一、对《重叠》进行反思与解读

1.对于老师呈现出来的数学问题，学生首先想到列式解决。

而吴老师提倡先用画草图方式解决。

画线段图出错，可以调整。让学生自己去调整，目的让学生在调整时，提升自己的能力。

2.吴老师提出了什么是活动经验，怎样给学生打上烙印？

数学活动经验的积累过程是学生主动探索的过程，小学生的数学活动经验是学生个人经验中的重要组成部分,是学生学习数学、提高数学素养的重要基础之一。

3.数学家波利亚解题四部曲：

波利亚，美籍匈牙利数学家。波利亚在《怎样解题》中提出了解题的四部曲：弄清题意——拟定计划——执行计划——回顾检查。关于解题的理论和应用研究受到大家的广泛关注。在解题中“回顾检查”即反思。学生解题是为了学解题，而学解题主要是从反思中学习。关于反思已经受到了数学教育研究者和数学教师的重视。波利亚在《怎样解题》中提出了“回顾说”。

4.集合思想与分类思想

分类思想

分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

集合思想:

把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.通俗地说就是:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。

集合思想的特征:

（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了。 就是说按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素一定是不同的。 即集合中的元素没有重复。

（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序。

根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：

（1）把不含任何元素的集合叫做空集。

（2）含有有限个元素的集合叫做有限集。

（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集。

集合的表现形式：列举法；框图法；描述法。

比如:能被2整除的数为一个集合。

集合的基础是分类。

你是你，我是我，并集 “+”

你中有我，我中有你，交集

你中全部有我 ，子集与母集关系。

5.用数学故事去帮助学生理解抽象的数学问题。

讲课用聊天的方式，多看看央视谈话类节目，学会交流，学会聊天。

二、新修订的课程标准主要的变化有以下几点：

1.双基教学变为四基教学。

双基教学是指基础知识与基本技能的教学，四基教学是指基础知识、基本技能、基本数学思想与方法、基本的数学活动经验。新课标关于四基教学是这样表述的：“数学教学应该是从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分从事数学活动与交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，同时获得广泛的数学活动经验，成为学习数学的主人。

2.教师的三个基本能力

《人民教育》从第18期开始连续刊载了南京大学哲学系郑毓信教授的文章，郑毓信教授认为数学教师的“数学教育”能力既不能等同于“教育”，也不能等同于“数学”，或者是两者的简单组合，而是一种特殊的能力。郑毓信教授提出了数学教师的三个基本功，即善于举例、善于提问、恰当处理多元化与优化的关系。

首先是善于举例。善于举例可以帮助学生理解并掌握抽象的数学概念和数学理论，因为数学的抽象性特征决定了善于举例的重要性，但是善于举例不是简单的举出例子就行，而是要考虑举出的例子要恰当。

3.数学课程标准（2011版）十大核心概念

包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。

1．数感

数感在实验稿里边就提出来，在修订稿里边又进一步明确了数感的含义。在这里边，有这样两句话，来帮助理解数感。数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。这是一层含义，是一种感悟，对那些数量、数量关系和估算结果的估计这种感悟。然后第二句话的含义是建立数感，有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。这两层意思都是数感，什么是数感？数感是一种感悟，是对数量、对数量关系结果估计的感悟；第二层意思就是数感的功能。学习数学是要会去思考问题，一个本质的问题就是要建立数学思想，而数学思想一个核心就是抽象，而对数的抽象认识，又是最基本。

数感的学习，其实是和数的抽象，数的应用相连的。支撑数感的数学内容有很多，比如说，单位，在一个情景中，碰到一些量，总要选择一个单位来刻画它，这样一种感悟，对建立数量刻画是非常重要的。

对于单位的感觉，对于数量级的感觉，这个是非常重要的。比如说让学生去体验，去称一个人的重量要用什么单位，称一个铅笔的重量用什么单位，称一头大象的重量用什么单位，选择不同的单位，也是一种数感。

