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教是为了学的开始——看华应龙执教“分数的初步认识”
(2022-04-10 11:43:45)课前慎思
小学三年级认识分数常常是从分苹果、分月饼、分纸片等活动开始；五年级再次认识分数时，教材中说“人们在测量和分东西的时候，往往得不到整数，这样就产生了分数”。测量是怎样产生分数的？可以让学生经历吗？测量引入分数与分苹果引入分数相比，有什么特别的价值吗？以前教学“分数的初步认识”要反复强调“平均分”，为什么需要反复强调？学生明白为什么要平均分了吗？用测量引入是否可以比较好地解决这个问题？
原来，我们带领学生认识分数，都是从二分之一开始，再四分之一，再八分之一……在学生冒出“几分之几”的分数后，我们会不太高兴地说“这节课就认识几分之一”。为什么要这样小步子？几分之一是分数单位，是单位分数，这样集中精力认识几分之一，就是突出了几分之一的重要地位了吗？是否认识几分之几里有几个几分之一，才是真正突出了分数单位，初步认识到分数单位的价值？
初步认识分数，一般都要组织学生画一画、涂一涂，或折一折、剪一剪，当学生表示几分之一的意思时，是不是只看分母，不问分子？而表示几分之几，才是要完整地理解分数，既要考虑分母，还要考虑分子的意义？是不是先认识更具普遍意义的几分之几，几分之一便是一种特殊情况，不必要再花费时间与精力？
大家都知道，认识分数挺难的，学生的表达会跟不上，那我们是不是不要强求一步到位，不要希望一蹴而就，可以允许学生模糊表达？一个很珍贵的玩具，一下子就让学生怕了，不想玩了，那是不是教育最大的失败？但，容忍度有多大？哪些是不能含糊的？
在美国考察时，我惊讶地发现里程牌上竟然标着分数。生活中，我们常常看到的数量都不是用分数表示的，那么，我们能帮助学生在生活中看到分数吗？我们在教学中如何让学生觉得分数真好玩呢？
由此，“分数的初步认识”这一课，我确定的教学目标是——
1. 初步认识分数，会正确地读、写分数，知道分数各部分的名称。
2. 通过操作、观察、比较、概括等活动，提高动手操作能力，发展初步的逻辑思维能力。
3. 经历认识分数的过程，体验创造的快乐，进一步激发学习数学的兴趣。
课堂实录
一、设疑导入，激发创造
1. 视听故事生疑问
（ppt出示大头儿子和小头爸爸的卡通图片）
师：认识他们吗？大头儿子碰到难题了，我们能帮他解决吗？请看——
媒体播放：天热了，小头爸爸到商店里去买凉席。到了卖凉席的柜台，他遇到了麻烦，于是给他的大头儿子打电话。
“儿子，我忘了量床的长了。你找把尺子量一量床有多长。”
大头儿子在家里找来找去，就是没找到一把尺子，怎么办呢？突然，大头儿子想到了一个好主意。
“爸爸，你今天打领带了吗？”
“打领带？哦，真是个聪明的大头！快量吧。”
大头儿子拿了一根爸爸的领带，他用领带一量，嘿，巧了！
“爸爸，床是两个领带长。”
“儿子真有办法！我知道了。儿子，再量一下沙发的长吧！”
大头儿子再用这根领带去量沙发，“哎，沙发没有一个领带长，怎么办呢？”
师：床正好是两个领带长，沙发不到一个领带长，你说怎么办呢？
（学生陷入了思考。少顷，继续播放动画）
大头儿子把领带对折来量，“哎，沙发又比对折后的领带长了一些。”大头儿子再想办法，他将领带再对折，这样一量，“巧了，沙发正好有三个这么长！”大头儿子真高兴啊！可是，他却遇到了难题。
“床是两个领带长，现在我怎么和爸爸说，沙发是多少个领带长呢？”
师：刚刚解决了一个问题，现在又碰到了一个问题啊！沙发是多少个领带长呢？
（无人应答，学生陷入了思考）
师：能不能把你的想法写出来？
（学生在白纸上写写画画，教师巡视）
师：咦——把领带对折之后再对折，就是把这条领带的长平均分成了几份啊？
