如何更好地理解3的倍数特征背后的原理？课堂上可以这样做——

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联系旧知，猜想验证

回顾2和5的倍数特征（2的倍数特征为 “个位上是 0、2、4、6、8 的数”，5 的倍数特征为 “个位上是 0 或 5 的数”），猜想 3的倍数特征。预设：个位上是0、3、6、9的数。

提供百数表，让学生圈画 3的倍数，观察这些数的个位。预设：3的倍数个位上的数字有0～9，说明一个数是否是3的倍数，不能看它个位上的数。

2

圈画表征，初步建模

出示数10和点子图（下图）。

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问题1：10是不是3的倍数？如何判断？

预设：（1）列式说理，10÷3=3……1，因为有余数，所以10不是3的倍数。

（2）引导学生圈画表示，每3个点圈一圈，最后多1个点，所以10不是3的倍数。

问题2：20是不是3的倍数？

用圈画方式来判断，每3个点圈一圈。1个十多1个点，那么2个十多2个点（下图），所以20不是3的倍数。

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问题3：100是不是3的倍数？

同样圈画表示，发现多1个点（下图），所以100不是3的倍数。

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问题4：200是不是3的倍数？

同理，1个百多1个点，那么2个百多2个点，所以200不是3 的倍数。

3

数形结合，理解原理

通过圈画点子图，判断222是不是3的倍数。

学生圈画后，先小组内交流，再集体反馈：每3个一圈，2个百多2个点，2个十也多2个点，还有2个一，一共多了2+2+2=6个点（下图）。因为6个点每3个一圈，正好圈完，所以222是3的倍数。

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提供点子图，用相同的圈画方式判断472是不是3的倍数。

（1）4个百多4个点，7个十多7个点，还有2个一，一共多了4+7+2=13个点，因为13不是3的倍数，所以472不是3的倍数；

（2）百位上多的4个点，3个一圈后剩1个点，十位上多的7个点，3个一圈后剩1个点，加个位上的2个点，一共多了1+1+2=4个点，因为4不是3的倍数，所以472不是3的倍数。

（1）是探究倍数特征的主要方法，（2）作为后续优化的方法。

引导学生观察（1）中 472各数位上的 4、7、 2和算式4+7+2中的4、7、2（下图），说说有什么异同点。

预设：数是一样的，但所表示的意思不同，如472百位上的4表示4个百，算式4+7+ 2里的4表示多4个点。

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借助以上表征方式，判断 98、375、1284 是不是 3 的倍数。从而发现规律：3 的倍数的特征是“各个数位上的数字之和是3的倍数”。通过圈画点子图，观察剩余点子数，对剩余点子的总数进行判断，自然而然地引导学生发现判断3的倍数特征的方法。