祖冲之与圆

         前几天看到数学书上出现了一个很不寻常的东西，它说祖冲之为了计算圆周率，将圆割成了20000多边形。

祖冲之是我国杰出的数学家、科学家。

他个人首次将圆周率计算到了小数点后的第7位3.1415926~3.1415927，提出约率22/7和密率355/113，成为最早的将π计算到小数点后第7位的人。

         可能有人会想计算个7位不算什么，现在都已经算了几亿位了。来看看圆周率应该怎么算。

         现在有了计算机速度那是当然快了很多,还有就是现在科学技术发达，相比以前出现了很多新的数学概念。算圆周率的方法是用一个公式，比如泰勒级数：

｛arctan x =x-x^3/3+x^5/5……

         取x=1

         左边=arctan 1=π/4，右边=1-1/3+1/5-1/9……

         就可以得到π=4*（1-1/3+1/5-1/7+1/9-...）｝

         大扩号的一段可以不用看懂，只需要知道 “4*（1-1/3+1/5-1/7+1/9-...）”就是π就可以了。

         然后把这个东西输到电脑里去不停地算就可以了。

         现在看起来挺简单。

         但古时候的人什么都没有，没有电脑，没有公式，只有圆规、刻度尺、算筹、笔墨纸砚，或许还有个量角器。而且在纸上写的东西也没那么方便“壹贰叁肆伍陆柒捌玖拾”写一个字就要写很长时间。

    古时候还有一种计算圆周率的方法，叫做“割圆术”，它在一个圆内接正多边形，计算出一条边的长度并乘上边数就是圆周长的近似值，当边数越多，这个圆周长的值就越精确。

    比如这样：“先作一个圆，再在圆内作一内接正六边形。假设这圆的直径是2，那么半径就等于1。内接正六边形的一边一定等于半径，所以也等于1；它的周长就等于6。如果把内接正六边形的周长6当作圆的周长，用直径2去除，得到周长与直径的比π=6/2=3，这就是古代π=3的数值。但是这个数值是不正确的，我们可以清楚地看出内接正六边形的周长远远小于圆周的周长。” 然后再分12边形，24边形……   那么要算到小数点之后7位要分多少边呢？3.1415926要12288边，3.1415927要24576边。“如果从正六边形算起，算到24576边时，就要把同一运算程序反复进行十二次，而且每一运算程序又包括加减乘除和开方等十多个步骤。我们用纸笔算盘来进行这样的计算，也是极其吃力的。当时祖冲之进行这样繁难的计算，只能用算筹（小竹棍）来逐步推演。如果头脑不是十分冷静精细，没有坚韧不拔的毅力，是绝对不会成功的。祖冲之顽强刻苦的研究精神，是很值得推崇的。” （注意这里是比较精确的，不是测量的）

    如果他不是用这种办法来计算的，那想一想还有什么办法可以估算呢？

    首先就是画一个圆，或者画一个正多边形，量出它的周长和直径计算。这个方法饶睿杰也在他自己的随笔里写到过了：

“我不知道这是否正确，但是经我手，电脑上画出的内接正24边形（图2），已经几乎是个圆了；而内接正96边形（图3），已经“毫无疑问”是个圆了。

“这样的话，我们对于祖冲之先生的内接20000边形也就可以想象了，至少有2个我们学校（200米跑道）操场那么大的地方才看得清楚。

“那他是怎么画的？？？

“我的猜想是，将一根棍子钉在中心，绑一根半径长的绳子，另一头绑一支笔什么的，和圆规差不多。也许，六等份是用量角器等工具量出，画线连接。如果动用工人，效率定然会提高，每次翻倍，大概动用双倍工人来画加量，于是需要136.5年。

“所以，人太少了，再加倍，需要大概68.25年，他还有2.75年的空余时间。”

那么这样是不太可能的，我自己也做了一种猜想，利用相似三角形和三角比计算。

具体操作是这样的：如果要计算正六边形的周长，就在纸上作一个有30°（π/6）的角的直角三角形，量出较短的直角边与斜边的长度的比值（测量值约为0.5）。然后将这个比值乘上边数（3），这就是要的圆周率

可是要分到12288边，这个三角形的角度就要是15/1024°（0.014648°），这基本上是做不到的。

不考虑做不到的问题，想想误差。比如说画一个1°的直角三角形，我画了七个，圆周率分别算出：3.0508、3.9823、3.3174、2.8992、2.9610、3.2622、3.1097（平均3.2261）。如果是精确的话算出来应该是3.1414（到第三位都是对的）

（没写完）