当然在如何培养数感的问题上，老师们在教学中还有很多的工作要去做，数感一定要创造这样一些机会，它不像数的运算，对于基础知识和基本技能，老师们可能更容易去用一种训练的方法来让学生们去学习，而形成数感是一个长期的过程，不是一天两天就能够让学生感受的到的，或者说能够在这方面有很好的感觉，需要在活动当中，逐渐的去积累，对数的这样一种认识。换句话说要积累相关的经验，所以这点，可能还需要老师在教学当中给予更多的关注。

2．符号意识

关于符号意识，注意到它在用词上，标准的修改稿和实验稿有一个区别，原来是叫符号感，现在把它称为叫符号意识。因为符号感更多的是感知，是一个最基本的层次。而符号意识对学生理解要求更高一些。在标准里边它是这样来表述的，符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。就是用符号来表示，表示什么，表示数，数量关系和变化规律，这是一层意思。还有一层意思，就是知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得结论具有一般性。所以标准上，大概用分号隔开是两层意思，一个是会表示，另外一个进行分开进行推理，得到一般性的结论。符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和数学思考的重要形式。

符号意识在整个学习数学中是很重要的。首先说，数学有这样的说法，一种是语言，数学的语言，有几个基本的特征，一种是数学的普通话，即通常所说的自然语言，一种是图形语言，这是数学里独特的东西。另外就是符号语言，作为语言，符号语言是数学里一个完整的东西，某种意义上是一个体系，所以从这个角度来说，提升符号意识，对于学习数学，是非常重要的。

因为符号可以简洁、准确的表达一些东西，交流起来就方便。

如何理解符号的体系？最基本、最熟悉的符号就是数字，是用十个数字加进位，就能把周围世界通常所说的集合元素的多少表达清楚。

所以，当讨论问题的时候，等量关系和不等量关系，包括依赖关系，这些都是数学中最基本的关系，都可以用符号表示。

符号所起的作用，从算术到代数过渡是非常关键的，所以帮助孩子从算术到代数过渡发展的过程中，培养学生的符号意识，是一个非常重要的载体。

到了初中，就刻画一类的问题，方程，一次方程，二次方程，二元一次方程组，它就帮概括出一类的数学问题，使得在研究数学问题的过程中，非常的方便。同时又为形成模型奠定了基础，无法想象没有符号怎么去刻画模型。

3～4.空间观念和几何直观

空间观念是原来大纲里有的，现在是在原来的基础上做了进一步的刻画。具体是这么描述的，空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。这是对于空间观念的一个刻画。

空间观念和几何直观这两个概念，有的时候容易混淆在一起，放在一起介绍，就可以更清楚了解它们之间的联系区别。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学的学习中，发挥着重要的作用。

刚才空间观念，有这么几个纬度。

第一 , 就是图形和实物之间的关系，这是一个很重要的纬度。

第二，就是标准中所刻画的即通常所说的方向感。

关于空间观念是实物和图形之间的关系，是两个方向的关系，这就是说，通过实物，根据实物来抽象出几何图形，这是一个方向。另外一个就是根据几何图形想象出所描述的实际物体，在这里边一个是抽象，一个是想象，在具体的事物，其实说图形，说几何图形，比如说，长方形、正方形、平行四边形、三角形，在现实世界中，是没有这些图形的，它都是一些具体的实物，你看到一个盒子，你看到一个桌子，说这个盒子的表面是长方形，但是你要想象出，抽象出它的表面是一个长方形，这是一个抽象的过程。

另外一个就是图形的运动。刚才讲图形的运动，讲图形课程标准这个从实验稿里边，开始加了一些图形的平移、旋转这样的一些运动。

空间观念在某种意义上，是学习几何，当然也包括代数，因为一旦认识纬度，代数里头也有很多的运算对象是高维的，所以对于这样一种理解，也是非常重要的事情。

用最通俗的话说几何直观，就是看图想事，看图说理，就是几何直观，说的挺形象。

为什么要强调几何直观，也从数学最基本的研究对象说起，数学最主要的在中学，进入小学阶段，主要的研究对象，一个就是图形，一个就是数、字母。

该如何从学习图形中获得最大的好处，这是作为数学工作者应该想的一件事情。引用希尔伯特写的一本书《直观几何》，其中谈到的几个基本观点。他在序言里头写了这样三层维度。

第一层意思，图形可以帮助刻画和描述问题。一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单。

第二个层意思，图形可以帮助发现、寻找解决问题的思路。

第三层意思，图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。

如何帮助学生建立几何直观，第一要充分的发挥图形给带来的好处。第二，要让孩子养成一个画图的好习惯。第三，重视变换，让图形动起来，把握图形与图形之间的关系。第四，要在学生的头脑中留住些图形。

