译自——Dallase E Johnson.Applied multivariate methods fro data analysts(影印版).北京: 高等教育出版社,2005

仅用于学习、交流。

我想应该上来就说明白，MANOVA 是干嘛用的：

The basic hypothesis testing results of a multivariate analysis of variance are not very exciting. If the multivariate tests are significant, then we know the groups being compared are different, but we do not know which ones are different or why they are different. Are all groups different? Are they different on all variables? Some variables? Which variables?

If the multivariate tests are not significant, then does this mean that the groups being compared do not differ on any of the variables? Or does it mean that they do not vary many variables, so that the overall test has low power and, as a result, the MANOVA test statistic is not significant?

Many unanswered questions remain regardless of whether a MANOVA test statistic is statistically significant or not. A primary reason for conducting a MANOVA is to gain some guidance as to how you should appropriately proceed to answer the important questions raised in the preceding two paragraphs.

多元方差分析 (MANOVA)

 假设在所实施一个实验中有 m 个不同的总体，或者m 组不同处理。并假设每个实验单元有 p 个反应变量。令 http://s11/bmiddle/b5c8908cgd2ae7d4a02eb&690  表示第 i 组处理中的第 j 个变量，其中 i = 1, 2, ..., m；j = 1,2,...,p。令 表示从第 i 个总体中第 r 个实验单元上第 j 个反应变量的观测值。多元变量均值模型可以用下式表达。

http://s3/bmiddle/b5c8908cgd2ae6e499a92&690

                            i =1, 2, ..., m, j =1,2,...,p, r=1, 2, ..., N_i

该模型写成矩阵形式为

http://s11/bmiddle/b5c8908cgd2ae702fc9ca&690

                   i=1, 2, ..., m, r=1, 2, ..., N_i.

其中

http://s16/bmiddle/b5c8908cgd2ae5f304aff&690

1 假设条件

 理想情况下，多元方差分析要求实验误差向量独立、同分布，即多元正态分布，均值为零，方差—协方差矩阵相等但未知。也就是说，在理想条件下，

http://s11/mw690/b5c8908cgd2ae86c8563a&690服从N_p(0, Σ)的分布，其中 Σ 为正定矩阵。

换句话说，多元方差分析要求不同实验单元的误差不相关，但允许同一实验单元误差向量中的元素相关。

2 检验统计量

 多元变量方差分析MANOVA时，每个模型效应（effects）都有对应的总平方和，交叉乘积矩阵。

用 E 表示误差平方和与交叉乘积矩阵，现在将用 H 表示任意特殊假设平方和与交叉乘积矩阵。要求MANOVA的实验分析中，需要考虑几个假设矩阵，用H 表示任意假设的矩阵。

所有MANOVA检验程序都以 H 和 E 的函数为基础，好的检验程序实际上是HE^-1 和/或 H(H + E)^-1的非零特征根的函数。

HE^-1 和/或 H(H + E)^-1的非零特征根数用 s 表示，s = min(h, p)，h 是相应于假设矩阵的自由度，p 通常代表所分析的相应变量的个数。

下面是最流行的多元方差检验方法：

1.        Roy 检验: Roy检验基于HE^-1 的最大特征根。

2.        Lawley 和 Hotelling 检验:统计量为 T=tr(HE^-1).

3.        Pillai’s 检验: 统计量是一个函数 V = tr[H(H + E)^-1].

4.        Roy’s 第二检验: Roy的另一个依靠 U=|H(H + E)^-1|的统计量。

5.        Wilks 似然比检验:由 Wilks 依据 Λ= | E |/| H + E |导出的统计量。

3 检验的比较

  功效比较与这些多元方差检验分析产生的无效结果有关。最有效的检验依靠的是备择假设的结构。

 尤其是Roy’s 检验，当在备择假设下处理方法近乎共线时，它是最好的例子——如果所有的 ui 落在 p 维样本空间中的一条直线上。其他多元检验统计量彼此之间近似相等，对于小样本而言功效差别甚微。本书推荐 Wilds 似然比检验，因为通常似然比检验的表现非常好。

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以下引自 stata 技术档案，仅用于学习。

ANOVA was pioneered by Fisher. It features prominently in his texts on statistical methods and his design of experiments (1925, 1935).

Many books discuss ANOVA; see, for instance, Altman (1991); van Belle et al. (2004); Cobb (1998); Snedecor and Cochran (1989); or Winer, Brown, and Michels (1991).

For a classic source, see Scheff´e (1959).

Kennedy and Gentle (1980) discuss ANOVA’s computing problems.

Edwards (1985) is concerned primarily with the relationship between multiple regression and ANOVA.

Acock (2010, chap. 9) illustrates his discussion with Stata output.

Repeated-measures ANOVA is discussed in Winer, Brown, and Michels (1991); Kuehl (2000); and Milliken and Johnson (2009).

Pioneering work in repeated-measures ANOVA can be found in Box (1954); Geisser and Greenhouse (1958); Huynh and Feldt (1976); and Huynh (1978).