小学数学中的抽象与推理

东北师范大学    史宁中

一、数学的基本思想

1、  课程标准：由双基到四基（实现教育理念的转变）

过去的教育理念：以知识为本

教学大纲

关心问题是：应当教哪些内容；应当教到什么程度

考核内容是：规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求

教学目标是：基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆）

基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）

教学形式是：课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）

现代的教育理念：以人为本、育人为本（刚要）

课程标准

以学生的发展为本

人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法

不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能

还要培养学生的数学素养（素质教育）：让学生感悟数学的基本思想

积累基本活动经验：会想问题、会做事情

课程目标：基础知识、基本技能+基本思想、基本活动经验

分析问题、解决问题+发现问题、提出问题

2、  什么是数学的基本思想

数学是研究数量关系和空间形式的科学

研究对象：数量、图形

研究内容：数量关系、图形关系

数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想

学习过数学与没有学习数学的思维差异

抽象、推理、模型

数学教学的责任：会抽象、会推理

通过抽象：现实——数学

把研究对象、以及对象之间的关系形成概念

从现实世界到数学内部，数学具有一般性

通过推理：数学——数学

从假设前提出发，通过推理得到数学的结果

数学内容部的发展，数学具有逻辑性

通过模型：数学——现实

解决现实世界中的与数量和图形有关的问题

从数学内部到先生生活中的例子

二、小学数学中的抽象

数学思想：抽象、推理、模型（不是知识，不靠讲解靠感悟）

教学要点：感悟什么？如何感悟？

抽象有两种方法：对应、定义

数是对数量的抽象，

同时抽象出关系，从数量的多少到数的大小。

对应：三个苹果，三只鸡——□□□——3（去掉物理属性）

定义：一个一个多起来（后继数）

[S1] 1=0+1,2=1+1,3=2+1,4=3+1……

小学阶段的数学教育：

开始用对应的方法，以后用定义方法

对应：负数[S2] 量相等，意义相反

不能用数轴解释、最好不用减法或相反数解释

定义：如何认识10000：比999多1，

数的运算

与数的抽象一样，有两种方法表示加法：对应、定义。

定义：□□□       □     3+1=4？

4＝3＋1

3＋1＝4

对应：□□□              □□□□      哪边多

□□□     □       □□□□      哪边多？

点、线、面的抽象

0维是点、1维是线、2维是面、3维是体。

日常生活看到的集合图形都是三维的，点线面是抽象的。

角的抽象：角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

称下面的图形为角。角是由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。

几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力

抽象的小结

抽象出数学研究的对象：

把外部世界的数量和数量关系、图形与图形关系引导数学内部。

概念：日然数、负数、点、线、面、体、角

关系：（代数）数的大小关系，（几何）两点决定一条直线

法则：加法        减法、乘法、除法

抽象的东西部存在：现实中没有2，只有2匹马等

三、小学数学中的推理

推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理

数学的结论都是命题

数学命题：可供正确或者错误判断的陈述

可以判断，下面陈述不是数学命题

这个三角形是美的

仅供判断，下面两个陈述都是数学命题

三角形内角和180度

三角形内角和120度

直接推理

逻辑推理

命题的内涵之间存在一条主线

凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。

非逻辑推理

命题的内涵之间不存在一条主线

苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道。

两种逻辑推理

演绎推理：命题内涵由大到小。从一般到特殊。

归纳推理：命题内涵有小到大。从特殊到一般。

演绎推理

演绎推理需要前提：公理或者假设。

“数与代数”演绎推理的前提

命题1等式（不等式）关系具有传递性。

a＝b（a＞b），b＝c（a＞b）

a＝c

命题2等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。

a＝b（a＞b）

a＋c＝b＋c（a＋c＞b＋c）

a－c＝b－c（a＋c＞b－c）

加上一个比正数比原来的数大。

符号表示：对于任意的数a和正数b，有a＋b＞a。

因为b为正数，所以

b＞0

在上面不等式的两边分别加上a，由命题2得到

a＋b＞a

结论成立。

利用类似的方法可以证明对称命题；

加上一个负数比原来的数小。

演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。

归纳推理

归纳推理需要前提：经验或者想象。

经验：从个别到一般，从具体到符号。

加法交换律

3＋5＝8,5＋3＝8,3＋5＝5＋3

……

发现规律

探究成因（混合运算：先算括号、先乘除后加减）

为什么？举例说明

（3＋2）×6＝5×6＝30

3＋2×6＝3＋12＝15

上：一队同学，每排3名女生，2名男生，共6排，问有多少学生。

下：在操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排，问现在操场上有多少同学。

现在同学数＝原来同学数＋后来同学数

＝3＋2×6

混合运算讲两个以上的故事。

除分数等于乘这个分数的倒数。为什么？

有鹅4只，是鸭子的三分之一，问有几只鸭子？

教学目的：4÷1/3＝4×3＝12

为什么用除法：有鹅4只，是鸭子的2倍，问有几只鸭子？

 

为什么乘倒数：破题，解释什么是1/3

1只鹅对应3只鸭子，2只鹅对应6只鸭子，3只鹅对应9只鸭子，所以：4只鹅对应12只鸭子。

4÷1/3＝？

？×1/3＝4

两边同时×3变成了，？×1/3×3＝4×3

所以，？×1＝4×3

？＝12

模型

抽象：把现实世界（数量、图形、关系）引到数学。

推理：数学内部的发展。

模型：从数学回归到现实世界。

模型是沟通数学与现实世界的桥梁。

模型讲述的是现实世界的故事。

课标中主要要求两个模型

总量模型（加法模型）：总量＝部分＋部分

部分＝总量－部分

路程模型（乘法模型）：路程＝速度×时间

速度＝路程÷时间

 [S1]三年级之前讲对应的方法，用图形的方法让学生理解抽象，四五年级开始讲对应的方法，讲解万的知识，十个1000是万，为什么呢，西方人说是十千，都是人为规定。

 [S2]最早在九章算术里提到的，汉朝有人做买卖，卖牛的钱收入24，卖羊收入25，买猪收入39，