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[转载]张齐华推荐的专家讲座（四）
(2022-03-21 11:19:52)
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第10讲
魏
李
李：什么是解决问题的策略？它与解决问题的方法两者之间有怎样的关系？
魏：解决问题的策略可以理解为解决问题时的计策与谋略。策略与方法既有联系也有区别，它们的关系类似于战略与战术的关系。例如，化归是解决问题的常用的一种策略，在研究平行四边形面积计算时，通过割、移、补等方法，把平行四边形转化成长方形，从长方形面积公式推导出平行四边形面积公式。而在研究除数是小数的除法计算时，依据商不变性质，通过移动被除数和除数的小数点位置，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。在解决这两个问题的策略都是化归，但化归的具体方法是不同的。可见，策略是方法的灵魂，是对方法本质的认识，是运用方法的指导思想。
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李：那是否可以这样认识，策略直接支配方法的设计和运用。方法是策略的表现形式和实现手段，在策略的调控下根据具体问题加以选择和运作。具有策略的人，更善于创造和灵活使用方法。
魏：对，方法可以在传递中习得，教师可以告诉学生怎样做并示范给他们看。但策略却不能从外部直接输入，只能在方法的实施中间感悟获得。
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关于解决问题的策略
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李：为什么要进行解决问题策略的教学？
魏：实际有三方面这样的思考，首先，是具体落实课程标准的精神。不同的问题需要采用不同的这种策略来进行解决，而不同的人面对同一个问题时也会有不同的策略。数学思想方法的获得能够使数学学习的品味得到提高；其次，解决问题的策略学习能让学生更聪明更能干。过去应用题教学，通过应用加强双基，对发展学生的思维有过促进作用，但过于封闭机械的训练，高度匹配的例题和习题，使得学生的思维貌似严谨，却忽略了学生的经验，显得呆板。而编排解决问题策略的教学，则可以引进趣味性、思考性更强的问题情境，开阔学生的眼界，引进有效的思考方法和解题活动，可以拓宽学生的思维空间，丰富积累解决问题的经验。其实解决问题也是人的一种生存方式；第三，也可以梳理一些小学生能掌握的解决问题的这些策略，进行集中的学习，有利于教师研究策略性知识的教学规律和方法，便教利学。
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李：那么，在小学阶段可以将哪些解决问题的策略引进教学呢？
魏：在小学阶段常用的解决问题的策略有：列表整理条件问题，画图呈现问题情境，枚举，倒推，假设，转化等。这些策略在提高学生解决问题能力上有着各自的作用。
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比如列表整理条件问题，它可以通过整理信息能突显出已知条件和所求问题的关系，帮助学生形成思路，规划解题计划；再比如画图呈现问题情境，利用图画直观，帮助学生理解题意，在图画上整体呈现信息，反映数量关系，便于找到解决问题的突破口；比如枚举，有时有些问题列式计算比较困难，如果把属于答案的这些对象逐一找到，问题的答案也就有了。而不重复、不遗漏地一一列举，需要学生有条理的进行思考，这是发展学生思维的好时机；再比如说假设，“假设”是创新的起步，“验证”是科学的态度，两者结合就是解决问题的一种很好的策略。面对同一个问题，我们可以提出不同的假设，但思想方法却是一致的；再比如转化，数学中的转化，可以把复杂问题加以简化，将未知化为已知。而转化的实施需要具体方法进行支撑，在利用已有知识经验的同时，可以很好的发展学生的认知结构和经验系统。
那怎样教学解决问题的策略呢？下面我们一起走进课堂共同来分析研究。
案例10-1 （江苏省南京市南昌路小学
李：我们先一起来回顾一下教学内容。生活里的事情从发生到结束总是有过程的，事情发生的过程或是在数量的多少上发生变化，或是在方向、路线、时间等方面发生变化，或是在其他方面发生变化。研究这些事情里的数学问题经常有两条线索：一条是从事情的起始状态，根据将要发生的变化，推断结束时的状态；另一条则是从事情的结束状态，联系已经发生的变化，追溯起始状态。学生比较习惯用前一种线索分析数量关系和解决实际问题，但是，有些问题后一种思路去解决是比较方便的。这就是本课教师教学的逆推策略，通俗地讲就是“倒过去想”，即从事情的结果倒过去想它在开始的时候是怎样的。
课上，教师首先让学生在简单的事情中初步体会逆推是一种策略。
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例1用图画呈现了甲、乙两杯果汁共400毫升，甲杯倒入乙杯40毫升，两杯里果汁同样多。这是一件事情的开始、变化、结果三个时段的主要状态。甲杯里的部分果汁倒入乙杯后，两杯果汁才同样多，如果把甲杯倒入乙杯的那些果汁仍然倒回甲杯，就恢复了两杯果汁的原状，这是人们的经验。
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解决问题策略的教学实施 在简单的事情中初步体会逆推是一种策略； |
魏：教师为了让学生体验“逆推”是解决问题的策略。还安排了两项活动。一是在表格中间先填写甲杯、乙杯现在各有果汁200毫升，再填写它们原来各有多少毫升，通过填表反思“倒回去”的过程。利用加法或减法计算倒入和倒出的问题，能进一步很好的理解“倒回去”的意思，体会它对解决问题的作用。第二，是组织学生说说解决这个问题的策略，先回顾例题是怎样的实际问题，它又是怎样得到解决的；再交流解决问题的方法有什么特点，以及对这种方法的感受。这样，就从解决问题的过程中提炼了思想方法。
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案例10-2 （江苏省南京市南昌路小学
李：教学中，教师提供给学生各种需要解决的现实问题，使学生有机会举一反三，运用逆推策略解决实际问题。
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例2中小明的邮票经过两次变化后还剩52张，问题是他原来有多少张邮票。学生通过整理邮票张数的变化感到，这题事情虽然和例1不同，但都要从现在的数量追溯原来的数量。然后通过“你准备用什么策略解决这个问题”引导学生“倒过去想”，送出的应要回，收集的应去掉。紧接着联系学生生活中收集画片、已经学过的方向、路线、确定位置以及同级混合运算的知识，在各种现实问题中都应用逆推的思想方法去解决问题，帮助学生不断积累积累“倒过去想”的经验，并逐步内化体会，逐渐升华成策略。
魏：对，我也对这点也很有感触。一般给学生解答的数学题有两种情况：一种是已经学过的并且已经记住了的题，那么学生一看就知道怎样解答；另一种情况是以前未见的那种陌生的题，学生暂时不知道可以怎样解答。在解答前一种情况的题时，主要的活动是“识别——提取模型——重复已有的解决方法”，通过再现与重复巩固知识，形成比较熟练的技能。而在解决后一种题的时候，则需要“探索研究——创造性地运用已有经验——重组新的认识”，从而在解题的活动中发展策略和创新能力。数学教学中这两种情况的题都需要，显然在这里应该安排后一种情况的题。仔细研究一下执教老师准备的习题，
我们不难发现变化多于重现。有的是题材和情境变了，有的是条件与问题变了，有的甚至是数量关系变了。这些题对学生都是新颖的、富有挑战性的。但是，有一点却始终保持不变，这就是这些题都可以用倒推的方法，经过整理才能形成思路、找到解法，这样一来就为发展学生解决问题的策略提供了有效的帮助。
案例10-3（江苏省海安实验小学
李：本课教学内容是转化策略。转化是解决问题的常用策略。转化它能把新颖的问题变成已经认识、已能解决的问题，从而创造性地利用已有的知识、经验。转化还能把复杂的问题变成较简单的问题，从而便捷地找到问题的答案。
魏：让学生体会转化，感悟策略是执教老师的教学中的一个有效策略。老师先利用直观图形的直观作用引发转化。
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方格纸上呈现两个形状不同的图形，不容易直接看出面积是否相等。学生自然会想到把两个图形都转化成长方形，再比较面积的大小。经过或剪拼或推理，将图形转化成的两个长相等、宽也相等的长方形之后，得出面积相等的这个结论。这个问题利用直观情境让学生主动转化，初步体会了转化有助于解决问题。
李：回忆曾经进行过的转化，体会转化是教师教学的另一种策略。学生曾经进行过许多转化，这都是感悟转化策略的宝贵资源。
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教学中储老师指出转化是策略，调动学生回忆曾经运用的转化策略解决的问题，进一步体验转化。同学们列举了推导面积公式时转化，计算小数乘法、分数除法时转化等内容，学生们充分回忆转化的过程，感受转化的好处，达到体验转化的目的。
教师还让学生有意识地应用转化解决问题。
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案例10-5（江苏省海安实验小学
李:“试一试”计算四个异分母分数的加法，数形结合，把原式转化成1－，能很快说出得数。“练一练”计算多边形的周长，在图形启发下转化成求长方形周长的问题，实现了化繁为简。通过这两个问题的解答，学生不仅说了解题策略，体会了转化，还产生了深刻的积极的情感体验。
魏：您刚才说的是策略形成的心理机制。实际在两位教师的课堂上面都很好的关注了这点。首先，在熟悉的情境中间，让学生尝试解决问题，体验解决问题的方法的具体内容，总结体验解决问题方法的要领，达到掌握方法的目的；其次，交流体验解决问题的方法的好处，在解决不同题材的实际问题中，体验方法应用的广泛性和灵活性，达到赞赏方法的目的。而从掌握方法至赞赏方法，这就符合了学生策略形成的心理机制。
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这让我想起了一位教师所执教的《用画图的策略解决问题》。当时出现了这样一道题：
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这节课的教学目标是让学生在解决问题的过程中间学会用直观示意图的方法整理有关信息，借助所画的这个直观示意图或线段图分析实际问题中的数量关系，确定解决问题的正确思路。
课堂上面，老师让同学们的三次举手给我们了留下深刻印象。第一次，教师们请学生自由读题，提出：如果你有办法解答的请举手。当时班级中间有1/3的同学举了手，老师询问：那不会解答的同学，你觉得困难在哪儿呢？有学生回答说：题目条件多，感觉不知道从哪儿想起。题中计算原来花圃的面积，虽然题目叙述很清楚，也很有条理，但毕竟是以前没有遇到过的题，有些学生读题之后处于非懂似懂的状态，无从下手。教师接着又问：那你有什么办法将条件和问题很清楚地呈现出来呢？学生有的说可以画图试试看，于是许多孩子开始尝试画图来进行解答。画图之后，老师又请会解答的同学请举手，这次班级中间只有几个孩子没有举手。教师请学生再次比较解题前后，喜欢画图的请举手，并说说自己的想法。有学生说画图之后方便解答，因为题目中的条件和问题都看得特别清楚。从这位教师让学生的三次举手中，我们看到了老师很好地把握住了两个时机：第一个时机就是在学生理解题意有困难、想不到解决问题方法的时候，不为学生解释题意和提示算法，而是引导他们通过画图整理信息、理解题意、形成思路、寻找解法。第二个时机则是学生解答问题后，引导他们体会画图整理信息对解决问题起了什么作用，对这些整理方法产生一种好感，从而在以后的解题中间能够自觉地进行使用。
李：实际就是重视学生的内心体验，关注学生的内心体验。如果学生没有求得新知的需要，而是教者硬将新授的知识“塞”给学生，这样的知识即便学会了，学生也会很快遗忘。因为那些东西在学生看来原本就不属于自己，而属于教师或书本。