生（众）：3份。
师：有没有认为不是3份的？
生（犹豫地）：一共是4份吧。
2. 动手一折解疑难
师：到底是平均分成3份还是4份呢？现在，我们搞不清楚这个问题，怎么办？
生：老师，您能不能把领带借给我们试一试？
师：（开心地撩起自己佩戴的领带）哈哈，这个办法怎么样？
（学生不约而同地鼓掌。这时，教师把领带解了下来）
师：解决问题，有的时候需要我们动脑想想，有的时候需要我们动手试试。来，领带给你。
生：（拿了领带，走到讲台前）我先把领带对折，再对折。这是一段、两段、三段、四段，所以是4份。
师：掌声感谢我们的小老师。用领带这么一折，让我们很清晰地就看到了，领带的长被平均分成了几份？
生（众）：4份。
3. 众说纷纭再生疑
师：大头儿子用这个长度去量，量了几次？
生（众）：3次。
师：那么，沙发是多少个领带长呢？
生：3个1/4。
生：我觉得是3/4 。
师：还有不一样的想法吗？
生：我觉得是1/3。
(四名学生分别走上讲台，在黑板上写下“3个1/4”“ 3/4 ”“4/3”“ 1/3”)
师：从同学们的回答中，我发现大家已经知道这里要用上一个新的数，这个数叫什么？
生（众）：分数。
(教师随即板书：分数。在“分数”的正下方重新写了一个“3/4”)
二、实践操作，探究新知
1. 介绍读法
师：(手指黑板上的3/4)这个分数怎么读呢？
生（抢着说）：四分之三。
（教师板书：四份之三）
师：怎么读？
生（众）：四份之三。
生：哦，我明白了，就是4份中的3份。
师：哈哈哈，心有灵犀！
2. 动手做出分数
师：在课前，老师发了两张纸片，一张正方形，一张圆形。现在请你任选一张，折一折、画一画、涂一涂，表示出你头脑中所想的3/4的意思，好吗？
（学生动手操作，教师巡视，收集学生作品）
师：（投影学生作品，如图1）我们先来看第一位同学的作品。他是这样表示的，你觉得怎么样？同意的请举手。
（大部分学生举起了手）
师：看来，有的同学同意，有的同学不同意。这个作品是哪位同学画的？请你解说一下你的作品，好吗？
生：（走到投影仪下，边操作边解说）我先把纸片对折，然后打开再对折一下，用黑色彩笔给三份涂上颜色，留一份不涂色，就行了。
师：这样表示3/4 ，行不行？
（学生频频点头，表示赞同）
师：后面两位女同学刚才没有举手，现在听了这位男生的解说，你们同意吗？
（两名女生摇了摇头，表示不同意）
师：为什么不同意？和我们说说你们的想法，好吗？
（两名女生又相继点了点头，表示同意了）
师：刚开始的时候怎么没举手同意呢？开始的时候是觉得他哪里还不太好吗？
（两名女生互相推让着，教师微笑着看着她们，耐心地等待着）
生（声音越来越小）：我觉得他应该先画4个……
师：（肯定地点了点头）然后？
生：然后把3个涂上颜色。
师：我明白你的意思了，真好！真好！
（教师拿起一张新的纸片，在投影仪上边操作，边解说）
师：刚刚我们这位男同学说了，把纸片对折两次以后打开，打开之后，女同学建议我们先画4份，是这个意思吗？
（女生微笑着点了点头）
师：先把4份画清楚了，然后涂上——
生（抢着说）：3份。
师：不过，涂3份的时候别这样涂，太费时间了，也不太好看。要是这样涂呢？
（教师边说边在投影仪上示范：先把一份涂上阴影）
师：现在，我涂了这张纸片的多少？
生（七嘴八舌地）：1/4。
师：没错！要是再涂一份呢？（2/4）再涂一份呢？(3/4)
师：（指着图2）现在这样表示，行不行？
生：（点点头）行！
师：（把两幅图放在一起）刚刚这位男同学画的是不是也是对的？
生（众）：是。
师：不过没有这个表示得——
生（抢着说）：清楚。
师：是啊，下次同学们再画的时候知道怎样画了吗？掌声感谢这位同学，是他的作品带给我们启发，让我们知道怎么画图更清楚，感谢！
（课堂上响起了热烈的掌声，男孩子开心地回到了座位上）
