《平面向量的坐标运算》教学案例分析

安康市平利县老县中学     胡昌华

课题《平面向量的坐标运算》

主要分析研究两类问题：

(一)、平面向量的坐标和平面向量的坐标运算

(二)、以情境教学培养学生的创新精神和实践能力，履行“以学生发展为本”的教育思想。

下面从三个方面阐述这节课。

第一方面：教材分析

本节的授课内容为《平面向量的坐标运算》，选自全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（下）第五章第四节，下面从四个方面进行教材分析。

1、教材的地位和作用

平面向量的坐标将平面向量和一对有序实数建立了一一对应关系；平面向量的坐标运算，则使向量的运算完全数量化，将数与形紧密地结合起来，为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。这样，用向量的方法解决几何问题更加方便，从而极大地提高了学生利用向量知识解决实际问题的能力。

同时，这节课的教学内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要意义。

2、教材的处理

结合教参和学生的学习能力，将《平面向量的坐标运算》安排了2课时。本节为第一课时。

根据目前学生的状况和以往的经验，虽然这节课的内容比较简单，但由于老师讲解的过多，导致学生丢失了很多重要的知识。为了激发学生的学习热情，在平面向量基本定理为背景下，以问题情境创设复习提问的形式，引出平面向量的坐标的定义；以讨论的形式得出平面向量坐标运算的规律，直接切入本节课的知识点。之后，由浅入深，由低到高地设计了三个层次的问题，逐步加深学生对平面向量的坐标的记忆和理解。

由此，对教材的引入、例题和练习做了适当的补充和修改。

3、教学重点与难点

根据学生现状、教学要求以及教材内容，确立本节课的教学重点为：明确平面向量的坐标和点的坐标的关系并熟练地掌握平面向量的坐标运算。

由学生的实际情况——运用所学知识分析和解决实际问题的能力较差，把本节课的难点定为：平面向量的坐标运算的应用。

要突破这个难点，关键在于紧扣平面向量的坐标运算的相关知识，利用情境去发现解决问题的方法。

4、教学目标的分析

根据教学要求，教材的地位和作用，以及学生现有的知识水平和数学能力，把本节课的教学目标确定为三个方面：

(1)知识教学目标：

理解向量的坐标表示法与平面向量和一对有序实数的一一对应关系；
能准确表述平面向量的坐标运算的规律；

并掌握用平面向量的坐标运算解决平面几何问题的方法。

(2)能力训练目标：

培养学生观察、分析、比较、归纳的能力及创新能力；

培养学生运用数形结合的方法去分析和解决问题的能力。

(3)德育渗透目标：

通过学习平面向量的坐标运算，实现几何与代数的完全结合，让学生明白：知识与知识之间，事物与事物之间的相互联系和相互转化；

通过例题及练习的学习，培养学生的辩证思维能力，养成勤于动脑，明辨是非的学习作风。

第二方面：教法与学法分析

数学家乔治·波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。”这里所说的“发现” ，其实就是学生在自主探索过程中,根据自己的思维方式和体验对数学知识进行“再创造” 。教学实践证明，学生进行“再创造”时能最大限度地发挥主观能动性和创造性，并从中学习探索的方法，体验成功的乐趣，激起学习数学的兴趣。因此本节课采用“引导发现法”来组织课堂教学，为学生提供自主探索、实现“再创造”的机会，突出学生的主体作用。

教学活动是教与学的有机统一。在教学过程中，要紧紧抓住“学”这个中心。根据本节课的特点，以“讲练结合”为主题的课堂情境，以“教为主导，学为主体，练为主线” 为教学原则，通过提问→归纳→讲→练→讨论→总结的教学程序，循序渐进借助情境地将问题逐步引向深入，并借助于计算机课件辅助教学，引导学生多种感官参与学习的全过程。