魏：结合两位老师的这个策略教学，我们能感悟出一些策略教学的基本线索。比如：在学生熟悉、简单、有趣的事件中提取经验，感受方法；继续使用有关方法解决问题，熟悉方法；经常让学生体验方法，感悟策略；适当解决一些新颖问题，加强策略。
幻灯片出示：
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策略教学的基本线索：
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总之，策略教学的最终目标是为了让学生发展思维，掌握解决问题中的各种策略，从而长效地、持久地在学习的过程中间形成独立获取知识的意识，提高主动解决问题的能力，如果能真正有效地将策略教学渗透在我们日常的数学教学活动之中，而不是“为教策略而教策略”，那么，我相信，将会有更多的学生被数学的内在魅力所深深的陶醉与吸引。
今天，有关于解决问题策略的教学我们讨论到这里，谢谢各位老师！
作业
讨论题：
1．请结合教学实际，谈谈在小学数学教学中，进行解决问题策略的教学作用与价值。
2．请选择相关教材，完成一个解决问题策略的教学的课例设计。
第11讲
黄建弘
张叶清
宋永福
长度度量的几个阶段：
第一个阶段，长度的初步感知；
第二个阶段，长度的直接比较；
第三个阶段，长度的间接比较；
第四个阶段，用统一的单位来比较；
第五个阶段，长度单位概念体系的形成。
例如
比较图中操场上旗杆的长短和四位小朋友的身高。在左边的图中，提出的问题是，哪一面旗子最高？在右边的图中，提出的问题是谁最高？谁最矮？按身高将名次排出来。
现在，孩子们很容易地就把旗杆的长短区分了出来。（课件）
现在，孩子们也很容易就把四位小朋友的高矮（长短）区分了出来。宋老师，你看看，这两道题的关键在哪里？
宋：大家在课件中可以看到，这些旗杆、学生都是在同一根线上的。
图中有三根长短不一的跳绳，现在的问题是哪根最长？哪根最短？教师要帮助学生注意，在比较的时候要将三根跳绳的一端都对齐。现在这三位小朋友可以说谁的跳绳最长，谁的跳绳最短了，这就是直接比较。再例如，让学生拿出所有的铅笔，比一比哪一根最长？拿出所有的书，看哪本最厚？
下面的图中有一张明信片，明信片是横长还是竖长呢，学生通过折叠以后就可以比较出，是横的一边长还是竖的一边长。
上述活动都是直接比较。
这张图的背景都是方格，提出的问题是在方格纸上比较长度，学生可以通过数方格来确定铅笔是最长的，为什么呢？因为它一共占了17格。橡皮和铅笔刀是最短的，因为它们只占了4格。从这里开始，学生的思维从直接比较过渡到了间接比较。
张：学生已经能够通过方格的个数来确定对象的长短，实际上他已经进入了定量比较。现在在教师的帮助下，学生的思维已经进入了间接比较。
第一阶段就是找身边的东西，例如脚步，小胖就在用脚步{在（删）}量教室的长，脚底、拃或小木棍来量物体的长度。
用脚步可以量教室、量走廊、量体操房，量校舍，量校园的长度；
用脚底可以量门宽，橱宽，走廊宽；
用拃可以量课桌，图画，窗台，黑板，饭桌等。
少部分学生由于生活当中已经有了用尺来量东西的经验，例如他看见过他的父母是用尺来量东西的，他会直接用尺来量，但他对尺的含义与刻度往往没有深入的理解。
由于学生各人的脚步、脚底、拃或找到的小木棍长短是不一样的，所以对同一物体量得的数据是不一样的，学生就会提出疑问：为什么不一样？上面这幅图是教师让同学用拃来量讲台，最后量出的结果是不一样的，学生就产生了疑问，为什么不一样？这时候教师就可以很自然地引导学生去找统一的度量工具。
学生在这里还要认识“尺”，对尺上的刻度进行分析和理解。这里学生首次形成了长度单位的概念，随着学生学习的发展，逐步建立长度单位的概念体系。
我们从上图中可以发现，原来对课桌椅，不同的学生用拃去量，得到的结果是不同的，现在不同的学生用厘米尺或卷尺去量，量出来是一样的，都是60厘米，这个例子就生动地让孩子们知道，要用统一的度量单位去量物体的长短。
这里展示的就是卷尺。
在《长度比较》这节课的最后，利用方格纸来比较学习用品的长短，这个环节就是为学生从定性比较转入定量比较做的铺垫。学生在《度量》这节课中，我的主要任务是帮助学生找到统一量具（厘米尺或卷尺）进行定量比较，从而得到量数，来表达长度比较的结果。
教学的主要过程是帮助学生逐步找到量具、认识量具及其简单的使用方法。首先了解到人体上有很多有用的量具，并且学习了选用这些量具去量实物，但不同的学生量出来的结果不同，有些学生量出来的结果是10拃，有的学生量出来的是12拃，这样就引发了认知冲突，然后我因势利导用统一的量具厘米尺去量物体的长度，最后学生得到了相同的结果，并认识了量具厘米尺。
在这节课中，我还充分利用多媒体，运用实物、图形，让学生在量一量、比一比、动一动等实践操作活动中，积累感性知识。
教学中强调在教师的引导下，以学生的自主探索、小组合作与交流为主的教学模式。
突出学生的主体地位，引导学生主动参与教学过程，从而理解和掌握基本的数学知识、技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，发展学生的思维能力。
接下来，先请大家观看教学片断。
宋：通过这个教学片断，可以看出张老师从一开始就注重如何创设一个丰富的学习氛围，充分激发学生的学习兴趣。
因此在教学时，教师不能只重视结果而忽视过程。对小学生来说，仅仅借助语言、文字来理解基本概念存在一定的困难。课堂上教师应该尽量利用一切条件，展示相应的直观教具、学具，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生亲自动手，摸一摸、摆一摆、做一做，指导他们仔细观察，引导学生从操作中获得新知。这样既能活跃课堂气氛，又能激发起学生的求知欲，教学效果比较好。
在呈现这个抽象的过程的时候，应该按照学生的心理发展的特点，构建生动活泼的、学生熟悉的情景，让学生亲身经历，体验知识的发生、发展的过程。
这节课的一开始，张老师在课的导入部分，利用古代的小篆的“尺”字，利用“猜字谜”这一情境导入新课，引起学生探究的兴趣，而后让学生通过丰富的联想意识，了解到人体上有很多“尺”。最后给学生介绍古今中外有关“尺”的来源，激发学生的学习积极性。
案例11—2（上海师范专科学校附属小学
宋：在数学课堂中结合具体的教学内容，适时的让学生动手操作是非常重要的。
一、让学生伸出右手，运用古人的方法和老师一起来量一量课桌的长度。
二、通过量彩纸长度的教学环节，生生互动，让学生相互之间学习尺的使用方法。
三、让学生用米尺来量课桌的长度。
这些情境的创设，包括后面的在探究练习中“度量教室中的实物”和“度量身上的指宽、脚底和脚步”等活动。学生的主体地位得到了尊重，从被动接受知识转为主动地探索，学生学习的过程变得精彩而不再枯燥无味。使学生获得了广泛的数学活动的经验，并且营造了民主、平等、宽松、和谐的学习气氛。
张：小学数学教学中应该重视数学教学与生活的联系。数学教学要让学生学习有价值的数学和必需的数学，就必须联系学生的生活，使学生感到数学与生活密不可分，数学是生动的、有趣的，而不是单调的、枯燥的。
我的设计意图是：课的导入部分“猜字谜”，到课中间的“成语故事”，以及最后练习中的“测量身边事物”，还有“经历用不同方式测量物体长度的过程”等，都是把数学和日常生活联系在一起。
教学中，若能充分利用这一优点，变抽象为直观，变静为动，通过向学生展示教学情境，呈现思维过程，提供丰富的感知、表象，构成一个活跃的“思维场”，为学生实现由具体感知到抽象思维的飞跃架设了一座桥梁。
本节课从始至终都用丰富的“多媒体”课件陪伴学生学习的过程，例如介绍世界其他各国的度量方法，“郑人买履”成语故事等环节，使学生在欢乐的气氛中，乐学、想学、勤学、有创造性地学，保证素质教育在课堂教学中的有效实施。
第12讲
杨利亚
张叶清
杨：各位老师，大家好．今天我们一起来从“角的度量”看测量教学，为什么选这个题目呢？测量是空间和图形中一个重要的部分， 而这个内容里面有很多的东西非常难，比如说角的度量。今天我们就来解剖这节课，讨论一些关于测量教学的问题。
一、现状和原因的分析
张：我们先来了解一些基本情况：
一般是怎样教学“角的度量”的？
教学时遇到什么问题？
产生这些问题的原因又是什么？
杨：我也多次教过角的度量，我一般是这样教的，首先认识量角器和角的的计量单位“度”，接着教学量角的方法“对点、对边、读刻度”，最后就进行大量的练习。
张：但是象这样的教学经常遇到的问题有三个，第一是学生不会摆量角器，顶点和中心、零刻度线和角的一条边很难同时达到要求，最极端的错误是明明角在这里，量角器竟然会放到角的另一侧，也就是说角不在量角器的范围里边。第二种错误是摆好了量角器也不会读刻度，内圈和外圈分不清，70度读成110度，遇到65度这样的角更难理解，学生会读成75度、125度、115度。而第三个问题，整个课堂中灌输的味道实在太浓，学生真的成了接收灌输的容器。
杨：你遇到的问题啊其实我也经常遇到，我认为产生这些问题的原因不能归结于我们自己讲解不清，指导不细，训练不够，恐怕这些原因只是表面的原因，我认为最根本的原因是学生对于量角器的本质不太明了。
学生不明白“量角器就是单位小角的集合” （字幕）。因为量角的基本单位是１度，而这个“１度的角”实在太小，在量角器上根本不能反映出来，所以量角器的制作者往往把１度分割线去掉大部分，就留下沿着圆周的一小部分，因此学生很难理解“量角器就是小角的集合”。
而且学生不明白量角器上两圈刻度的作用和由来（字幕）。学生最熟悉的度量工具是“尺” “尺”上只有单向刻度，这是因为“尺”的摆放与读数比较容易；而用量角器量角时呢，如果只有单向刻度，那么量不同朝向的角的大小时是非常麻烦的，因此不得不加上两圈刻度，学生对此也不太理解。
因此我认为：量角器的高度简约化、高度智慧化、高度截面化和学生已有经验之间的矛盾使得学生对于量角器的本质的认识产生了障碍。
张：杨老师，我还认为还有一个原因，是学生对量角方法的本质不明。学生不明白量角的本质就是看测量对象中含有多少个单位小角。
无论是长度、面积、体积、重量、角度的度量的本质都是用基本单位与当前所测量对象进行比较，例如：测量面积就是把被测量对象与单位面积进行比较，被测量对象中含有多少个面积单位它的面积就是多少；而量角的本质是看被测量的角中包含多少个单位角。正由于学生对于量角器的本质不明，学生才不会摆量角器。
二、怎样从揭示本质的角度来改进“角的度量”的教学
杨：原因找到了，是由于学生对量角器和量角方法的本质不明。那么该怎样从揭示本质入手改进我们当前的教学呢？
全国第八届课堂教学大比武的一等奖获得者强震球老师在这方面作了很好的探索，我们分两个段落来剖析他的教学方法和设计意图。首先来研究
（一） 怎样揭示“量角的本质是看对象中含有多少个单位小角”“量角器的本质是单位小角的集合”（字幕）
请看录像。
案例12-1角的度量（江苏省江阴市实验小学
1、录像观摩：
杨：刚才这段录像其实可以分成两个段落
1. 由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小
2. 由单位角的使用不便引出要可以把单位角合并为半圆工具，并进行方法教学（字幕）
我们来分析一下这两个段落的设计意图：
张：由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小。这个段落其实是为了说明量角的本质是看大角里有多少个单位角。
复习角的大小的含义，唤醒学生对角的大小的理解，为用单位角量角的大小打下铺垫；复习用活动角比较角的大小，用活动角来比较角的大小时的注意点“点对点，边对边”实际上是用量角器量角的方法的雏形，因此需要激活。本环节还通过学生的讨论与操作，引导得出用小角来比较的方法，比较了用活动角比大小和用小角比大小各自的优劣，突出了小角度量比较精确的特点。量角器的本质是单位角的集合，让学生悟出用小角测量的可行性与操作要点，可以为学生理解量角的原理打下坚实的基础。
杨：第二个段落由单位角的使用的不便引出要把单位角集合为半圆工具，并进行方法教学。这个段落的目的在于揭示量角器的本质是单位角的集合。
强老师呢，针对“用单位角比较”的优势和劣势非常准确地设问：能否保留“用小角比”的优势而改变操作不便的不足呢？在这个基础上引导学生把单位小角合并起来，这样就非常巧妙揭示了量角器的本质是单位角的集合。
本环节还强化了用“简易量角器”测量角的大小的方法。简易量角器上没有刻度，但是正因为没有刻度，学生就只能数出得数了，对学生掌握量角的方法反而减少了很多干扰，更利于学生掌握量角的方法。
1、