师：（出示图3，疑惑地）看这位同学的作品，他说他表示的也是3/4 ，是吗？
生（抢着说）：白色的，白色的。
师：啊！这是3/4 ，还是1/4？
生：老师，我刚才还没涂完呢，您就给我拿走了。本来我是要把它涂完的，不过这样表示也行。
师：怎么没涂完也行了？
生：你看白色的，白色的就是大正方形的3/4。
师：看来，不再涂了也行。不过，得特别说明一下，谁是大正方形的3/4？
生（七嘴八舌地）：白色部分占大正方形的3/4。
师：（出示图4）它表示出3/4的意思了吗？
生（众）：表示出来了。
生：不过，我觉得他的作品还可以画得再清楚一些，把分的四份画出来。
师：（出示图5）这个作品怎么样？
生（七嘴八舌地）：同意，表示的也是3/4。
师：画的就是4份中的3份，是不是？
（教师带头鼓掌，学生也跟着鼓起掌来）
师：（出示图6）看出34了吗？在哪呢？
生：（边说边指着投影仪上的图）他是先把
线段分成了4段，1段、2段、3段、4段，然后用括号括了3段，就是了。
（教师赞许地竖起了大拇指，随后出示图7）
生（惊讶地）：哦？
师：哦？这是谁的作品，来帮我们解说一下？
生：我画了4个苹果，别人拿走了3个，就是拿走3/4。
（课堂上响起了赞同的掌声）
3. 呼应大头儿子的难题
（ppt出示大头儿子的图片及疑问：“床是2个领带长，沙发是多少个领带长呢？”）
师：现在再回过头来想一想刚刚大头儿子遇到的难题。沙发是多少个领带长呢？
生（众）：3/4。
师：（边指着黑板上的线段边说）把一根领带的长平均分成4份，这段占总长度的1/4，这段也是1/4，这段也是1/4，合起来是3个1/4，就是——
生（众）：3/4。
师：（指着板书）所以，一开始就想到3个1/4和3/4的同学很厉害啊！
师：指4/3 你这是——
生：我以为四分之三是从上往下写的。
师：错得真可爱！
师：看着当时写1/3的女生当时你是怎么想的呢？为什么觉得是1/3呢？
生：我刚才看错了，以为图上括号里有3份，外面还有1份，就是三分之一。
师（恍然大悟）：哦，原来人家是这么想的啊！1/3表示的是——
生（齐）：3份里的1份。
师：对，不是3份以外的1份。
4. 概括做分数的过程，理解为什么要平均分
师：（把学生的作品都展示在投影仪上）我们再来看看这些作品，你觉得在这个过程之中有什么共同的地方吗？
生：都画了3份。
师：对，都是选出来了3份。（板书：选3份）不过，有的同学的3份是涂了颜色的，有的同学的3份是没涂色的。
生：我觉得他们画的图里，都是有3个一样的和1个不一样的。
师：那一共是几份呢？
生：4份。（板书：分4份）
师：每幅图都要分成4份。还有吗？
（无人应答，学生陷入了思考。少顷，ppt出示图片）
师：沙发是多少个领带长呢？
生（七嘴八舌地）：3/4。
师：（出示图8）3/4个领带长应该就是这么长了。
生（争先恐后地）：不对！不对！
师：怎么不对了啊？
生：这几段都不一样长，所以不对。
师：（出示图9）那这样呢？
生（开心地笑着）：哈哈，也不行。
师：（边指边说着）咦？你看这不是1份、2份、3份、4份，然后4份中选了3份嘛，怎么又不行呢？
（学生积极踊跃地举着手，想发表自己的意见）
师：（微笑着出示图10）那这个呢？
生（众）：可以！
师：为什么这个就行了？
生（七嘴八舌地）：因为它们都是一样长的。
师：回顾一下，第一个不行，第二个也不行，怎么第三个就行了呢？
生：因为最后一个每段都是一样长的。
生：它们都是平均的。
师：是啊，最后一个是平均分的。平均分了之后，4份中3份的长度就确定了。如果不是平均分的，那4份中3份的长度就可长可短了。所以，一定要注意怎么分？
生（众）：平均分！
师：（出示图3和图6）知道了平均分的重要，再回头看看我们同学的作品，你觉得他们表示的3/4 是不是有的不那么合适了？