第三方面：教学过程：

共分为六个环节，具体的时间安排如下：

复习提问约3分钟，导入新课约5分钟，创设问题约25分钟，小结约5分钟，布置作业约2分钟。

第1环节、复习提问（问题情境）：

（1）什么是向量的基底？

（2）平面向量基本定理的内容是什么？

（3）直角坐标平面内的点与一对有序实数存在什么样的关系？

课堂教学论认为：“要使教学过程最优化，首先要把所学习的知识和学生已有的信息联系起来” ，这三个问题的复习就可以使学生在学习新的知识前,已拥有适当的知识积累。

第2环节、导入新课：

分为两步。第一步：以平面向量基本定理为背景，我首先引入平面向量的坐标的定义

在直角坐标系xoy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量i、j。在xoy平面上任作一向量a，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对(a₁, a₂),，使得

a= a₁i+ a₂j,                   y        a       a 

(a₁, a₂)叫做向量a在直角坐标系xoy中的坐标，                  

记作a= (a₁, a₂)                                          

其中a₁叫做在x轴上的坐标分量，                                   

a₂叫做在y轴上的坐标分量，         o             a  x        

i、j是直角坐标平面上的基底。                               

显然     0=(0,0)  i=(1,0) j=(0,1)                             

为了帮助学生更好地理解向量的坐标，我提出了一个问题：经过讨论，由师生共同总结出下面两点。

问题：平面向量坐标表示的实质是什么？

（1）在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示；

 即向量（x，y） 向量 点A（x，y）

（2）相等的向量其坐标相同，同样坐标相同的向量是相等的向量

P111例题1   （口答）  

为加深学生对向量坐标的记忆和理解，我安排了P111例题1。学生以口答的形式完成，既节约时间，也活跃了课堂气氛。

第二步： 在学生已完全掌握了平面向量的坐标之后，我提出了两个问题

 [问题1]、 已知a= a₁i+ a₂j,    b= b₁i+ b₂j,（i， j为直角坐标系的基底）

[1]则a，b 的坐标为----------

[2]求a+b，a-b，λa

[3]求a+b，a-b，λa的坐标

[问题2]已知A（ x₁,y₁）B（ x₂,y₂）

[1]则  OA,  OB 的坐标分别为----------

[2] 化简    OB  -OA

[3]求  AB的坐标

这两个问题由师生共同练习完成。

通过师生间的讨论，相互启发，相互合作，达到温故知新的目的，也由低级到高级的认识顺序引出本节课的知识点，这很自然，学生比较容易接受。同时激发学生发现平面向量的坐标运算规律的强烈欲望。