杨：到现在为止，学生明白了量角器是小角的集合，量角的本质也明白了，但是学生还不明白两圈刻度的作用和由来，那么强老师接下来会怎样呢呢？让我们接着看下去。
2、
案例12-2
3、
杨：这部分内容的教学还是可以分成两个阶段：
第一个阶段由这种半圆工具度量不准确引出要把单位小角分得更细些
第二个阶段由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度
拿这两个段落设计意图又是什么呢？
张：我认为，前一段落中老师用的单位角比较大，具有便于操作、便于学生掌握原理和方法的作用，但是真正使用的量角器中的单位角是1度的角，1度的角非常小，具有度量准确的优点。因此强老师就从单位角太大度量不准确入手启发引导学生得出：要把单位角分得更细些。
学生实际使用的量角器的靠近中心部分是没有分割线的，使得学生不易理解量角器是单位小角的集合，强老师演示量角器的动态演变过程用意就在于弥补这个不足。
杨：第二个段落是由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度。与直尺相比，量角器有两圈刻度，这是理解量角器的构成的一大难点。这个环节中强老师精心设计了读数不便的现实情景，让学生产生要加两圈刻度的想法，这样一来刻度成了学生自己的作品，当然它的由来、作用、使用方法就不言自明了。
在平时的教学设计之下，量角的方法是要由教师一个步骤一个步骤地示范讲解的，但是在本课的教学前提之下，量角的方法当然不再需要教师拼命死灌了，量角的方法只是学生的思维的自然延伸，因此完全可以由学生自己得出了。
三、整个课堂设计的核心思想
杨：为了捕捉整堂课设计的主要思想，我们来完整地来看一下整节课的五个段落：
1. 由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小；
2. 由单位角的使用的不便引出要把单位角合并为半圆工具；
3. 由这种半圆工具度量不准确引出要把单位角分得更细些；
4. 由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度；
5. 完整总结量角方法，进行相应练习
这个段落呢刚才大家没有看到．
从这五个段落和他们之间的相互联系中我们也可以看出强老师在设计这节课时有哪些重要设计理念呢？
张：我认为在本课当中，强老师非常重视揭示知识和方法的本质，揭示本质是本课的第一个设计理念。
量角器的本质是“单位角”的集合，角的度量的本质是看被测对象中含有多少个“单位角”，促使学生对这两个本质充分而又深刻地理解是上好这节课的逻辑基础，强老师的教学策略的设计就是围绕这样的主题展开的。
杨：但是强老师揭示本质不是通过灌输来实现的，而是通过动态建构来实现的，因此动态建构是本课设计的第二个理念。
建构主义的教学理论强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构，建构的过程是从“不平衡”到“平衡”的不断反复的过程（字幕）。
这节课里，强老师能够追踪量角器设计者的思考轨迹，凸现种种矛盾冲突，不断激发学生深入思考，展示了知识的形成过程，让学生理解“量角器的本质”，理解“量角方法的本质”。也就是说，强老师试图把学生的角色从“量角器的使用者”提升成为“量角器的制作者”，引导学生进行对量角器的再创造，在探索和实践的过程中掌握知识的原理，在建构工具的同时建构方法。
1、导入：
杨：老师们，空间和图形中的测量内容非常丰富，具体而言包含下列内容：
意义：长度、角度、周长、面积、表面积、体积、容积
算法：一些图形的周长、面积、表面积、体积、容积的计算方法（字幕）
强老师的角的度量的教学中最突出的就是把握本质和动态建构，那么这样的理念对于如此丰富的测量教学的内容有没有什么指导意义呢？
2、教师对于测量本身的数学理解非常重要。
张：强老师的课使我们教师对于量角的本质、量角器的本质（的认识）有了新的提高，我觉得教师对于测量本身的数学理解非常重要。
杨：对呀，你要让学生理解知识的本质，那么教师不理解本质怎么行呢？而且理解要深刻．要深刻要达到哪些要求呢？我看主要有下面这些要求：
1. 理解测量的本质是看测量对象中含有多少个基本单位
2. 理解为什么有的测量工具是专门化固定化？有的测量工具却是临时性质？
3. 理解测量单位统一的必要性
4. 理解测量单位和测量对象的一致性
5. 理解专门的测量工具是测量单位的集合。
6. 理解为什么一些专门的测量工具上要加刻度？
7. 深刻理解测量概念本身的内在含义
深刻认识测量概念本身的含义是一件非常重要的事情，很多测量概念是非常抽象难懂的，比如什么是面积？什么是体积？教师绝不应该满足于会机械地背出几个定义，如面积的定义老师就背啦“物体表面或围成的平面图形的大小叫做他们的面积”，其实会背这样的定义很简单，但是你对面积的真正意义完全是可能一知半解的。
我曾经让一个学生比较两个长方形的面积，当学生比出结果后我问他原因，那个学生说却说“那个长方形边框比较长”。你看这里边学生关注的根本不是面积啊，他关注的是周长。
我认为，教师对于测量概念必须要有非常本质的而不是字面的理解，还是以面积为例，面积的本质是什么，面积的本质是“面的大小”而不是“边的长短”，把握概念的本质有什么标志呢？下面我举两个例子，这两个例子应该很能说明问题。
有一次，吴正宪老师教学面积的意义，她先让两个学生比赛涂色，一个学生涂面积比较大的一个长方形，还有一个学生涂一个面积较小的正方形，看谁先涂完。我认为学生在这个过程中关注的才真正是面的大小。
还有一位老师教学面积意义时，他一开始就布置学生比较两个房间的大小，结果有的学生用尺去量，有的学生用报纸去铺地，铺完之后说哪个房间用的纸多哪个房间的面积就大。我认为第二个学生对于面积的含义恐怕也是真正理解的。
3、 把技能训练课提升为思维发展课。
张：我认为强老师的这堂课不象很多老师一样，把测量课仅仅当作技能训练课、手工操作课，在强老师的课堂里，学生的思维能力得到了很大的发展，解决问题的策略得到了很大的提升，这一点非常值得我们学习。因此我认为改进测量教学第一个要做到的就是：把技能训练课提升为思维发展课。
杨：要把技能训练课提升为思维发展课，我觉得应该做到下面几条：
（１）杜绝测量概念教学中的浅表化、文字化，要追求概念理解的深刻化、本质化。
（２）杜绝测量单位、工具教学的机械化，要追求教学过程中的生成性。
（３）杜绝测量公式教学过程中的短平快，要追求在公式推导过程中学生的实质发展。
其实前两点我们在前面的讨论中已经涉及很多，关于第三个方面我在这里补充一个例子。
教学平行四边形的面积计算时，我们一般先引导学生把平行四边形变形为长方形，然后就提出三个问题“１平行四边形的面积和长方形面积有什么关系？２长方形的长和平行四边形的底有什么关系？３长方形的宽和平行四边形的高有什么关系”，最后在问题讨论的基础上得出计算公式。
但是也有人不是这样上课的，他的教学分为三步：
第一步跟我们一样，引导学生把平行四边形割补成为长方形，求出面积。
第二步呢跟我们不一样了，他在方格纸上画了大量的平行四边形，要求学生想象，要想出割补的过程求出面积。
第三步问学生：要求平行四边形的面积需要知道哪些条件？怎样求？为什么？
我很欣赏这位老师的第二个教学段落，让学生想象割补过程求面积看似浪费了时间，但是在这个过程中平行四边形和长方形之间的内在联系得到了极大的重视，学生的空间想象能力也得到了很大的提高。
我对第三个教学段落也非常欣赏，他的问题是“要求平行四边形的面积需要知道什么条件？怎样求？为什么？”，而我们给他们提的问题是什么呢？ “面积和面积有什么关系？长和底有什么关系？宽和高有什么关系”两种提法相比较，显然这一位老师的提问比较宏观，题目比较大，这样一来，学生就能比较系统地完整地进行思考，而我们体的问题呢就把知识嚼得太碎了，就降低教学过程中的认知水平。
张：强老师设计课堂教学时的大胆也值得我们学习，一般的老师只满足于教会学生量角，根本不敢让学生创造量角器，正因为设计的大胆才导致了课堂的灵动。
其实，这实际上不仅仅是大胆与否的问题，更是应该不应该的问题，这涉及到我们如何看待学生的问题，教师越是小看学生，培养的学生越是高分低能，越是把学生看做具有很大的潜能的创造者，学生就越是能朝着这个方向发展。当然过分高估学生肯定不行，但是别忘了学生的创造只是在教师引导下的再创造，在这个前提下我们设计课堂教学时不妨胆子更大些、步子更大些。因此我认为改进测量教学第二个要做到的就是：把学生提升为知识和工具的发明者。我们要相信学生学习和创造的能力，同时要发挥教师的引导作用。
杨：要在动态建构中促进学生对数学学本质的理解，我们就需要把技能训练课提升为思维发展课，把学生提升为知识和工具的发明者。那么实现提升的前提是什么呢？
张：要实现这个提升最大的难点在于我们不知道这种提升的具体轨迹？我们的祖先是如何发明这些工具和知识的。如果知道了这些轨迹和过程，我们在课堂上就可以大致复制这样的过程。
杨：你说的真是一针见血，这确实我们最大的难度，我们对于祖先的发明创造过程我们确实不可能完全了解，但是好在有专门的数学发展史的研究专家会给我们提一定的帮助，但是这些专家的帮助是比较宏观的，一些微观的东西恐怕我们只能通过逆向思维从现状向前追溯了，因此我认为，促进提升的前提是追溯前人认知发展的轨迹。
有些专家通过历史的研究和个人的想象追溯，认为
测量思想的形成的几个阶段：
1．萌发概念阶段
2．直接比较阶段
3．间接比较阶段
4．借助不统一的单位比较的阶段
5．借助统一的单位比较的阶段
6．形成专门的测量工具或者发明一些特定算法的阶段
张：这样通过追溯，我们知道了测量思想形成的大致阶段，我们的课堂总体上要复制这些阶段，那么这些阶段在课堂上该如何链接呢？
杨：促进提升的课堂策略是善于创设问题情境巧妙设疑、层层深入推动建构进程。
要做到这一条我们需要：
1．要分析相邻两个阶段在逻辑上的递进关系
2．每个逻辑阶段的不足要让学生真实地直接地感觉得到
3．在学生对于问题或不足明确感知的基础上启发设问（字幕）
只有这样才能真正做到在动态建构的过程中揭示知识的本质，这一讲到这里就结束了。
第13讲
主讲：李新
王丹
李：各位老师，大家好，在这一讲里，我们将和大家一起交流有关图形与位置的教学。
王：有的老师认为，图形与位置中的有些内容，科学课、品德与生活课中也有，那么在数学课中学习这些知识在什么地方不同于其他学科呢？怎么处理与其他学科相应内容学习之间的关系呢？
李：学习《课程标准》中关于“图形与位置”的内容标准，我觉得小学数学中学生学习“确定位置”，有两条线索。
一是从学习用类似第几排第几个的方式确定具体情境中一些物体的位置，逐步发展到用数对来确定位置；
二是从学习用方位词或方向词描绘物体的相对位置或方向，到结合比例尺来绘制并描述简单的路线图。
这两种确定位置的方法，它们实际上分别对应了中学要学习的平面直角坐标系和极坐标系，它们都是平面上确定位置的方法。
王：就是说，这两条线索并行发展，使学生充分经历了从生活情境到数学模型的探索过程，为后续学习比如说坐标知识的学习奠定了基础，也发展了学生的空间观念。
李：是的，小学数学中有关图形与位置的知识，比较系统，知识发生与发展的脉络清晰，目标也相当具有数学的味道，比如发展学生的空间观念。
王：我也是这样认为的，同一个内容，在不同学科，其刻画的角度是不同的，学生在不同学科中学习同一个内容，有时能起到相辅相成的作用，加深对这一内容的认识。
李：在这方面，我听到过这样一个例子。有二年级学生初学认识方向，一些老师就借用以前在语文课中学过的一篇课文来引入：早晨起床，面向太阳。前边是东，后边是西；左边是北，右边是南。
王：另外，数学课中学习确定位置，认识方向，与科学课、品德与生活课最大的不同是用数学语言来思考和表达。正像刚才我们讨论的，数学课上学习这方面的知识更系统、更广泛、更深刻，更有利于培养学生的空间观念与思维能力，也为学生的后续数学学习服务。
李：我非常赞同您的观点。以用类似第几排第几个这样的方法来确定位置为例，生活中用这种方法确定位置是十分常见的。数学教学这部分内容，就要使学生从这些常见的生活用语中找出共同的特点，研究相同的表达规律，体会在平面上确定一个物体的位置，必须要从两个维度来刻画，从而初步形成类似于平面坐标这样的数学模型。
王：所以我们在教学中就应该大量选取这样的素材：如在做操方队中确定某个动物的位置、在电影院里找座位、在书架上找书、在一幢楼房中找某个房间的位置等等。这些空间情境都是学生熟悉的、感兴趣的和现实的，能引导学生利用已有的生活经验或常识，进行充分地观察、操作、判断和交流，在内容丰富的活动中体验有关位置的知识。