生：（指着图6）前面的画得太长了，后面好像没地方画了，所以最后这一段太短了。
师：我们是大体上表示出了3/4 的意思，但没有注意到要平均，每一份都要一样。
（学生赞同地点了点头，有些学生悄悄地拿起笔，小心地涂改着）
师：（指着图3）那这个呢？
生：这幅图有的小正方形大了一些，有的小了一些。
生：我觉得他中间的那条线画的时候就画歪了，他应该先对折一下再画。
师：对折是为了保证什么？
生：平分。
师：对，对折是为了保证平均分。
（教师板书：平均分）
师：不管是画对的作品还是画得不对的作品，都在提醒我们要特别注意什么？
生（众）：平均分。
师：（指着板书的“分4份”“平均分”“取3份”）我们在表示3/4 的时候，是不是有这样三个共同点：“分4份”“平均分”“取3份”？
生：大家在这个过程中都动脑筋表示出了自己的四分之三。
师：确定是大家动脑筋的成果！孩子，你太棒了，我真没想到这一点！
5. 介绍分数各部分名称
师：看来，分数和我们以前学习过的整数长得很不一样，它分为3个部分，你知道这3个部分的名称吗？
生：我知道下面的数叫分母，上面的叫分子，中间的线是分数线。
（教师随即贴出分数各部分名称，“分子”“分母”分别写在圆内，“分数线”写在长方形内，三张卡片组成了“除号”，如图11）
生：嘿，除号！
师：分数和除法是亲戚！
师：你知道为什么4叫分母，3叫分子吗？
生：因为3是从4里面分出来的，就跟妈妈生孩子一样，从里面取出来的。
（师生笑作一团）
师：这么一说，有没有让你感觉到，分数不仅表示大小，还表示了一种关系，就像母子之间的关系一样？
师：分数线表示什么？
生：表示切一刀，平均地切一刀。
师：平均地切一刀，就是要干什么？
生（众）：平均分。
6. 试写分数并解释意思
师：认识了分数各部分的名称和它们之间的关系，还知道分数怎么读，那你会写分数吗？请你在纸上写一个分数。如果你写完了，你就看看黑板前的同学是怎么写分数的。
（学生动笔在纸上写分数，教师巡视，请同学到黑板上写）
师：有没有发现同学们写分数的顺序各不相同？比如我们同学写的这个分数，怎么读？
生（众）：六份之三。
师（神秘地）：你知道大人们怎么读分数吗？（擦去“份”的单人旁）请一起读。如果我写3/6，我一般喜欢这么写——
（教师在黑板上示范分数的写法：先画分数线，然后写分母6，最后写分子3）
师：你知道这个同学写的3/6表示什么意思吗？小组同学之间互相说说。
生：3/6就是从6份里面取出3份来。
生：我觉得3/6也可以是从6个苹果中拿走了3个。
师：那要是就一个苹果，3/6表示什么意思？
生：那就可以从苹果上切下3块来。
师：哈哈哈，切下3块，是不是挖一小口，再挖一小口，再挖一小口呢？
生：不是，应该是平均切成的3块。
师：然后呢？
生：然后拿走3块。
师：哦，平均切成3块，然后拿走3块，就是3/6？
生：不对，不对，是平均切成6块，再拿走3块，是3/6。
师：你们的意见呢？
生（众）：同意。
师：那要是像我刚刚说的，把一个苹果平均切成3块，然后拿走3块，应该用什么分数表示？
生：3/3。
师：也就是把整个苹果怎么样？
生（七嘴八舌地）：切3块拿3块，都拿走了。
师：看来，要想弄清楚一个分数表示的意思，我们得先看看分母表示什么意思。分母表示什么意思啊？
生：分母表示把这个东西一共分了多少份。
师：真好！所以分数3/6的6，是表示平均分成了几份？
生（众）：6份。
师：然后分子3表示什么意思呢？
生（争着说）：拿走3份。
师：没错！小组同学之间再互相说一说你刚刚写的分数表示什么意思。
师：现在，谁能和大家说一说，你写了什么分数，这个分数表示的意思是什么。
生：我写的分数是1/2，就可以看成是2个苹果拿走了1个。
师：这样就拿走了？
生：拿走了1个。
师：对，拿走的这1个，就是——
