密度特殊计算题型解题指导

芹池中学    张华

一、               比例型

（一）                        知识点

1、            同种物质组成的不同物体，其质量与体积成正比。∵ρ₁=m₁/V₁，ρ₂=m₂/V₂

同种物质组成的物体，则ρ₁=ρ₂，∴m₁/V₁= m₂/V₂。

2、            质量相等的不同物体，其体积与密度成反比。∵m₁=ρ₁V₁，m₂=ρ₂V₂

质量相等，则m₁=m₂，∴ρ₁V₁=ρ₂V₂

3、            体积相等的不同物体，其质量与密度成正比。∵V₁= m₁/ρ₁，V₂= m₂/ρ₂

体积相等，则V₁=V₂，∴m₁/ρ₁= m₂/ρ₂

（二）                        例题

例1：有甲、乙两个实心铁球，质量分别为 7.9g、23.7g，若甲的体积为1cm³,则乙的体积是      cm³。

解答分析：甲、乙两个实心铁球由同种物质组成，所以其质量与体积成正比。

则：m_甲/V_甲= m_乙/V_乙  ∴7.9g/1cm³=23.7g/ V_乙，解之得V_乙=3cm³。

（三）                        针对练习：

1、甲、乙两个实心球质量相等，甲为铝球，乙为铜球，则铜球与铝球的体积之比为        ；如果两球的体积相等，则铝球与铜球的质量之比为      。

2、一个瓶子最多能装1kg的水，用它最多可以装      kg的酒精。

二、               空心型

（一）                        知识点：密度、质量和体积的计算公式

（二）                        例2：有一个铜球，体积为30cm³，质量为178g，已知铜的密度为8.9×10³kg/m³。求：

（1）、它是实心还是空心？

（2）、若为空心，其空心部分的体积是多少？

已知：V=30cm³     m=178g      ρ₌8.9×10³kg/m³=8.9g/ cm³

求：（1）它是空心还是实心？（2）V_空

解：（1）解法1：比密度

ρ_求=m/V=178g/30cm³≈5.93g/cm³

∵ρ_求＜ρ

∴此铜球为空心。

解法2：比质量

m_求=ρV=8.9g/ cm³×30cm³=267g

∵m_求＞m

∴此铜球为空心

解法3：比体积

V_求=m/ρ=178g/8.9g/ cm³=20 cm³

∵V_求＜V

∴此铜球为空心

（2）此空心铜球空心部分的体积为

V_空=V－V_求=30cm³－20 cm³=10 cm³

答：（1）此球是空心的。（2）其空心部分的体积为10 cm³。

针对练习：有一体积为30 cm³的空心铜球，它的质量为178g，铜的=8.9g/ cm³求(1)空心部分体积(2)若在空心部分装满水，求该球的总质量。

三、               溢水型

例3：某烧杯装满水总质量为350g；放入一金属块后，溢出部分水，这时总质量为500g；取出金属块后，总质量变为300g。求金属的密度。

分析：要求金属的密度，必须求金属的质量和体积，分析题意可知，金属的质量m_金=500g－300g=200g,金属的体积就等于溢出的水的体积，而溢出的水的体积等于溢出的水的质量除以水的密度，由题意可求出溢出的水的质量为：m_溢水=350g－300g=50g,则金属块的体积：V_金属=V_溢水= m_溢水/ρ_水=50g/1g/cm³=50cm³。求出金属的质量和体积，其密度便可求出。

已知：m_杯+水=350g   m_{杯+剩水+金属块}=500g     m_杯+剩水=300g  ρ_水=1.0×10³kg/m³=1.0g/ cm³

求：ρ_金属

解：溢出的水的质量：m_溢水= m_杯+水－m_杯+剩水=350g－300g=50g

    溢出的水的体积：V_溢水= m_溢水/ρ_水 =50g/1.0g/ cm³=50 cm³                                                

               金属块的体积：V_金属= V_溢水=50 cm³

             金属块的质量：m_金属= m_{杯+剩水+金属块}－m_杯+剩水=500g －300g=200g

        金属的密度：ρ_金属= m_金属/ V_金属=200g÷50 cm³=4g/ cm³

    答：金属的密度为4g/ cm³。

针对练习：质量为68克的空瓶子，装满水后的总质量为184克，若先在瓶中放37.3克的一块金属，然后再装满水，总质量为218克，则瓶子的容积为多大？，此金属的密度为为多大？

四、               合金型

例4：有一工艺品（实心），由金和铜两种材料制成，其质量为1983.4克，体积为106立方厘米，则此合金中金、铜的质量各多少？（ρ_金=19.3g／cm³，ρ_铜=8.9g／cm³）

思路方法：此题看似复杂，但只要抓住ρ_合＝M_合/Ｖ_合，且M_合＝M_金+M_铜，Ｖ_合=Ｖ_金＋Ｖ_铜，此类题就容易解决。

已知：m_合=1983.4g  Ｖ_合=106cm³   ρ_金=19.3g／cm³，ρ_铜=8.9g／cm³）

求：m_金   m_铜

解：根据题意列方程组

    m_金+ m_铜=1983.4g①

    (m_金/ρ_金)+( m_铜/ρ_铜)=106 cm³②

代入数据解之得：m_金≈1953.2g        m_铜≈30.2g

答：此合金中金、铜的质量分别为1953.2g和30.2g。

针对练习：有一件工艺品是用金、铜合金制成的，质量为600g，已知合金的密度为12×10³㎏/m³，金的密度为19.3×10³㎏/m³，铜的密度为8. 9 ×10³㎏/m³，工艺品中含金多少？

五、               混合液型

例5：用盐水选种需用密度是1.1×10³kg/m³的盐水，现要配制500cm³的盐水，称得它的质量为600g，这样的盐水是否符合要求：如果不符合要求，需加盐还是加水？应该加多少？

分析：用密度的计算公式算出盐水的密度，与1.1×10³kg/m³进行比较就知道这样的盐水是否符合要求。如不符合要求，比1.1×10³kg/m³小时需要加盐，比1.1×10³kg/m³大时需要加水。

已知：ρ_盐水=1.1×10³kg/m³    V=500cm³      m=600g

求：ρ     m_加

解：此盐水的密度为：ρ=m/V=600g/500cm³=1.2×10³kg/m³＞1.1×10³kg/m³

这样的盐水不符合要求，需要加水。

根据题意可得：

1.1g/cm³=（m_加+600g）/(500cm³+m_加/ρ_水)    （注意：加水后质量和体积都增加了）

解之得：m_加=500g

答：这样的盐水不符合要求，需加水500g。

针对练习：

为测定黄河水的含沙量，某校课外活动小组取了10dm³的黄河水，称其质量是10.18kg．已知沙子的密度ρ _沙＝2.5×10³kg/m³，问黄河水的含沙量是多少?（即每立方米黄河水中含沙多少千克）