李：这一内容的教学，我听到过这样一堂课，其中有两个细节，可供大家参考。一是在引入用两个“第几”确定位置时，老师联系了一年级时学生学习“几和第几”的知识，如若干个小朋友排成一行，其中某个小朋友是从左往右（或从前往后）数的第几个。在这种情况下，用一个“第几”就可以确定位置。而今天要在做操方队中确定某个动物的位置，用一个“第几”就不行，就必须用两个“第几”。第二个细节，在课的结尾，老师给学生呈现了用很多个小正方体搭成的大立方体，让学生说一说涂色的小方块的位置。两个细节，使得学生对确定位置的认识从一维到两维再到三维，逐步拓展，也进一步发展了空间观念。
王：是的，用第几排第几个等说法来确定位置，在生活中很常用，可以说这样的表达很有生活味，而其后的发展，用数对来确定位置，又很有数学味。实际教学中，我们怎样做才能恰当处理两者的衔接，从生活味到数学味，使学生充分经历数学化的过程，既把有关的数学基础知识学习好，又能充分发展学生的数学思考呢？
李：数学课应该有浓浓的数学味。数学味是一种比较感性的、口语化的表述。
数学课堂中的数学味，其本质应该是努力引导学生用数学的视角去观察，用数学的语言去表达，用数学的思维去研究、用数学的方法去解决问题。
通过这种方式，不断地促进学生对已有认知结构进行完善和重组，以实现对数学基础结构的同化或顺应，包括知识、方法、价值观等，并促进人的心智发展，最终获得科学的态度，严谨的思维，以及解决问题的方法。
这其实正是您刚才所说的“让学生充分经历数学化的过程”的意思。让学生充分经历数学化的过程，不单在图形与位置的教学中要落实，在其他内容的教学中也应一以贯之。回到刚才的问题，从“第几排第几个”到“数对”，怎样很好的统一，让前者成为后者的基础，后者成为前者的发展，使学生充分经历数学化的过程，让我们一起看一段录象。
李：首先老师成功地激发了学生要规范地确定位置的需要。老师创设了很好的情境引入新课，贴近学生的生活实际。原来教材中呈现的是教室里有序排列的座位这一场景，并提出了小军坐在哪里的问题。老师创设了这样的教学情境，让学生借助以往确定位置的经验对这类问题进行思考、交流，使学生感到同一个位置有不同的描述方法，即没有确定性，从而产生统一确定位置的规则的需要。
王：需要产生了，那么如何使学生真正理解并掌握这一规则呢？我们继续看实录片段吧。
案例13-2《用数对确定位置》②（江苏省镇江实验小学
李：在刚才这个片段中，接着教学“列”“行”的知识，因为数对是按列与行确定位置的。竖排叫做列，横排叫做行都是规定。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数，都是人们的约定。正是因为这些规定和约定，人们在确定位置时才有一致的思考和结论，才能避免引起争议和混乱。因此，教学列、行的知识绝不能含糊。
王：老师采用的教学方式是精到的讲解、简洁的板书以及在实际情境中组织学生充分交流。比如老师在向学生讲清列、行的含义以及确定第几列、第几行的规则的同时，引导学生把实际场景图抽象为圆圈图，并在圆圈图上反复描述学生的位置，使学生对列、行的认识以及规则的确定逐步上升到理性认识，也为学生进一步学习在方格图上确定位置打下了基础。
李：接着，应该是本课的真正主角——“数对”出场了。我们继续往下看录象。既然已经统一了确定位置的规则，每个同学的位置都可以用第几列第几行来表示，那么是否有更加简洁、更加方便的表示方法呢？方法就在独立思考、合作交流、比较分析中得到了优化，“数对”的出现水到渠成。
王：而教师关于数对（4，3）的讲解，起码包含了三层意思。
关于数对包含了三层意思
一是“数对”指两个数，即列数与行数。
二是在数对中先表示第几列，再表示第几行。这个顺序不能颠倒，它和直角坐标系中确定点的位置，先写出x轴上的数量，再写出y轴上的数量的次序是一致的，不会和中学里的数学知识发生矛盾。
三是用数对确定位置有规定的书写格式和相应的读法（字幕按顺序出），
书写时要用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间写个逗号，把两个数隔开，读的时候，只要顺次读出两个数就可以了。
李：还需要明确的是，任何新知识的掌握，都要经过一定的练习。本课中进行的练习也是形式多样的：既有巩固数对含义的练习，又有理解用数对确定位置的练习；既有强化列、行的练习，又有区分列、行，体会顺序的练习。同时要注意练习题所依托情境的现实性、新颖性和趣味性。通过练习，引导学生逐步掌握用数对确定位置的方法，进一步把握平面上数对的含义。
王：节目开始时，你谈到小学数学里学习确定位置有两条线索，刚才我们谈论的是其中一条。那么另一条线索的一些内容在教学时又要注意些什么呢？
李：另一条线索主要有这样一些内容，先学习用上、下，左、右，前、后描述物体的相对位置，再学习给定东、南、西、北四个方向中的一个方向，辨认其余三个方向，在此基础上，继续学习东北、西北、东南、西南四个方向，能用这些词语描绘物体所在的方向。以上内容是在第一学段学习的。到第二学段，要学习比例尺，在具体情境中，会按给定的比例尺进行图上距离和实际距离的换算，有比例尺的知识作基础，就能学习根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置，学习描绘、描述简单的路线图。可以看出，这一条线索所包含的学习内容，对学生的空间感觉（要求）更高，知识应用的综合性要求也更强。因此，在这一内容的教学中要注意引导学生充分利用已有的知识和生活经验，把自主探索和有意义（接受）学习两种学习方式有机结合，使学生逐步体会确定位置的规则的合理性，不断丰富确定位置的方法。
王：在第一学段中，主要学习根据方向来确定位置，到第二学段，要学习根据方向与距离两个方面确定物体所在的位置。学习这一内容，既要联系已有的方向经验，又要应用度量角和画角的方法，以及比例尺的知识，来进一步了解方向、体会距离，发展空间观念。可以看出，这个内容的学习涉及的知识、技能比较多，教学是有一定的难度的。
【甲】接下来，我们一起看几段录象。在录象课中，老师采用“层层递进，步步为营”的教学策略，在原有方向知识的基础上首先建立“什么方向偏什么方向”的概念，再陆续添上偏什么方向的度数和相应的距离，突出“知道了物体的方向和距离，就能确定位置”这一思想方法。我们首先来看第一段。
李：在这一段中，老师先出示轮船向正北方向航行的情境图，让学生看出图中的灯塔1在轮船的东北方向，灯塔2在轮船的西北方向，激活已有的方向经验，随即揭示了北偏东和北偏西两个知识。
王：接着，教师安排了一系列的练习：先让学生听一段台风报道的录音，使学生感受这种“什么方向偏什么方向”的说法在生活中的应用；再让学生逆向思考“小岛在轮船的什么方向偏什么方向”，进而迁移、概括出“什么方向偏什么方向”的说法的共同点：总是以北或南两个方向词开头；随即，安排了针对性练习，让学生在新的情境中运用刚学到的四个新的方向词，为下一步学习夯实基础。
王：我也觉得这个射击游戏设计十分巧妙，既将关键的数学知识有机地、有层次地融合，又充分调动学生的积极性。因为学生都十分希望能射中目标，但是前两次射击由于考虑不周，都没能射中，于是主动反思，是什么原因不能射中目标呢？这一游戏情境对于学生思维的激发、学习过程的推动都是非常有效的。
李：游戏过后是练习。老师让学生将刚才在情境中、游戏中所获得的知识和活动经验，综合应用在问题解决中：“以轮船为观测点，要测定灯塔1的位置，需要测量哪些条件？”在教师的引导下，通过测量、计算、讨论，得出结论：“灯塔1在轮船的北偏东30度方向6千米处”，提高了学生对这个问题认识的理性程度，使学生空间感得到增强，获得了问题解决后的成功感。接着，老师让学生确定灯塔2的位置，则又是在新的认识高度上进行的巩固练习。
王：总的感觉，对教材的深刻理解与准确把握、对学生心理的洞察与引导，教学设计时清晰的思路、丰厚的层次都是本课成功的重要保证。
李：总之，通过对两个案例的讨论，我们进一步明确了，
图形与位置教学的基本目标有两点：
一、图形与位置的内容是发展学生空间观念的良好载体。学生学习这一内容，就是要发展空间观念；二、图形与位置的学习内容，正好对应了以后学习坐标的一些知识，从小学开始，就渗透这方面的知识，无疑是十分重要的奠基工作。
作业:
1.小学数学中“图形与位置”的教学有哪两条基本线索？分别包含哪些内容？
2.请选择其中一个内容，做一份教学设计。
第14讲
佟
单
佟：各位老师大家好！今天我们讲的课题是可能性。
在信息社会，人们处处面临着大量信息和数据，常常需要在不确定情景中，根据大量无组织的数据，作出合理的决策，如，购买彩票、降雨概率、买卖股票的收益、统计部门大量的数据统计及决策等．概率与统计正是通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对不确定现象和事件发生可能性的刻画，来为人们更好地制定决策提供依据和建议。因此，概率统计的基础内容是一个公民必备的知识，是构成学生素质的重要组成部分。
单：在教育部颁布的数学课程标准（实验稿）中，第一次将有关概率的知识纳入小学数学教学中，因此如何帮助学生理解有关概念成为了广大教师的关注点。首先我们来对有关概率方面的知识进行简单的了解。
佟：数学课程中的概率统计内容，要求在具体情境中感觉某些现象的随机性，并用“数”来标志事件发生“可能性”的大小，这就是概率。它是推断统计学的基础。小学数学中的概率，有两种定义方法。
(出示幻灯片)
佟：一种是理论概率，另一种是实验概率。理论概率就是指许多随机现象，可以从理论上进行分析，对相应的事件指定一个合理的概率，来表示该事件发生的可能性的大小。（PPT）比如说抛一枚硬币，讨论正面向上或向下的随机性现象，他们发生的可能性是相等的，于是确定他们发生的概率各为1/2。再如，一个圆盘平均分成n个扇形，那么转动指针，指针落在某个区域的可能性都一样，于是确定他们发生的概率各为1/n。如果划分的这些扇形的面积大小不同，那么落在某个扇形内的概率就和该扇形在整个圆中所占的面积比例有关。这是我们从理论上分析之后规定的，所以都是理论概率。
有些随机事件的概率不能通过理论分析的方法来得到，而是需要大量重复试验做出来的，这类概念就称为实验概率。（PPT）
(结束幻灯片)
单：例如通常所说的“明天的降水概率是80%”，我们是根据过去大量的气象数据进行统计推断出来的，并不是等可能性问题。随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的次数与总的实验次数之比，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性，我们就把这个固定数称之为这一事件的概率。也就是说，这类概率是通过大量实验做出来的。
佟：在小学数学的有关概率知识的教学中，我们常常结合这两种定义进行教学。例如抛一枚硬币，讨论正面向上还是反面向上的随机性现象，我们可以进行实验。我们先来看一张表
(出示幻灯片)
一些数学家进行了抛硬币试验，抛2048次，正面向上的次数为1061次，正面向上的次数与抛掷硬币的次数之比为0.5181；抛4040次，正面向上的次数为2048次，比值为0.5069；抛12000次，正面向上的次数为6019次，比值为0.5016；抛24000次，正面向上的次数为12012次，比值为0.5005；
于是可以看出，试验的次数越多，比值越接近0.5。也就是说，正面向上和反面向上的可能性是一样的。而理论概率也认为正面向上和反面向上的出现的可能性是一样的，由此，建立实验概率与理论概率的连接。
(结束幻灯片)
单：在小学阶段，对有关概率内容的教学要求，主要希望学生(出示幻灯片) 1、初步体验有些事件的发生是确定的，有些事件的发生是不确定的。2、能列出简单试验所有可能发生的结果。3、知道事件发生的可能性是有大小的。4、体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件的可能性。
(结束幻灯片)
单：下面，我们就分几个部分对课堂中如何实施可能性教学进行简单的介绍。
佟：首先我们来讨论如何对事件发生的可能性进行教学。最新的儿童心理研究表明7-10岁的儿童能够了解「可能」和「一定」的含义能分辨因果及纯粹机会的事件。在对儿童进行事件发生的可能性的教学时，要强调学生的生活经验，从儿童可能性的经验入手，学生没有经验时，教师可以设计一些试验，通过具体的操作活动使学生具备相关的经验。要注意学生过去的经验和已有的知识是判断可能性的基础。下面我们看一个教学片段。