生：就是吃掉了。
师：哈哈，拿走的就是吃掉了啊。我想说的是，拿走的这1个苹果，是2个苹果的多少？
生：1/2。
师：没错，这节课还没有发言的同学，有没有谁想和大家分享一下你写的分数？
生：我写的是4/6，就是一个蛋糕分成6份，有4份被拿走了，还剩下2份。
师：所以，4/6表示什么意思？
生：拿走的4份是整个蛋糕的4/6 。
师：这样表示4/6行不行？
生（众）：行。
师：有没有人耳朵特别厉害，听出问题了？前面有同学在说的时候就丢掉了，不过没人提醒。
（无人应声，学生都在静静地回忆着刚刚同学的发言）
师：掉了两个字，谁注意到了呢？
生（幡然醒悟）：哦，是“平均”分！
师：把一个蛋糕分成6份，这6份是大大小小不一样的6份，行吗？
生：不行。
师：所以，得特别强调要平均分！
三、巩固练习，趣解难题
1. 你能看见分数吗？
师：分数是一个非常有趣、非常好玩的数，不过分数特认真，特别考查我们是不是严谨，丢了“平均”二字，就成不了分数了。不仅如此，在我们的生活中，也是很少能看见分数的，需要你有一双数学的眼睛。
（ppt出示大头儿子的图片（图12）。学生看见图片，开心地笑了，交头接耳着说着自己
发现的分数）
师：你看见什么分数了？
生（七嘴八舌地）：1/2。
师：这个1/2表示什么意思啊？
生（开心地边笑边说）：1/2就是大头儿子的头占整个身高的1/2。
（ppt出示小头爸爸的图片（图13））
生（七嘴八舌地）：哇，头真小，哈哈。
生：小头爸爸的头是整个身高的1/7。
师：还看到别的分数了吗？
生：还能看到6/7。
师：6/7是什么意思？
生：身体是整个身高的6/7。
（随便选择了一名男生，请他走上了讲台）
师：请同学们看看，估计一下，这名同学的头占整个身高的几分之几呢？
（学生在座位上用手比划着，商量着，过了一会儿，争先抢后地抢着说：1/3，1/4，1/5，1/6……）
师：好了，不再猜了。我们请一位同学上来帮我们量一量、比划比划，好吗？
生（边比划边说）：1、2、3、4，4条线将整个身体分成了5 段，每一段差不多都是一个头长，所以我觉得他的头占整个身高的1/5 。
师：怎么样？
（课堂上响起了学生们赞同地掌声。站在讲台上的男生不好意思地笑着）
2. 用上分数妙解难题。
师：一节课的时间很快就过去了，我真的是太喜欢同学们了，从刚开始没有几位同学发言，到后来我们勇敢地表达出自己的想法，真的很棒！不过说到喜欢，我突然想到我小时候遇过的一个难题，你能帮帮我吗？
生（信心满满地）：能！
师：小时候，常常会遇到大人问我，“华应龙，你是喜欢爸爸，还是喜欢妈妈？”怎么回答呢？
生：都喜欢！
师：对！对！我也是这么回答的。可是大人就会说，“不行，不行，只能喜欢一个”。你能帮我吗？
生：您可以不回答他。
师（微笑着）：哈哈，好，不回答也是一种很好的回答。
生：您可以说一个人各喜欢1/2。
师：哦，也就是说把这个喜欢平均分成——
生（抢着说）：平均分成2份。
师：1/2喜欢——
生（抢着说）：1/2喜欢爸爸，1/2喜欢妈妈。
师：哦，以后再碰见这样的问题，我就知道了，用分数就可以很好地回答了。好了，再见了，我百分之百喜欢的孩子们！
课后反思
这节课上得很写意。
治大“课”若烹小鲜。这节课没有移步换景，讨论的话题始终围绕着大头儿子、小头爸爸的故事；这节课没有精雕细琢，学生思考的素材都是素朴的、自然的、绿色的，来自于当堂生成，来自于学生自己的创造。而以往“分数初步”的经典问题一个都不少，随机融入，且行且思。
这节课上得很享受。
