。

证明：由等差数列前n项和公式http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image004.gif

所以http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image004_0000.gif的齐次线性方程组，

必有非0解，所以其系数矩阵等于0，即http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0479.gif。

例7 已知等差数列http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image008.gif。

解：由定理4得：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0481.gif，

第1列的10倍分别加到第2列、第3列，得

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0482.gif

将第1列提取1000，第1行提取9得

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0483.gif ，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0484.gif

解得http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0485.gif。

例8 已知等差数列http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image008_0000.gif。（2010年山东理科高考卷18题）

(1)求http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image004_0003.gif；

(2)令http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image006_0001.gif。

解：因为http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image004_0005.gif。

(1)由定理1得http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image004_0006.gif整理得：

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image006_0002.gif。

第3列的-1倍加到第1列，第3列的(-3)倍加到第2列，得

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0493.gif

整理得：http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0494.gif。

(2)http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image004_0008.gif。

由定理3得，http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image002_0496.gif，

将第3列的http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image004_0009.gif倍加至第2列得，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image004_0010.gif，

http://yjs.teacher.com.cn/dsjyss/jswk11001/kcjj/ch1/ztjz/ztjztxt_clip_image004_0011.gif。

从上面可以得出，结合直线上三点共线和齐次线性方程组有非零解的理论就可以探求到行列式与等差数列问题的结合点．在求解等差数列问题时，行列式解答可以摆脱传统中学数学解决此类问题对首项和公差的依赖。由等差数列和等比数列的关系，上述定理还可以推广等比数列中的一些应用。