单：从这一教学片段中，我们可以看出学生往往是根据自己的知识经验来判断事件发生的可能性。当学生判断“未来事件发生的可能性”时，也是根据“以往的经验中发生的情况”和已有的知识来预测，并不是主观地进行判断。教师还可以有意识地寻找一些带有感情色彩的事件让学生来判断其发生的确定性和不确定性，让学生认识到某一客观现象发生的确定性和不确定性与个人的愿望是无关的。
佟：对于未来事件发生的可能性判断，是研究不确定事件发生规律的基础。因此我们首先要探讨事件发生的可能性。在此基础上，再探讨可能性的大小。下面我们就如何开展可能性的大小的教学进行简单的讨论。小学阶段可能性大小的学习一般是先通过进行掷硬币、摸彩球、掷骰子等活动，让学生进行多次的实验并将实验的结果进行统计，通过具体的操作活动，认识事件发生的可能性大小相同。我们来看一个教学片段。
案例14-2（ 上海黄浦区蓬莱路第二小学
佟：根据研究表明： 7至11岁的学生能以具体的操作了解概率的概念。因此在进行可能性教学时，应该提供真实的情境及具体的操作实验，透过熟悉的情境来发展概念。但概率教学中的实验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，仅仅靠课堂上几十个同学用几分钟做试验，有时成功，有时会离开理论概率很远，不能获得满意的效果。此时，我们可以借用现代手段，象在教学片段中展示的那样，通过使用多媒体课件呈现投掷几千几万次的情景，由此使学生接受每个点数出现的可能性是一样的这一概念。
单：佟老师，我曾碰到一位老师，他跟我谈到了他在在教学可能性时遇到的一个情况，有一个学生抛了10次，其中正面向上出现了7次，反面向上出现了3次。这位学生就对老师说：“老师，您说的不对，正面向上出现的可能性和反面向上的可能性应该是一样的，我抛了10次硬币，怎么正面向上出现了7次，反面向上出现了3次，是不一样的？”这个老师听到后，当时这样处理的。他对学生说：“要不这样吧，你回家再接着抛抛看。”没想到这位学生回家以后，真的这样去做实验了。他和家长一起，做了近一千次的实验，且认真做了纪录，在做记录的过程中，这个学生就发现随着投掷次数的增加，正面向上出现的可能性和反面向上出现的可能性就越来越接近。这个老师第二天到学校以后碰到这个学生，学生对他说：“老师，您是对的。”从这个情景当中，我感到这个老师有一点是非常可取的，他就是注重让学生来亲身的体验，在实际的自主探究操作过程当中，来获得正确的结果。
佟：这个老师这样做挺好的。在学生建立了可能性大小相等的概念以后，我们可以通过进行抛硬币、摸彩球、掷骰子等具体活动，体会事件发生的可能性是有大小的。
比如采用摸彩球的活动：一个箱子装有七个白球和三个红球。从箱子中任意抽出一球，抽到白球的可能性大还是抽到红球的可能性大呢？可以先让学生进行猜测，在猜测的基础上，通过具体的实验，用白球和红球出现的次数相比较，来判断白球抽到的可能性大还是红球被抽到的可能性大。也可以使用多媒体课件来代替具体的摸球活动。
播放FLASH课件
佟：大家看，这是一个简单的课件。在这个口袋里装有10个球。这10个球分别是7个白色的球和3个红色的球。我们可以利用多媒体课件进行摸球的实际的模仿。在利用多媒体摸球的同时，让学生纪录摸到红球或白球的次数，通过一定次数的演示，让学生根据统计的结果得出结论。这个课件中，将十个球分别标上1~10这十个数字，目的就是为从理论上解释结果做准备。也就是说每个球被抽出的可能性相同，而白球有7个，红球有3个，所以抽到白球的可能性大。
结束FLASH课件
单：有研究表明，在小学有关可能性大小的教学内容中，教学的难点是用分数表示可能性的大小。这有两个原因，第一，很多教材在介绍可能性的大小时，还没有讲到比的概念，而比的概念对学生用分数表示可能性的大小是必不可少的。
第二，多数学生的认知发展水平还没有发展到能理解用分数表示可能性大小的水平。
我们举例说，对于掷一个骰子，1-6点出现的可能性相等，均为六分之一，这一点学生还是能够接受的。因为，我们是先讨论出现1-6点的可能性大小相同，然后再讲每种出现的可能性都是六分之一。对于这种在同一个样本空间中讨论的可能性大小问题，学生是可以理解的。但是，对于不同样本空间的事件的可能性大小比较，由于学生所学知识的局限和认知水平的制约，就不容易理解。比如，一个袋子里有3个红球、2个白球，另一个袋子里有6个红球、4个白球，问：哪个袋子中摸出红球的可能性更大？这时相当部分的学生可能会认为有6个红球的袋子中摸出红球的可能性更大。因为他们是从袋中的球数来判断，而不是从比值的概念。而这题的正确答案是两个袋子取出红球的可能性是一样的。
佟：我想到一个案例。一位老师在教学过程中发现，有一名学生相信如果连续投掷四次硬币，依次出现「正反反正」的可能性比依次出现「正正正反」的可能性大，这个学生认为这样才能够显示出来出现正面的概率和出现反面的概率是相等的。如何帮助学生克服这种错误概念？这位教师提示学生可以借助树状图等工具，利用树状图将可能出现的16种情况有条理、无重复、无遗漏地列举出来，再通过列举的结果就可以看出实际上这两种情况出现的可能性是一样的。
单：还有这么个案例。有一个学生他投掷了5次硬币，结果这5次都是正面朝上，当这个学生在投掷第6次的时候，他这么断定：第六次一定是反面朝上！因为他是这样想的：正面朝上和反面向上的可能性是一样的，前5次都是正面朝上，那么第6次一定是反面向上。另一个学生在投掷前5次的过程当中，没有出现反面向上的情况，第6次也不会出现反面向上的情况。
佟：你认为为什么会学生这样想？
单：实际上，这种情况是因为学生都忽略了“每次投掷都是独立事件”这个本质。他们在投掷第六次的时候，都把前5次的结果联系起来了。考虑了前5次投掷情况。其实这时候教师可以反问学生“硬币有记忆力吗？它会记得前次试验的结果来影响到它的后次实验吗？”经此一问，学生就会发现，实际上硬币是没有记忆力的，它的前次试验和后次试验是独立的，没有任何联系。我想，可以通过提问的方式来刺激学生对于问题的思考，对概率这个问题的更深入的思辨，从而来寻求正确的思考过程。
佟：为了进一步理解有关可能性的大小，我们还可以借助判断游戏是否公平的活动，帮助学生进一步理解可能性。下面我们来看一下有关这方面教学的片断。
案例14-3（ 上海市闵行区实验小学
佟：这个教学片断，从学生的认知特点出发，设计了一系列的活动，引导学生在活动中主动思考并积极交流，获得对知识的体验和感悟。从教学片段中可以看到，通过对“为什么6人小组选择正方体而不选择长方体？为什么7人小组、5人小组不选择6等分的转盘”的讨论、引导学生从可能性的大小是否相同的角度进一步感悟、认识到什么是公平的，什么是不公平的。而用7名男生和11名女生通过“击鼓传花”来确定谁来表演节目的活动，让学生根据花落到每个人手里的可能性都是1/18，得出男生表演的可能性是7/18,女生表演的可能性是11/18。使学生能够根据部分与整体的关系，得出用分数来表示可能性的大小。
上述的教学片段，仅仅是为了向各位老师介绍如何帮助学生理解有关可能性的知识，希望能够对各位老师提供一些启发。（插入思考题作业：抛一枚硬币，抛10次，硬币正面朝上的次数是5次，抛20次，硬币正面朝上的次数是8次，抛50次，硬币正面朝上的次数是18次。这种情况有可能发生吗？如果你在课堂教学中遇到这样的情况发生，你会怎样做?以使学生理解抛硬币正反面出现的可能性是相同的？）
佟：各位老师，大家好。上一讲，我们对可能性的教学进行了简单地讨论。这一讲，我们继续讨论的课题是“平均数”。
单：平均数是小学数学中的一块教学内容。属于“统计与概率”领域。在教育部颁布的数学课程标准（实验稿）中，将“统计与概率”列为与“数与代数”、“空间与图形”、“综合实践与应用”并列的领域。应该说，这块教学内容非常的重要。
佟：的确如此，虽然随着科学技术的日益发展，我们对很多现象的规律已经掌握，但我们仍然对于很多现象的认识十分缺乏，不得不从众多的数据中收集、整理、描述、分析与解释，并作为判断与做决定的参考。
（出示幻灯片）
佟：统计学就是论述收集、分析和解释数字信息的科学。是一门为了说明所研究对[改为：现]象的某种数量特征和规律性而收集数据、表现数据、分析数据、解释数据，从而认识数量规律的方法论科学。
佟：统计学可以分为两个部分：一个是描述统计学，一个是推断统计学。描述统计研究如何对客观现象的数量特征进行计量、观察、概括和表述，它包括收集、整理、概括、描述及给出数据信息。一般用统计表和统计图表示，有时也用统计量，比如平均值、方差等来描述。我们要注意的是：描述统计就是对已有数据进行分析解释，不进行推测。而推断统计是根据数据所提供的总体的一部分我们称为样本的信息，对数据来自的总体的性质作推断。
（幻灯片结束）
单：平均数主要包括算术平均数、几何平均数和调和平均数。我们小学阶段说的平均数实际上是指算术平均数。算术平均数是平均数的一种，是一个描述一组数据集中趋势的统计量，是描述统计学中的一个最常用、最重要的统计量之一，也是推断统计学中的最重要的度量之一。
佟：下面我们就通过几个教学片段来看如何帮助学生认识平均数。
案例15-1（ 上海黄浦区蓬莱路第二小学
佟：单老师，这个引入你是怎么想的？
单：数学来源于生活实际，创设学生比较熟悉的常规口算这样一个情境，很容易激发学生的求知欲，激活学生的已有知识和经验。使学生认识到：一个同学算的多并不能代表一组算的最好。在人数不同的情况下，总和最多也不能代表这一组算的最好。通过求平均数就能够科学地、公正地评出比赛冠军。从而，对平均数的现实意义有所认识，也理解平均数概念存在的必要性。
佟：近年来，统计教学已经开始朝向更实际、更以资料为导向的趋势发展，它更重视针对实际资料进行探索来了解现象。
强调以学生生活所见或者是生活经验中的「真实资料」来学习统计概念，从生活中常见的[生]（删除）「真实数据」来进行初步的教学活动，从情境中寻找资料来解决问题。
要以学生的生活经验为主，从学生感兴趣的主题出发，通过具体的操作活动，培养学生有关统计的初步概念，并能正确地使用它。
单：像这样能够体现平均数存在必要性的例子还有很多。我们教师可以根据自己的实际情况选择。比如说：
（出示幻灯片）
2005年十一黄金周期间，上海两个机场7天里进出港航班大约有7210架次，2006年春运期间，40天里上海两个机场进出港航班大约有42440架次。问：上海两个机场2005年“十一”黄金周繁忙还是2006年春运繁忙？我们就要分别计算出十一期间和春运期间平均每天进出港的航班，通过平均值来进行比较。
再如A栏和B栏哪个栏的奶牛产奶量高？我们来看一下具体数据。我们也必须通过分别计算A栏牛和B栏牛的平均产奶量来进行比较。
（幻灯片结束）
佟：以前在教学“平均数”的概念时，教师往往把教学重点放在平均数的含义和求法上，而对平均数在统计学上的意义和作用很少提及。关于平均数，重要的不是它的定义和作为代数公式的运算程序，而是它所包含的统计意义。
单：在教学时不能只给出若干组数据，要求学生计算它们的平均数，也不能把数据的复杂程度、学生的计算速度和准确率作为教学的重点，而应该把初步理解平均数的意义作为教学的重点，理解平均数的意义、加深对平均数特点的了解，注重对其统计含义的理解，以及能够在新的问题情境中，准确地运用它去解决问题。下面，我们结合一个片断来讨论如何帮助学生理解平均数的概念。
案例15-2（ 上海黄浦区蓬莱路第二小学
单：这个教学片段探讨了两个问题，1．在计算一组数据的平均数时，不能删去该组数据中的零值资料，也就是说零值资料也要作为数据进行计算。2．平均数中表示人数时可以出现小数。平均数是统计学中最常用的统计量之一，是用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置，是描述数据集中趋势的统计量。它有两个作用：首先它为受过统计训练的人提供数据分布的初步印象，其次，由于大多数样本的平均数常用于估计相应的总体度量，所以平均数是推断性统计的主要成分。平均数只是一组数据的代表值，是虚拟的数。比如例题中一周借书情况，平均每天到图书馆借书人数是32.8人，并不是说真的有哪一天有32.8人到图书馆去借图了，这个32.8，只是这一周去借书的代表值。
佟：在数学课程标准（实验稿）中把对平均数的理解分成了两段，在中低年级学段要求通过丰富的实例理解平均数的意义，会求一组简单数据的平均数。而在高年级进一步认识平均数，除了会求一组数据的平均数外，还要求学生能对结果进行简单地解释，解释它的实际含义。平均数是一个“虚拟”的数，作为小学生，对平均数是“虚拟”的数这一点很难理解，因为“虚拟”的数很抽象。看不见摸不着。出现用小数来表示人数等在日常生活中不能用小数表示量的平均数，对学生理解平均数是一个虚拟的数是有帮助的。
