第六章

第二节      总体平均数的估计  

母总体平均数μ的最佳点估计，是取自该总体的样本平均数 。通过样本的 估计总体平均数μ，首先假定该样本是随机取自一个正态分布的母总体，或非正态总体中的n>30的样本。而计算出来的实得平均数 ，是无数容量为n、均值为 中的一个。这样，便可根据样本平均数的分布理论，对总体均数进行估计，并可用概率对其不确定性加以说明。因为样本平均数的平均数与母总体的平均数相同(μ =μ)，故对平均数总体的平均数进行估计就是对母总体平均数的估计。

一、总体平均数估计的计算步骤

(一)根据实得样本的数据，计算样本的平均数与标准差。

(二)计算标准误 。有两种情况：

1. 当总体方差σ²已知时， (公式5—11)(n为样本容量。这时样本的方差S²不用)

2. 当总体方差未知时，用样本的不偏估计方差即 计算 ，如果计算的是样本的有偏估计方差S²则  (公式5—18)

(三)确定置信间距或显著性水平。这在对总体平均数μ进行估计之前，根据需要确定。统计学上一般规定显著性水平为．05，即置信水平为0．95或显著性水平为．01，即置信水平为0．99。因为．05或．01的概率事件属于小概率事件。而小概率事件被认为在一次抽样中是不易被抽到的。也就是说，眼前所抽取的这个样本的平均数，不大可能是属于样本分布尾部端的很少可能出现的那个样本。因而据此样本的平均数对总体参数进行估计则犯错误的可能很小(不超过5％或1％的概率)。

(四)根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表。确定α＝．05或．01的横坐标值。一般当总体方差已知时，查正态表；当样本方差未知时，查t值表(当n>30时，也可查正态表作近似计算)。确定Z_α／2与t_α／2 (即以分布曲线两尾部端计算的置信度的搬率，因是两尾部端，故写作α／2)

(五)确定并计算置信区间：   

±Z_α／2 ，Z_{（1-α）／2}是查（1-α）/2 概率所得到的Z的分数值。

置信区间可写作：

- Z_{（1-α）／2} <</SPAN>μ<</SPAN> + Z_{（1-α）／2}                     (6-2)

或：

- Z_α／2 <</SPAN>μ<<SPAN style="POSITION: relative; TOP: 2pt; mso-text-raise: -2.0pt"> + Z_α／2

如果查t值表，则写作

- t_{（1-α）／2} <</SPAN>μ<<SPAN style="POSITION: relative; TOP: 2pt; mso-text-raise: -2.0pt"> + t_{（1-α）／2}   

或：

- t_α／2 <</SPAN>μ<<SPAN style="POSITION: relative; TOP: 2pt; mso-text-raise: -2.0pt"> + t_α／2   

(六)解释总体均数的置信区间。估计总体均数落入该区间的正确可能性概率为1-α，犯错误的可能性概率为α。

二、总体方差σ²已知时，对总体均数μ的估计

(一)当总体分布为正态时，不论样本n的大小，其标准误 都是，这时样本的方差S²在计算中没有用处。依据上面所讲的步骤，查正态表，确定Z_α／2，一般情况下显著性水平α确定为．05或．01，因此其Z_α／2为1．96或2．58。这两个数值最好记牢，可以省略查正态表的一步。

(二)当总体为非正态分布时，只有当样本容量n>30以上，才能根据样本分布对总体均数μ进行估计，否则不能进行估计。

[例1]  已知母总体为正态分布，σ=7．07从这个总体中随机抽取n₁＝10和n₂＝36的两个样本，分别计算出 ＝78， ＝79，试问总体参数μ的．95和．99置信区间。

