加载中…“怪圈”莫比乌斯环
(2021-01-02 22:06:54)
莫比乌斯环的发现
一张四边形纸条有几条边，几个面？容易知道，有4条边，2个面。能否将它变成2条边，2个面呢？容易做到，只要将它卷成一个圆柱形即可。怎么判断是两个面？只要用一种颜色的绘笔，在纸圈上的一面涂抹，涂完一个面后，提笔才能重新涂另一个面。边也一样。 
提问：能否将它变成1条边，1个面呢？也就是说，能否用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，把整个纸圈全部抹成这种颜色而不留下任何空白？关于这个问题，很多数学家都有过思考。
莫比乌斯（Moebius，1790～1868）在研究“四色定理”时，也对此发生了浓厚兴趣。他长时间专心思索、试验，毫无结果。
1858年的一天，他被这个问题弄得头昏脑涨，便到野外散步。野外那新鲜的空气和清凉的风使他顿感轻松，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿，就连一片片肥大的玉米叶子，在他眼里都变成了“绿色的纸条儿”。他不由自主地蹲下来，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿。他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈！
莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了特殊的纸圈儿。接着，莫比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”就这样有意无意间，莫比乌斯发现了三维欧几里德空间中的一种奇特的二维单面环状结构——后人称之为莫比乌斯环(Mobius
strip)。 奇特的莫比乌斯环如莫比乌斯所做，只要将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端CD扭转180度后，把AB和DC粘合在一起就可得到一条莫比乌斯环。
莫比乌斯环的重要特性是：虽然在每个局部都可以说正面、反面，但整体上不能分隔成正面和反面，即 这种曲面是只有一个面的 “单侧曲面”。
若在这样的二维世界里行走，不用绕过边界就可以走遍整个世界。若是用一支笔沿着边界涂色，不用提笔就可以涂遍整个边界，就是说它也是一个只有一条边界的曲面。
实验结果： 如果沿着莫比乌斯环中间剪开，和一般的纸带（会分成断开的两条环）不一样，会形成一个比原来的莫比乌斯环周长大一倍、把纸带的端头扭转了四次再粘合一起的环。
若在莫比乌斯环的三等分处画一条线，用剪刀沿着这条线剪开，将会得到什么呢？
实验结果： 如果沿着莫比乌斯环三等分处剪开，剪刀绕两个圈竟又回到原出发点，这时会形成两条带子，其中一条和原来的周长一样长，另一条则比原来的莫比乌斯环周长大一倍，而且两条是套在一起的。
若在莫比乌斯环的四等分处画一条线，用剪刀沿着这条线剪开，将会得到什么呢？
实验结果： 如果沿着莫比乌斯环四等分处剪开，这时会形成两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍的带子，而且两条是套在一起的。
若在莫比乌斯环的五等分处画一条线，用剪刀沿着这条线剪开，将会得到什么呢？
实验结果： 如果沿着莫比乌斯环五等分处剪开，这时会形成三条带子，两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍的带子，另一条则和原来的周长一样长，而且三条套在一起。
由此规律，你能得出什么结论呢？ 生活、艺术中的莫比乌斯环莫比乌斯环看起来似乎不过是数学中意外发现的一个新奇玩具。其实，这个“怪圈”远非数学中的一个拓扑游戏，它更因其所具有的特性和内在意义，被大量运用于生活和艺术设计中。莫比乌斯环传动带普通传动带有两个面，只用到一面，而以莫比乌斯环做传动带，因它只有一面,
损耗较平均，从而可延长使用寿命，提高利用效率。另外，针式打印机中的色带，为充分利用其表面，常被设计成莫比乌斯环。再如，音乐磁带中莫比乌斯圈的运用，可以加大磁带的信息承载量。莫比乌斯圈过山车“加强版”的云霄飞车，它的轨道被设计成一个莫比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。相信，定然很刺激。莫比乌斯环标志莫比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。微处理器厂商Power
Architecture的商标就是一条莫比乌斯圈，Power
Architecture技术是一个主流平台，被广泛应用于包括汽车控制、远程通讯、无线和有线基础架构、企业网络、服务器和数字家庭。
埃舍尔《莫比乌斯带》系列作品在所有莫比乌斯环的艺术作品中，荷兰的图形艺术家M.C.埃舍尔（M. C. Escher，1898～1972）的《莫比乌斯带》系列最能表现莫比乌斯环的生动形象，同时也是最具震撼力的作品。
另外，针式打印机中的色带，为充分利用其表面，常被设计成莫比乌斯环。再如，音乐磁带中莫比乌斯圈的运用，可以加大磁带的信息承载量。莫比乌斯圈过山车“加强版”的云霄飞车，它的轨道被设计成一个莫比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。相信，定然很刺激。莫比乌斯环标志莫比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。微处理器厂商Power
Architecture的商标就是一条莫比乌斯圈，Power
Architecture技术是一个主流平台，被广泛应用于包括汽车控制、远程通讯、无线和有线基础架构、企业网络、服务器和数字家庭。埃舍尔《莫比乌斯带》系列作品在所有莫比乌斯环的艺术作品中，荷兰的图形艺术家M.C.埃舍尔（M. C. Escher，1898～1972）的《莫比乌斯带》系列最能表现莫比乌斯环的生动形象，同时也是最具震撼力的作品。
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