单：平均数的概念在小学是借助平均分来理解的，但是它不是平均分。比如说20个草莓平均分给4个人，平均每人可以分几个？算式：20÷4=5（个），平均每人可以得到5个。这里的5个是指每人实际分得的个数！
再如小丁丁有3个草莓，小胖有4个草莓，小巧有6个，小亚有7个，平均每人有几个草莓？平均每人有5个草莓。这里的5就不是每人实际分得的个数，只是一个代表值，小胖、小丁丁、小巧、小亚四人中并没有任何一人是5个草莓，小朋友们原来有几个还是几个。
佟：有些教师在介绍平均数概念时，常使用这样的题材。
播放FLASH课件
佟：这个课件是教学中很多老师都用到的“移多补少”。在学生建立平均数是一个虚拟的数的概念之后，使用这个课件可以丰富学生平均数的计算策略。比如，有这样的3个数，79、80、81，我们怎样计算它们的平均数？完全可以从81中取1给79，从而快速计算这组数据的平均数是80。但是，在平均数概念形成的初期，使用这样的课件容易使学生产生平均数就是平均分的错误认识。虽然在低年级我们是借助平均分的概念讲述平均数的含义，但不论是否使用何种手段，都要让学生明白，平均数是一组数据的一个代表值，不是平均分的结果。否则出现用小数表示日常生活中不能用小数表示量的平均数，比如说人数的平均值、体重的平均值，学生就难以理解了。
单：为了丰富学生对平均数概念的理解，我们还可以设计以下的练习。
案例15-3（ 上海黄浦区蓬莱路第二小学
佟：这个教学片段渗透了平均数作为一组数据的代表值，是在描述这组数据时可以用的参考值，但是它反映的只是这组数据的一般情况，并不能反映出这组数据的个别情况。像教学片段中小胖班的平均身高为135厘米，小丁丁班的平均身高为140厘米。并不是说小胖的身高就是135厘米，小丁丁的身高就是140厘米。比较小胖和小丁丁到底谁高，使用这两组数据的平均数是不可能比较成功的。有可能出现三种情况，这在教学课堂中已经反映出来了。
单：我们学习平均数的最终目的是能够了解它并正确地使用它。平均数不仅可以用来描述一组资料的集中趋势，作为一组资料的代表值，用来比较不用样本数的两组同类数据，还可以通过部分数据的平均数来推测总体数据的情况。下面我们看一段有关《平均数的应用》的教学片段。
案例15-4（ 上海闵行区实验小学
佟：从这个教学片段中，我们可以清楚地看到，学生能够较熟练地利用平均数比较不同样本数的两组同类数据。在学习利用部分数据的平均数来推测全体的数据的情况的时侯，教师通过问“为什么不用这一个星期的某一天来参观的人数来推测这个月来参观的人数？”通过这个提问，来引导学生感悟到考虑样本的必要性，通过学生的交流，使学生的认识有了提升：当使用部分数据的平均数去推测全体的情况时，能较好地推测这个月的参观人数。使学生理解可以利用部分数据的平均值（数）来推测全体数据的情况。最后，通过用步幅和步数来推测射击场长度的讨论。学生自己得出利用平均步幅和平均步数来推测射击场长度更合适，让学生初步体会推测中不同的策略的精确与粗略的相对性。使学生在学会平均数应用的同时，加深对平均数的认识。
单：在学习平均数的概念时，还有一个值得大家注意的，就是平均数受极端值的影响较大。就是说当一组数据中有个别数据偏大或偏小时，平均数不能很好地代表该组数据的总体水平。
（出示幻灯片）
比如说， A和B两名歌手参加歌唱比赛，五名裁判根据演唱水平、情感表达、音准、舞台表现等一些评分标准打分，满分100分。选手A的得分在屏幕上已经显现了，选手B的得分如下：（停3秒），他们两人谁演唱的更好？我们来计算平均分，A选手的平均分为96.4分，B选手的平均分为97分。我们再来看中位数，A选手的中位数是97分，B选手的中位数是96.5分。这样到底谁更好？我们到底用哪个指标来判定是A选手优秀，还是B选手优秀？我们注意到，A选手中有一个93分，这个分值比较低，B选手中有一个100分，分值比较高。比赛中，由于这样的极端数据对平均数的大小存在影响，为了更好地反映选手的演唱水平，我们就去掉一个最高分，一个最低分。A选手去掉最高分98分，去掉最低分93分，A选手的平均分为97分，B选手去掉最高分100分，最低分95分，B选手的平均分为96.67分。而这时A选手的中位数还是97分，B选手的中位数也还是96.5分。显然，A选手的演唱水平更好。通过这个例子的讨论，我们可以使学生明白，一组数据中的极端值对平均数是有影响的。具有极端值的这组数据的平均数不能很好地反映这组数据的总体情况。
（幻灯片结束）
佟：总之，在小学阶段我们主要从以下几个方面帮助学生来认识平均数。
（出示幻灯片）
平均数它等于一组数据的总和除以一（这）组数据的个数；平均数是一个“虚拟”的数，在计算人数等实际生活中不能用小数表示的量的平均数时，可能会出现小数形式；计算平均数时，不能删除该组数据[资]（删除）资料中的零值资料；可以使用平均数来比较不同样本数的两组同类数据；可以使用部分数据的平均数来推测总体数据的情况。
佟：在教学中过程，老师们可以结合本地的实际情况选择合适的素材进行教学。（插入作业：甲说：一个家庭的平均人口数是3.16人。乙说：小明走一步的平均距离是51厘米。丙说：全班的平均身高是143厘米。丁说：春游每人平均分摊28元。谁的说法是平均数的概念？谁的说法是平均分的概念？怎样使学生了解使用平均数来做为一组数据的代表数是有必要的？ ）
第16讲
及学习内容的选择
王
江喻洪
江：传统的数学课程比较注重学科知识体系，而与学生的生活实际联系不够。几何、代数都是按着各自的学科体系以直线式的结构发展的，相互间的联系和综合应用不多。这在一定程度上造成了我们的学生强于基础而弱于应用，强于计算而弱于实践，强于应试而弱于创新。
王：为了改变这种现状，适应时代发展的要求，新《课标》增设了“实践与综合应用”版块,并将它和“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”并列为数学学习内容的4个领域。理解这一领域的教育价值、教学的内容与要求、学习的特点与评价等，对于有效地贯彻和实施《课标》是非常重要的。
江：那么，在新课程实施的第7个年头，“实践与综合应用”的实施情况如何呢？老师对“实践与综合应用”的态度怎样的呢？西南大学的硕士研究生唐艳专门对这个领域进行了科学的调查分析，下面我们现场连线唐艳，听听她的调查情况。
王：你好!唐艳。
案例16-1（唐艳
唐：王老师、江老师，你们好！
王：唐艳，请你把对“实践与综合应用”领域的调查研究情况给我们大家介绍介绍吧。
（幻灯片展示）
唐：好的。“实践与综合应用”于2001年首次进入我国小学数学教材，虽然已经实验了近7个年头，但是对其实验情况的相关研究还很少。进行“实践与综合应用”实验效果的调查研究是保证相应课程目标的落实并促进新一轮数学课程改革顺利实施的迫切需要。
通过问卷调查、课堂观察及深度访谈等方法，对重庆、四川、贵州等地的200多位小学数学教材实验教师进行了跟踪调查，对调查结果采用了定量统计与定性分析相结合的方式，得出如下结论。
大多数实验教师认为“实践与综合应用”的教学对学生数学学习方式的掌握、学习结果的习得、情感态度与价值观的形成以及整体发展都有良好的促进作用，并且看法比较一致。农村实验教师和城市实验教师的反应并无显著性差异，均认为实验效果较好。
但我们还应该看到的问题是，“实践与综合应用”的理念虽然已被广大教师所接受，绝大多数的学校和教师能保证教材中这一版块的教学，而且仅限于教学教材中的内容，但是教学的效果却是参差不齐的。普遍存在的问题有：师生互动方式单一，合作学习质量不高。另外，将数学“实践与综合应用”课堂演绎成“看图说话”或“资料汇报”的例子不在少数，缺乏数学味道的数学“实践与综合应用”的例子也较多，学生课前准备不足的问题时有发生。甚至还有极个别数学教师认为“实践与综合应用”上不上没关系。
特别是实验教师对“实践与综合应用”领域的教学还存在一些共同的困惑，如应当怎样选择学习内容？如何组织实施教学过程？在教学中如何把握学段目标等。
针对这些情况，我提出了以下建议：第一，教育专家注重“实践与综合应用”宏观层面理论研究的同时，应当更多地关注微观层面教学实践的研究；第二，当前针对“实践与综合应用”版块的教材培训应当更多地以教材内容、教学范例分析为重点，致力于真实有效地提高教师的教学认识和教学水平；第三，完善教材及配套资源库的建设，搭建教师资源共享的平台。
江：好,谢谢唐艳！从唐艳的调查中我们可以看出，“实践与综合应用”内容的编写与教学的成功之处在于，较好地体现了《课标》的理念和要求，实验效果非常好，对老师和学生的发展都有良好的促进作用，在农村和城市的实验效果并没有显著差异，有利于农村与城市的数学教学水平同步提高。
王：此外，教师的相关经验与“实践与综合应用”的教学组织有密切关系，已有相关经验的教师能更好地理解编写意图和进行教学组织。关于唐艳提到的“配套资源库建设”的问题，在这里我们也可以告诉大家一个好消息，那就是教育部专门为我们教师开发的课程资源包建设，已经把很多“实践与综合应用”的内容纳入到探究性学习的资源包里，通过教师在课堂上对资源包的合理使用，将大大提高“实践与综合应用”的教学效率。
江：那么 “实践与综合应用”到底该怎么上呢？
王：好，言归正传，我们今天就以几个教学案例作为切入点，从微观层面的教学实践出发，同大家一起聊一聊学习内容的选择、教学过程的组织实施和学段目标的具体要求这几个方面吧。
王：下面我们就从《合理存款》这个案例来看看学习内容的选择。案例一、从《合理存款》看学习内容的选择（字幕）
那么,老师们在“实践与综合应用”学习内容的选择上遇到过哪些棘手的问题呢？
江：我们大致梳理了一下,有这样几个问题。一是由于学生的基础不同，学习内容难以适合全部的学生。二是有些教学内容教师把握起来比较困难。三是由于缺乏配套资源，老师仅靠讲解，学生没有实践的机会，还是难以真正的理解。
王：是的，由于我国各地小学的师资、教学设施、学生基础、自然条件和民族习俗等因素存在巨大的差异，数学新课程中非常重要的“实践与综合应用”内容的教学往往变异为学生在老师引导下的看图说话，甚至被忽视。
江：那么如何利用教材上安排的活动内容，如何结合实际创造性地使用教材开展活动，是落实这个领域的关键，下面就谈几点建议。
王:首先是1.挖掘现实性素材，提倡生活数学 (字幕)
“实践与综合应用”的一个重要目标，是让学生体会数学与现实世界的联系，树立正确的数学观。
江：对的，生活中处处有数学，每个儿童在成长过程中都为数学学习积累了丰富的感性材料。现在，我们就一起来看一节人教版课标教材六年级上期的“实践与综合应用”的课例，是重庆市渝中区第二实验小学杨露老师执教的《合理存款》的教学片段。
案例16-2（重庆市渝中区第二实验小学
王:这节课的教学内容----存款，就是来源于我们的生活实际,而且正好是教材在百分数的认识这个知识点后的一节“实践与综合应用”课。学生从课上更多地接触到了实际生活中的百分数, 培养了孩子的理财观念,使他们终身受益,帮助学生认识到了数学应用的广泛性。杨老师的这三个教学片断就较好的体现了教学内容的现实性价值。
江：是的，为了使学生体会数学的文化价值和应用价值，我们在设计实践活动的时候，就应充分考虑学生的已有经验，让活动素材源于生活，让数学知识回归生活。
王:第二个建议是2.运用探究性素材，培养思维品质 (字幕)
“实践与综合应用”本质上还是一种解决问题的活动，在解决问题中发展数学思维、熏陶数学思想、提高数学素养，培养学生综合应用知识解决实际问题的能力。
江：下面,我们仍然以杨老师执教的《合理存款》为例，看看老师是怎样充分的运用课题的探究性素材的。
案例16-3（重庆市渝中区第二实验小学
王:在刚才的片断中,当老师提供了现实而有吸引力的学习背景后，就以探究为主线，围绕“如何使收益最大”这个问题把学生推到了学习的最前沿。老师让学生根据信息设计方案，并对方案进行预测、推断、筛选和验证，这些环节都体现了课堂中的探究元素。
江：而且,在问题的解决过程当中，学生尝试（寻找）“答案”的时候，老师不是简单地应用自己的已知信息，而是对信息进行加工，并且有机渗透了对最优方案的一种比选，对学生思维品质的发展起到了良好的促进作用。
王：由此我们可以看出，在活动中，教师应创设一定的问题情境，让课堂充满研讨、探究、思考的氛围，让学生通过独立思考、自主探索、合作交流，寻找解决问题的方法和策略，并会应用探究结论解决实际问题，从而发展学生的思维能力。那么，在学习内容的选择上，我们还应该注意些什么呢？