解：此题总体分布为正态，σ²已知，故无须计算样本方差。其标准误为：

用n_l＝10的样本估计总体参数μ：

．95的置信区间：78—1．96×2．24<</SPAN>μ<78+1．96×2．24。

73．6<</SPAN>μ<82．4

．99置信区间：78—2．58×2．24<</SPAN>μ<78+2．58×224

                             72．2<</SPAN>μ<83．8

解释：从一个分布为正态，均数为μ的总体中，每次抽取n＝ 10的样本无限多个，其中有一个样本的 ＝78，在这无限多个样本 中，其中有95％的样本平均数在μ±1．96 之间。但μ并不知道是多少，而只知道一个样本 为78，故可推理；任何一个样本平均数±1.96×2．24，包含μ在内的可能性概率为0．95，也就是说78±1．96×2．24包含即说μ在73．6—82．4之间的可能性为 95％，或者说，估计可能在73．6—82．4之间，估计正确的概率为．95，估计错误的概率为．05，因为有5％的样本平均数±l．96×2．24的区间内不包括μ在内。

同理，根据n＝36的样本进行估计得：

．95的置信间距：79—1．96×1．18<</SPAN>μ<79+1．96×1．18

76．6<</SPAN>μ<81．3  

．99的置信间距：79—2．58×1．18<</SPAN>μ<79+2．58×1．18

                                   76<</SPAN>μ<82

根据同一总体的两个不同的样本进行估计，样本大时估计的区间小，其样本平均值也更接近总体均值。因此遇到有多个样本的：情况时，一般取样本大的均值与标准误对总体进行估计。即在条件允许的情况下，应用大样本进行观测，对总体参数μ进行估计更具优越性。 

[例2]    有一个49名学生的班级，某学科历年考试成绩的σ=5，又知今年某次考试成绩是85分，试推论该班某学科学习的真实成绩分数。

解：此题是方差已知，但成绩分数的分布是什么未知，一般情况下学习成绩分布为非正态的居多。暂按非正态分布对待，n>30；符合条件，可进行推论。所求真实成绩即指μ。

定置信水平为．95，查正态表得Z_（1-α）＝1. 96。

故：85—1．96×0．71<</SPAN>μ<85+1．96×0．71

                   83．6<</SPAN>μ<86．4

即据此次成绩推论该班某科成绩的真实分数在83．6—86．4之间，估计正确的概率为0．95，错误的概率为0．05。

三、总体方差σ²未知，对总体平均数的估计

总体方差未知，用样本的无偏方差( )作为总体方差的估计值，实现对总体平均数μ的估计。因为在总体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查t值表，确定t_α／2或t_(1-α)／2。有两种情况：

(一)总体的分布为正态时，可不管n之大小。

(二)总体分布为非正态时，只有n>30，才能用概率对其样本分布进行解释，否则则不能推论。

心理与教育科学研究中经常遇到的是这种情况下对总体参数μ进行推论的问题。

[例3]  假设例1σ²未知，已知；

n₁＝10， =78，S₁＝8，n₂=36， ＝79，S₂＝9，问其总体参数μ的．95置信间距是多少?

解：求标准误，

．95的置信间距：

据n₁＝10的样本计算，需查t值表上df＝10—1一栏，得 t_．05／2＝2．262

                      78—2.262×2．67<</SPAN>μ<78 + 2．262×2．67

                                71．96<</SPAN>μ<84．04

据n₂＝36的样本计算，需查t值表上df＝36—1一栏，得 t_α／2＝2．042(因t值表中没有df=35的表列值，故取近似值，本自由度为35，取df=40    t_．05／2＝2．021也可，一般为使推论更稳当些，用较小的自由度取近似值)

          79—2．042×1．52<</SPAN>μ<79+2．042×1．52

                      75．9<</SPAN>μ<82．1

以上两样本的n大小不等，估计的区间长度不同。显然，样本较大的置信估计具有更大优越性：置信区间长度小，样本 更接近μ。

上题中，由于n>30时t分布渐近正态分布，故亦可用Z_α／2代替t_α／2作近似计算，这样可免去查表的麻烦。结果为76<</SPAN>μ<82，与用t_{．05／2(35)}计算的结果相差甚微。

总体方差未知时，查t值表所求总体参数的置信区间的解释，与正态分布的解释相同：计算结果总体参数μ有95％的可能性落在75．9—82．1之间，意味着作总体参数在75．9—82．1之间的结论时，估计正确的概率为95，错误的概率为．05。