那是肇始于2003年苦苦思索后的享受。“大头儿子的难题”，量床的长和量沙发的长两个画面，可以说是“两画三年得，一吟双泪流”。设计之初，我思考：测量的长度为什么要用分数来表示？创设的情境要彰显出分数表示的必要性。测量长度有尺子，则不需要分数；没有尺子，也可以像郑人买履那样带根草绳。要设计草绳用不上的情境，就需要大头儿子和小头爸爸不会出现在同一个地方。大头儿子和小头爸爸不在同一个地方，就需要两处都有一个固定长度的物品。同一品牌的电话线可能是一样长的，但它的长度是有弹性的……躺在床上，看到领带，喜出望外。家里有领带，小头爸爸打着领带，领带的长度是有统一规格的。如果是配桌面玻璃，用领带测量，太粗放了，可能不适合。配凉席，测量床的长度是可以将就一些的。要用分数表示，就该有先用整数表示的，这样也先渗透了“领带的长度”可以作为一个单位。因此，有了先量床的长，再量沙发的长。
领带对折再对折，究竟是把领带的长度平均分成了几份？对三年级学生来说，这确实有难度。不过，动手折一折呢？问题迎刃而解。这就像问3点到5点之间时针和分针相遇多少次。如果您当作相遇问题来解，一定叫苦不迭；如果您拿块手表转动一下指针，真是不费吹灰之力了。我们要教学生学的，可能不要只局限于思维。
这节课，我介绍了分数的新读法，那是源于我上一次的教学故事。
一个看上去很胆小的男孩用一张长方形的纸片表示出3/5的意义，我问：“3/5表示什么意思？”他说：“表示5份中的3份。”我夸他后，说：“这5份是怎么分的？”他说：“平均分。”“对了！”
在交流阶段，我有意让他锻炼一下，请他来说说。他的声音有些颤：“3/5表示5份中的3份，平均分。”“他说得对吗？”同学们齐答：“对！”“是，他说得非常好，特别强调了‘平均分’。（我眼看着他）你能把两句话合成一句吗？”那个男孩有些激动，声音明显地高了许多：“把5平均分成3份。”同学们笑了，我也惊讶地张大了嘴。
学生“把5平均分成3份”的错误说法，是否是由于分数“五分之三”的读法导致，不得而知。但我以为，“五份之三”的“之”更合乎古文中“其中”的意思。我多方求证之后，认同者多。但是，教学是天大的事，我不能轻易改动。因此，有了下课前擦去“份”字单人旁的一幕。
这节课上得很遗憾。
课上有几处学生的精彩，被我快速评价掉了，那是可以让学生来评价的，我怎么成了主角？那也是应该教学生学的。电视剧《潜伏》中说：有一种失败是占领，有一种胜利叫撤退。李烈校长提出的“勇敢地退，适时地进”，我做得还远远不够。
此“景”可待成追忆，只是当时已“骇”然。骇然，惊叹学生的了得。
看来，课堂上的教师不但要有大江东去的豪放，也需要小桥流水的婉约。细节成就完美。课堂上，教师要有清晰的角色定位，做好导游。
这节课上得很有价值。
回味课堂上学生明眸里的光彩，回味课堂上学生会心的笑声，回味自己指引后学生的精彩，我强烈地感受到课堂里的我们就是向着目标出发。正如苏霍姆林斯基所说：“教育和教学的技巧和艺术在于，要使每一个儿童的力量和可能性发挥出来，使他享受到脑力劳动的乐趣。”
兴趣是最好的老师。如果“分数初步”的教学，让学生感觉分数真可怕，真繁琐，真讨厌，那么他们的学习还未开始，便已结束。北京师范大学董奇校长创立的“攀登英语”实验，拒绝英语老师进入，就是因为英语老师听到小学生不规范的发音就会本能地纠正，从而使小学生们不敢再开口。我包容学生的差错，不急于去纠正，反而有利于学生反思意识的养成。
今天，我们始于足下，让我们的学生带着兴趣出发；明天，我们的学生就有可能远行千里……
原来，我们的教学就为了结果，掐头去尾，精讲多练，重在知识；后来，我们的教学还为了过程，从头到尾，自主探究，重在体验；实际上，我们的教学是为了开始，见头思尾，混沌初开，重在兴趣。1976年，联合国教科文组织在《国际教育标准分类》中定义“教育是有组织、有目的地传授知识的工作”，1997年修改为“教育是能够导致学习的交流活动”。
我幸福着我的思想，教是为了学的开始……
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