江:那就是3.捕获调查性素材，发挥实践活动的育人功能 (字幕)
数学调查是指学生在教师的指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定调查的专题，主动获得信息并作出决策的学习活动。
王：杨老师的这节课本有非常好的调查性素材，如在学生已了解了什么是本金、什么是利息、利率的前提下，调查最近一次国家利率的调整情况以及储蓄的种类及利弊等。但杨老师担心六年级学生学习任务重,操作起来有困难，如可能各银行之间的信息有差异，银行加息频繁、情况过于复杂等，因此将课前调查的环节省去，取而代之的是教师将自己的调查结果告诉给学生。我们一起来看看当时课堂的情况吧。
案例16-4（重庆市渝中区第二实验小学
江：在课后，我们和杨老师也交换了意见，认为“实践与综合应用”领域的活动就应该让学生亲历亲为，老师的顾虑和担心应该通过有序的教学设计得到解决，如提前在周末将调查任务可以布置给学生，学生也可以和同学结伴，也可以和父母在一起，到银行或者是通过网络调查等形式完成课前的一些信息收集。
王：那么面对众多的信息，教师还要筛选这些信息，缩小信息量并根据这些信息设计实践活动。既然实践活动是让学生了解不同存款方式的结果，那么对于存款方式只要涉及常见的就可以了，不要过多了。
江：杨老师后来也赞同大家的意见，于是重新设计了这个环节，布置了另一个教学班做了充分的准备。我们再一起来看看这个环节杨老师第二次重上时的情景。
案例16-5（重庆市渝中区第二实验小学
王：可以看出,经过改进，教师的意识到位，学生的活动充分，基本达到了预设的目的。并且,学生通过多种调查渠道，获得了人民币储蓄、教育储蓄和国债利率的相关规定，改变了学生单一的学习方式。
江：是的，学生在课内外结合的活动过程中，经历了收集相关信息、提出数学问题，用数学的方法分析、思考问题和解决问题的过程，学会了与人合作、与人交流,丰富了学生的情感体验,充分发挥了“实践与综合应用”的育人功能。
王：在学习内容的选择上，最后我们来谈谈4.提炼综合性素材,发展应用能力的问题。(字幕)
加强数学各部分内容间的联系，加强数学学科与其他学科的综合，发展学生综合应用的能力，是“实践与综合应用”的重要目标。
江：综合的实践内容为学生提供了发展机会，可以拓宽数学课堂教学的范围，大大超越以接受为主的内容活动范畴，促进学生知识、智能、情感、应用能力的协调发展。
王：杨老师这节课就是在学生完成了第六单元“百分数”的教学之后安排的，旨在让学生巩固对储蓄存款的认识，了解教育储蓄以及国债利率的有关知识，并综合运用这些相关知识解决实际问题。学生通过综合实践的体验，实实在在地体会到数学的本原，这是他们喜欢数学、了解数学和希望把握数学并应用数学的动力。因此，我们在活动的取材上应立足于综合，突出应用，着眼于发展。
江：杨老师的这一节《合理存款》是人教版教材提供的学习内容，这里还有一节教师自主开发的“实践与综合应用”的学习内容,我们一起来看一看。
案例16-6（重庆市人民小学
这节课是六年级总复习的尾声阶段，学生已经熟练掌握了有关分数、百分数应用题、利润、折扣、单价、均价、总价的计算方法以后，执教者以商场的促销为切入点，为学生搭建一个对前面知识进行综合应用的平台,继续看看实录片断。
案例16-7（重庆市人民小学
王：教师在自主开发学习内容的时候，正因为提炼了学习内容中的综合性素材，不仅使学生体会到数学知识在生活中的重要性，更培养了学生综合运用知识解决实际问题的能力。
江：综上所述，不管是教材提供的内容，还是自主开发的内容，捕获丰富多彩的活动素材是优化综合实践的前提。教师要善于使用教材，勇于开发素材，让学生在熟悉的环境中、现实的问题中、探索的学习中，感悟数学知识、发展解题策略、增强应用意识、锤炼思维品质和提高实践能力。
王：为真正培养学生的数学应用能力，进而顺利实现数学课程标准的目标，还需要广大数学教师在数学教学中结合教学实际，综合考虑学生基础、自然资源、教学硬件和民风民俗等，选取合适的题材，对教材内容进行改造。也只有这样才能使小学阶段数学“实践与综合应用”的教学得到顺利的进行。
江：那么，要使小学数学“实践与综合应用”得到良好的实施，教学内容改造时可以选取哪些题材呢？根据对近年来我国数学教育工作者对小学数学“实践与综合应用”相关研究的整理、对小学数学教师的访谈，以及对小学数学“实践与综合应用”教学活动的观摩，我们总结出以下小学“实践与综合应用”教学内容选取时可以考虑的4个系列题材，并对其内容设计和使用范围做一个简要的介绍。
（灯片展示）
王：第一，校园活动系列
1.校园环境测量。让学生运用所学知识对校园内的设施、设备等进行估计和测量，如：课桌、黑板、教室的长度、高度、周长和面积，建筑物的间距等，本题材适合于中、低年级。
2.学校运动会。学生可以进行学校运动会各单项成绩的测量与统计，计算各班总得分等。本题材适合于中、低年级。
3.同样是学校运动会。由学生进行比赛人员安排、赛程设计以及奖品设计和经费预算等。本题材适合于高年级。
4.节日活动设计。学生对节日的娱乐节目进行安排，设计详细的活动时间表，购物计划和经费预算等。本题材适合于中、高年级。
5.班费的管理。学生对班费的使用情况进行调查、统计，做相应的思考，怎样合理使用班费。本题材适合于中、低年级。
6.丰富的课余生活。对学生在学校的课余生活现状进行调查统计，给出相应建议。本题材适合中、低年级。
7.美化我们的小天地。学生对教室环境进行美化，设计图案、布局、装饰品购买等，进行经费预算。本题材适合中、高年级。
江：第二，自然环境系列
1.环保小卫士。学生对某一区域进行环保维护活动，比如对捡垃圾、植树等的人员进行统计、分工并进行活动设计等。本题材适合中、低年级。
2.污染调查行动。学生对附近的污染源进行调查和统计，了解其危害程度，进而提出建议。本题材适合中、高年级。
3.家乡的资源：学生对家乡的本土资源进行调查，通过各种方式了解相关的信息。本题材适合中、高年级。
4.郊游：学生设计一次郊游的时间安排、租车（船）计划和必需品采购计划等,经历发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的过程。本题材适合低、中、高年级。
王：第三，社区实践系列
这个系列我们建议从以下3个方面考虑。
1.赶场（或超市购物）。学生在购买学习和生活必需品的活动中，运用数学知识解决简单的实际问题。本题材适合中、低年级。
2.丰收。参加一次农作物的收获过程，进行统计，设计分工情况，估计产量与收益等。本题材适合中、低年级
3.粒粒皆辛苦。调查、估计平均每人每年消耗多少食品,包括大米、肉、面粉、鸡蛋、食用油等，与发达国家比较，再与贫穷地区比较，进行数学思考。本题材适合中、高年级。
江：第四，家庭生活系列
1.做家庭年历。登记家庭大事和其他重要事件的日期,并制作年历，营造和睦温馨的家庭氛围。本题材适合中、低年级。
2.小当家。学生通过当家过程中的购买计划，亲历家庭财务收支过程，初步感受统筹安排。根据学习当家时间长短和具体内容，可分别适合高、中、低年级。
3.食品安全。学生调查了解一些常用食品的营养成分，并分析它对身体的影响。本题材适合高年级。
4.节约能源。了解自己家一个季度的用电、用水、用气等情况，制作统计图表，结合能源紧张的现状以及不同价格不同规定提出相应建议。本题材适合中、高年级。
王：以上列出的题材仅仅是抛砖引玉，一线教师应根据实际情况，创生出更多、更好的适合“实践与综合应用”教学的题材。这一讲就到这里，谢谢大家。
第17讲
组织与实施
主讲：王
江喻洪
案例17-1
江：看了刚才的这个案例，王老师有什么想法？
王：这节课从教学结构来看,层次清楚，而且有条理。比较好地完成了预设的教学目标，学生掌握了植树问题的基本特点，能够解决相应的习题。但是这节课也比较客观地反映了目前 “实践与综合应用”的教学现状,如学习方式相对单一，教师用讲解的方式代替了学生的自主学习，学生仅仅掌握了知识，不利于学生学习能力的发展。这种学习方式的选择有悖于“实践与综合应用”领域在学习方式选择上的初衷。
江：确实是这样,究其原因是对“实践与综合应用”的价值理解不到位。在现实教学中，有的老师简单地把“实践与综合应用”的教学简化为数学知识的教学，偏重于学生解决类似的习题。这样理解“实践与综合应用”的学习内容，必然地在学习方式的选择上，会以教师为绝对的主体，学生成为配角。
王：比如在刚才的案例中，老师就选择了这样的方式来组织和实施教学。这样的教学对掌握植树问题知识而言，无疑是非常有效的，学生很快就知道了植树问题的基本特点，并能解决相应的习题。但这个目标的确定还比较浅层次，这并不是本节课最重要的价值。
江:是的,在教材当中“实践与综合应用”的教学内容较多的是以数学知识为载体，强调“实践”与“综合应用”。但无论是“实践”还是“综合应用”，都要加强学生的动手实践、自主探索、合作交流，主动进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流。
王：那么，“实践与综合应用”到底应该选择怎样的学习方式呢？什么样的学习方式更有利于学生学习能力的发展呢？简单地讲，就是新课程理念所倡导的：动手实践、自主探索、合作交流。我们再来看看由重庆市渝中区实验一小杨承石老师执教的另一节“植树问题”案例吧。
案例17-2（重庆市渝中区第一实验小学 杨承石）（字幕）
江：看了这个相同内容教学案例的前半段，我的总体感受是：探究中蕴涵智慧。那么教师的智慧在哪里呢？首先是价值目标的定位上，教师并没有把会做植树问题的习题作为单一的目标，而是把数学思想和方法的渗透作为更重要的教学内容。其次在学习方式的选择上，老师选择动手实践、自主探索的学习方式，引导学生独立思考，自己动手画线段图，自己去探究植树问题的基本特点和结构要素。
王：教师让学生经历合理猜测----画图验证----寻求规律-----解决问题的学习过程，在这个过程中，教师通过很多具体的措施让学生体验、感悟数学思想和方法，经历科学解决问题的历程。
江：确实是这样，杨老师这一节《植树问题》立意很高，在引导学生经历学习的过程中，符合科学的逻辑。比如在充分理解信息的基础上进行猜测，再由算式中的共同点100÷5来引发思考，进而启迪思维：用什么方法来找一找间距和棵数之间的关系？为学生找到科学的解决问题的办法指明了方向。
王：需要指出的是，在动手实践、自主探索的基础上，学生的数学思维能力得到了很好的锻炼和发展，数学思想和方法的感悟也有深切的体验。如何让实践和探索的过程中产生的思维火花进行碰撞，互为补充、互为完善、互为启迪，“合作交流”则是必不可少的补充学习方式。我们再一起看看杨老师是怎么做的吧。
案例17-3（重庆市渝中区第一实验小学 杨承石）（字幕）
江：这两个环节也是杨老师的智慧所在：即引导学生进行数学交流和反思回顾探究的历程。数学交流的核心是什么？那就是引导学生用准确的数学语言准确地表达自己的数学思维。实现这个目标需要学习和锻炼，也需要老师的点拨和引导。
王：但在全班交流中，有两个现象值得我们注意，一是学生总是习惯把自己的交流对象只确定为教师；二是学生总是习惯听老师对某一问题的解释，而忽视同学的阐述。这不仅偏离了讨论交流的要义，还会对课堂氛围造成极大的干扰。
江：对此呢，教师要有意识培养学生“三会”的能力：第一是会倾听，仔细聆听同学的发言，不随便打断别人的发言，努力了解别人发言的要点。二是学会质疑，在同学发言完毕，对听不懂的问题或者是关键问题要求对方作进一步的解释。三是学会评价，对别人的发言能作出好与差的评价，并能够说明其中的原因。
王：是啊，这样在讨论中通过教师引导学生对其他小组的意见进行比较、评价，发现差异，形成争辩，互相完善，也使得学生对问题的认识更加深刻。同时，教师要在交流中引导学生学会理解他人，尊重他人，共享他人的思维方法和思维成果。只有这样，才能调动学生思维，使其积极参与讨论之中，避免上述两种现象的产生。
江：在这段案例当中，反思和回顾探究的历程也非常有价值。这样做的目的体现了教师意识的转变。通过回忆探究的历程，有助于强化学生对科学解决问题的探究体验，进一步强化数学思想和方法的体会，让这种思想和方法逐步扎根。长此以往，学生在数学思想和方法方面就会得到更大的发展。
王：这节课还有一个亮点，我们还是一起来看看视频吧。
案例17-4（重庆市渝中区第一实验小学 杨承石）（字幕）
江：这段教学非常有味道，拓展了学生的数学思维，用植树问题的思想同化生活中其他具有植树问题特征的现象，达到对知识以及数学思想和方法的迁移。特别是最后告诉学生的话，也使探究性学习方式的价值升华，数学的魅力尽显无疑。