第3环节、创设问题情境

这是本节课的核心，根据循序渐进、由浅入深的教学原则，设计了三个层次的问题。

第一层次：先由师生共同归纳总结由问题1、2得出的结论，培养学生观察、分析、比较、归纳的能力。

由问题1我们得到结论1

a+b=（a₁ +b₁   ， a₂+ b₂）

a-b=（a₁ -b₁   ， a₂- b₂）

λa =（λa₁  ，λ a₂）

用语言叙述为：

两个向量的和与差的坐标分别等于两个向量相应坐标的和与差。

数乘向量积的坐标等于数乘向量相应坐标的积

由问题2我们得到结论2

AB   =（ x₂ -x₁   ， y₂-y₁）

用语言叙述为：

一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标。

这两个结论是向量直角坐标运算的规律，为本节的知识点，为加深认识，我又安排了练习1

练习1、（口答）下列的说法是否正确

（1）已知向量a=（-2，4）， b=（5，2）

则[1]2a=（-6，4），2b=（5，4）                      （ ）

[2]2a（-4，8）                                   （ ）

（2）已知A（2，1），B（3，8），则 AB  =（-1，-7）    （ ）

第（1）题中的

[1]让学生注意数乘向量积的坐标等于数乘向量相应坐标的积

[2]提醒学生区分点的坐标和向量坐标，两者是不同的概念。

第（2）题让学生明确一个向量的坐标等于向量终点坐标减去始点的相应坐标

第二层次：设计练习2、3、4

练习2、已知向量a，b求 a +b，a-b ，3a+ 4b， 4a- 4b 的坐标

（1）  a=（-2，4），b=（5，2）

（2）  a=（4，3），b=（-3，8）

练习3、已知A（2，1），B（3，8），则求 AB

练习4、已知A（2，3），B（4，5），C（6，8）

（1）若  3 AB  = DC，求D点的坐标

（2）求    2 AB  -   3 AC + 2   BC

这组练习由学生独立完成。目的是使学生进一步掌握平面向量的坐标运算和向量相等的条件，也体会到对于两个向量相加减的坐标运算法则可以推广到有限个向量相加减。对于练习4中的第（2）题让学生认识到先进行向量运算几何形式的化简，再进行代数运算比较好，也感受到几何与代数的密不可分。

第三层次：遵循深入浅出的教学原则，我安排了例题2，这是本节课重点知识的应用。

例题2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是A（－2，1）、B（－1，3）、C（3，4），求顶点D的坐标。

           B       y                       C                                                                                                         

E                                       

A              　　　　　 D

                             

                       O                  x                                                           

例题2有多种解法，除了课本中给出的由向量线性运算的几何形式向代数形式转化的方法之外，还可以利用向量  AB = DC  或  AD =  BC列方程，也可以利用线段AC，BD的中点E的向量表达式进行等量转化求出D点的坐标。但不论哪一种解法都用到了一个很重要的数学方法----------数形结合。

讲这个题时，目的是引导学生熟练地转化向量线性运算的几何形式和代数形式，其它的方法则只是给予了提示，让学生以小组讨论的形式完成。给学生留出空间，开阔思路，培养学生的发散思维能力。老师以巡视的方式进行个别引导，并代表性地抽取学生上黑板演示，让学生动手实践、自主探索、合作交流，围绕中心各抒己见，把思路方法弄清，并使集体智慧个人化，书本知识灵活化，同时培养学生独立思考的能力和团结协作的精神，亲身体会“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。”（华罗庚语），从而提高学生利用数形结合的方法解决实际问题的能力。

第4环节、小结：

为了让学生将获得的知识进一步条理化、系统化，同时培养学生归纳总结的能力及练习后进行再认识的能力，教师引导学生进行总结：

（1）平面向量的坐标表示是向量的代数表示形式，其背景是平面向量的基本定理；

（2）平面向量的坐标运算规律：

两个向量的和与差的坐标分别等于两个向量相应坐标的和与差。

数乘向量积的坐标等于数乘向量相应坐标的积

一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标

（3）平面向量的坐标表示使得我们可以通过数的运算来研究图形的几何性质，体现了数形结合的思想方法；

第5环节、布置作业：

为了让学生进一步巩固本节课内容，提高自觉学习的能力，根据本节课的重点、难点和设计作业时“基础性、灵活性、延伸性”的特点，我设计了必做题和选做题，这是为了在面向全体学生的基础上，让学有余力的学生充分发挥了其特长和潜能。

必做题：1、课本P 114：习题5.4  1（1）、2、3、4、7（2）

2、思考题：3a与a的坐标有什么关系，位置有什么特点？

选做题：（将例题2改为）已知平行四边形的三个顶点坐标分别是A（－2，1）、B（－1，3）、C（3，4），求第四个顶点D的坐标。

必做题中，一部分用来巩固平面向量的坐标运算，另一部分则让学生进一步掌握平面向量的坐标运算的应用，思考题又为下一节课的内容埋下伏笔。

选作题，因为平行四边形四点的顺序没有给出，所以应分三种可能讨论，它是例题2的延伸。

第6环节、板书设计 ：

板书设计是一种重要的教学辅助手段，也是课堂教学中不可少的重要组成部分。在黑板中上方书写完课题后，将版面分为四部分，从上而下，自左向右，按授课顺序书写授课内容，达到清晰、条理、有序的目的。

课题： 5.4　平面向量的坐标表示

坐标定义       问题1                练习1　　      例题2     

               结论1                练习2         

坐标实质       问题2                练习3         

例题1          结论2                练习4          作业