王：这节课给我们提供了一个比较好的范例，在教师角色的转变上、目标价值的定位上、在学生学习方式的选择上、在课堂目标的达成上都给我们以很好的示范。同样的一节课，由于我们的定位不同、采取的学习方式不同，学生获得的发展是有天壤之别的。让我们再听一听执教教师的反思，来体验一个执教者的思考吧。
案例17-5（重庆市渝中区第一实验小学 杨承石）（字幕）
执教者：我执教的四下数学广角为植树问题的第一课时，也就是植树问题中两端要栽的情况。植树问题是实验教材的新增内容，关于植树问题的学习和教学处在探索阶段。所以解析教材、理解编者用意、分析学生的实际情况显得尤为重要。本课对于知识的掌握无疑是个很大的难点，理应摆在第一位，大多数老师也是这样做的。然而我通过对教材的分析及编者用意的揣摩认为本课的重点应该摆在学习思想方法上。因为一个好的方法可以让学生受益终身。为此我的课堂设计重点一摆在让学生对疑问历经合理猜测----画图验证----寻求规律-----解决问题这四个过程，让学生在锁定正确（答案）的同时更多的体会锁定答案的过程，让学生在脑海中初步建立解决问题的模型。重点二让学生感受线段图的作用，学会和线段图交上朋友。当然此课的教学也存在一些困难，就是知识的本身具有较大的难度。学生的解题能力还待加以巩固，所以在习题的设计上以学生实际出发，不追求难，不刻意提高对学生要求，重在方法的梳理和总结。
人教版课标教材较之老教材有不少新增内容，其中多数集中在数学广角。我想新内容的安排和新版块的设立目的是拓展学生知识面、发展学生思维能力、培育学生数学学习的思想方法。
总之通过此课教学自己感受到教给学生好的学习方法是多么的重要。也会感受到学生历经探索过程是如此的愉快。数学的课堂也会如此的美妙。
江：这节课之所以如此生动，如此深刻，就在于杨教师在较高的价值定位的基础上选择了“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式，让学生自己去发现问题，研究问题和归纳问题，自己去探究其中的规律，体会其中的数学思想和方法，从而解决问题。
王：以上两个案例对比可以看出：在“实践与综合应用”的教学中，在准确定位其价值的基础上，学生的学习方式选择是达成价值实现的关键所在。
江：“实践与综合应用”的学习方式应该充分地以学生为主体，具体来讲，就是让学生动手“做数学”。要让学生在教师的指导下自主地去研究问题，去体验动手做数学的整个过程，在这个过程中去体验科学的方法、数学思想和成功的喜悦,这才是“实践与综合应用”的现实价值。
王：所以，在选择学习方式时，老师们要注意以下的问题。
（幻灯片展示）
王：一、充分发挥学生的主体性,这是学习方式选择的前提。
在指导思想上，让学生真正成为学习的主人，给学生时间、空间，让学生动手实践、自主探索、合作交流。
江：第二、要关注学生的学习过程,这是习方式选择的关键。
在具体的方式选择上，要有利于学生经历知识的产生、形成过程，强调学生对学习方法、思维方法、学习态度的培养，发展学生的学习能力。
王：三、评价应以“质”的评价为主——学习方式价值实现的保证。
在促进学生发展上，评价的方式虽然多样，但应关注“质”的评价。如能否主动运用数学知识描述并解决实际问题；是否善于运用多种方法；对结果有无反思的习惯；是否积极参与探究和交流等。
江：从刚才的第二个案例中，我们还应该注意到，教师的目标价值定位、学习方式选择之所以能够获得成功，还依附于教师深厚的教学功力，对课堂的组织驾驭、对学生的点拨引导、对学生的评价激励等等，整个课堂简约而不简单，随性而不随意。
王：在现实教学中，教师设置问题的能力、调动学生情绪的能力、点拨引导的能力、对生成信息价值的把握能力，学生小组合作的能力、数学交流能力、讨论的能力等等，也是影响和左右我们选择动手实践、自主探索、合作交流等学习方式的重要原因。
江：确实如此，探究性的学习方式对教师的课堂实施能力和学生的学习能力都提出了更高的要求。在这个问题上，老师必须直面它，而不是回避它。越是欠缺越是需要改变，也许开始会影响课时内容的教学任务，影响课时教学的效率，但是从长期的观点来看，只有通过平时教学不断的实践，在实践中不断的积累升华，我们的实施能力才会提高，学生的学习能力才会发展，探究性学习方式的应用才会进入良性发展的轨道。这一讲就到这里，谢谢大家。
第18讲
主讲：王
江喻洪
案例18-1（上海市徐汇区东二小学 吴晞）（字幕）
江：看了这个案例，给我最深的感受是,教师把生活和数学巧妙地结合起来,以活动为主线来组织学习，学生在活动中自己掌握了概念的内涵，有利于知识的自我建构。
王：这个案例是第一学段的内容,它充分地体现了第一学段“实践与综合应用”领域的基本要求。那么在第一学段，“实践与综合应用”应该体现怎样的学段要求呢？数学课程标准比较详细地从三个方面给我们进行了论述：
（幻灯片出示）
1.经历观察、操作、实验、调查、推理等实践活动；在合作与交流的过程中，获得良好的情感体验。
2.获得一些初步的数学活动经验，能够运用所学的知识和方法解决简单问题。
3.感受数学在日常生活中的作用。
江：在第一学段“实践与综合应用”学段目标的具体论述中，主题词是：实践活动。另外有三组关键词：第一，经历实践活动——获得良好体验；第二，获得——数学经验；第三，感受——生活中的作用。换句话讲，我们在组织第一学段综合实践活动内容的时候，要以学生的实践活动为核心，来达成以上三个方面的目标。
王：那么，这些目标究竟怎样达成呢？“折一折，剪一剪”就为我们提供了比较好的示范。一是“经历实践活动，获得情感体验”。数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。对于小学二年级的学生而言，“对称”是比较抽象的概念，这就需要通过大量学生感兴趣的活动来激发他们的学习热情，帮助他们逐步理解简单的轴对称图形。
江：所以，本节课教师把教学重点确定为在活动中理解简单的轴对称图形，获得积极参与实践的情感体验。通过大量学生感兴趣的活动来激发他们的学习热情，让学生参与“剪一剪”、“折一折”、 “画一画”等实践活动，获得了成功的情感体验。
王：在“获得数学活动经验”方面,著名课程改革专家孔企平博士在《儿童怎样学数学》一书中曾说:从学习是一种建构活动的观点出发，小学生学习数学有四个基本特点,即“经验的数学、活动的数学、思考的数学、再创造的数学”。说明让学生经历数学活动、获得数学经验是多么的重要。让我们再往下接着观看教学案例吧。
案例18-2（上海市徐汇区东二小学 吴晞）（字幕）
江：学生学习知识不是一个简单的接受过程，而是一个发现的过程，一个创造的过程，只有通过自己的实践、比较、思索和发现，才能真正对学习内容产生兴趣，进而领悟、内化为自己所有。在本节课中，怎样画对称轴？有几条对称轴？是教学的难点。这个难点教师是如何突破的呢？
王:对,教师让学生“画一画”、“折一折”、“说一说”，开展了大量的实践活动，把数学学习转变为一种活动，使学生获得了数学活动的经验，并从活动中感悟到对称轴的特点，获得了方法，既发展了学生的空间观念，还激发了学生自主探究的欲望，培养了学生的创新意识。
江：第一学段第三个具体目标是“感受数学在生活中的作用”。在本课例中，老师让学生欣赏生活中的对称图形，剪一剪轴对称图形,课后让学生找一找生活中的轴对称图形,充分调动了学生学习的积极性和主动性，激发了学生的学习兴趣，让学生体会到“对称”与日常生活的密切联系。让我们再来看一看实录片断。
案例18-3（上海市徐汇区东二小学 吴晞）（字幕）
王:是啊,数学知识源于生活，又应用于生活，整堂课很好的把所学知识与生活实际紧密联系，不仅激活了学生的思维，而且让学生体会到生活中处处有数学，极大地提高学生学习数学的兴趣。
江：在这里呢，还要特别提醒广大教师，“实践与综合应用”第一学段中必须牢牢抓住“实践性”这一本质特征,充分创设贴切的数学学习活动。这里的贴切，一是指贴近学生的学习生活，二是切合学生实际。让学生动手做、动眼看、动脑想，调动学生的多种感知参与学习，来获得数学学习的经验，这既符合学生的学习心理，又符合学生的认知规律。这一个过程既是开展数学活动的过程，也是学习数学知识的过程，更是发展学生数学学习能力的过程，这也是数学的魅力所在。
王：刚才我们一起探讨了“实践与综合应用”第一学段的具体要求。那么，在第二学段“实践与综合应用”的要求又是什么呢？我们还是先看一个课例，由重庆市彭水县汉葭镇第三小学黎庆老师执教的人教版五年级下册《粉刷围墙》。
案例18-4（重庆市彭水县汉葭镇第三小学
江：这个课例是第二学段的教学内容，教材这样编排学习内容，就是要充分体现“实践与综合应用”在第二学段的学段要求。主要有以下三点。
（幻灯片出示）
1、有综合运用数与运算空间与图形、统计与概率等相关知识解决一些简单实际问题的成功体验，初步树立运用数学解决问题的自信心。
2、获得综合运用所学知识解决简单实际问题的活动经验和方法。
3、初步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用。
王：看来,第二学段“实践与综合应用”的核心还在“综合应用”上，《粉刷围墙》这节课就是通过这一主题实践活动，将数与运算、空间与图形、解决问题的策略组织在一块，强调知识的综合运用。让学生获得解决问题的经验和方法，感受数学知识间的相互联系，并在解决问题的过程中获得运用数学知识解决实际问题的成功感和自信心。
江：在新的数学课程标准修订稿中，提出了关注“四基两能”。“四基”，也就是基础知识、基本技能、基本数学思想和方法、基本数学活动经验。“两能”是指发现问题和提出问题的能力，分析问题和解决问题的能力。很明显，“实践与综合应用”第二学段的要求是和这一思想是相吻合的。
王：这个变化老师们要高度重视，它将引发数学教学思想的变化。我们的关注点变了，学生的发展点也随之变化。在以往学生解决问题的过程中，都是教师把解决问题的条件甚至思考方向都铺垫好了，学生只做一些简单的思考，再加简单的计算就行了，缺乏思维决策的锻炼，这对学生发现问题和提出问题，分析问题和解决问题能力的培养是有欠缺的。
江：作为教师应该有这样一种认识，学生从自己的头脑中搜索有价值的数学知识储备，并对这些知识储备进行筛选和取舍,这是一种重要的能力。换句话讲，这就是学生分析问题和解决问题的能力，这种能力是需要培养的，这也是在第二学段“综合应用”中必须把握的准则。
王：在刚才这个案例片段中，我们可以看出，老师正是在这样的意识引导下按“确定需要做的工作——收集相关信息——整理、分析、比较信息——制定粉刷方案”来组织课堂的实施，让学生根据实际情况搜索所学的知识，筛选所学的知识，从而为制定切实可行的粉刷方案打下基础。
江：在“综合应用”当中，必然涉及到解决问题策略的多样化，面对这个问题我们怎么办呢？我们先来看看老师是怎样处理的。
案例18-5（重庆市彭水县汉葭镇第三小学
江：很明显，由于每个人的关注点不同，生活经验不同，面对同样的问题会有不同的思考，产生不同的价值取舍，因而形成不同的解决问题的策略。本案例中也有充分的体现。
王：这些解决问题的策略很多时候无所谓优劣，但都是基于解决实际问题中的不同出发点，可以给学生提供更多的思考方向，并进行比较和甄别，也是对自我解决问题策略的评估和矫正，有利于解决问题策略的优化。
江：还有一点需要指出，在第二学段的“实践与综合应用”中，教师要加强教学资源的开发，尝试一些短周期的数学小课题研究，更加凸显其“综合应用”特点。只要我们坚持，课程标准修订稿中所提到的学生的“两能”也将会得到很好的发展。
王：从刚才的两个案例可以看出，“实践与综合应用”领域的要求随着学生学习生活的空间的拓展而拓展，随着学生知识、能力的提高而提高，体现出明显的层次性。即使是在同一学段，也因年级的不同而存在差别。我们在安排“实践与综合应用”的内容时，无论是教材内容，还是自主开发的内容，都要充分根据其学段要求的不同来组织和实施，体现其各自的价值。
江：总之呢，“实践与综合应用”是充满着探索性、实践性和应用性的一类学习活动，它为学生学会独立探索提供了广阔的天空，同时也向教育工作者原有的知识观、教学观、评价观提出了挑战。理解和把握这个领域，对数学课程的发展和数学教学的改革非常重要。
王：同时，“实践与综合应用”活动也是展示教师创造的舞台，为教师施展自己的才能、开展教学研究提供了机会和平台，为了让大家能更好地理解这三讲的内容，我们设计了如下的作业。（作业灯片或作业思考题）
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