培养几何直观就不会落空，所以这一次加了几何直观能力，加了几何直观这个关键词，对于学习数学来说，是挺重要的一件事情。

5．数据分析观念

数据分析的观念是指：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物，每次收到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律，数据分析是统计的核心。

数据是统计学习的一个重要内容，所以对数据的分析是统计的核心知识，这个数据分析观念，就是实际上数据分析观念，主要让学生能够体会到数据的作用，运用数据可以做什么，怎么来做，可能这是通俗一点来说，数据分析观念的一个基本的含义。当然可能数据分析观念，究竟怎么样让学生去体会其中的，刚才谈到这几个方面，还需要老师们去在教学当中去体会，在教学当中去贯彻。

6．运算能力

运算能力，标准中是这样说的，只要是指能够根据法则和运算进行正确的运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。运算始终是中小学教学里边非常重要的组成部分，对数的认识，数的运算，一直都占很大的篇幅，另外也是学生学习数学的一个重要的标志。

关于数学的价值取向，数学是不是就是要求运算快，现在引起越来越多的人质疑。过去的数学求快，现在有了计算机，所有的运算都可以用计算机帮忙实现，我们应该培养学生什么能力，所以在质量监测中，很多人提质疑。首先要保证学生有足够的时间去做，看看他会还是不会，这是主要的；第二个补充，运算能力不能仅仅是算个数，应该就是更宽的来考虑这件事情，包括对于运算对象的认识，包括对于为什么要做这个运算，就是这些运算的背景是什么，运算法则和运算规律的、方法的选择，包括运算在哪些地方有用，学运算的目的是要解决一些问题，所以仅仅停留在运算的巧和快，可能误导了对运算的理解。

7．推理能力

推理能力是标准实验稿中就提出的一个核心概念，在修改稿当中，仍然也保留了这样一个核心概念。经过这几年的实验，老师们对推理能力，应该有了一个比较全面的认识，以往在谈推理的时候，老师首先想到就是演绎推理和逻辑推理，而现在推理能力实际上包含了两个方面。首先推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活当中，经常使用的一种思维方式，推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理的外延包含了两个大方面，一个是合情推理，一个是演绎推理。演绎推理是从已知的事实出发，按照一些确定的规则，然后进行逻辑的推理，进行证明和计算。换句话说，从思维形式的角度，是从一般到特殊的过程，在几何的证明当中，实际上都是这样一种推理形式。合情推理是从已有的事实出发，评论一些经验、直觉，通过归纳和类比等等这样一些形式，来进行推断，来获得一些可能性结论这样一种思维方式。和演绎推理不一样的是从特殊到一般这样一种推理，所以合情推理得到的结论，知道不一定是对的，通常可能称之为猜想、推测，是一个可能性结论。但是

合情推理在数学整个发展过程当中，包括在学生学习数学和今后的未来的社会生产实践和生活当中，都是特别重要的。

合情推理进入的视野，并且加以强调。举两个比较重要的事情来支持这个合情推理的重要性。第一个就是抽象思维，抽象的过程，是从特殊到一般的过程，从一些实际的例子中，抽象出函数的概念，所以很多重要数学概念的形成过程主要是归纳思维，实际上是抽象的过程，这样一个过程对于概念的认识和理解，是非常重要的。第二个例子，统计思维最基本的推理方式是归纳，从样本看整体，通过这两个例子，希望的老师重视合情推理。不要以为合情推理是为演绎推理服务的，这样的理解还是有失偏颇的，概念的形成，定理的得到，是经历了归纳推理的过程，最后才能形成所得到的一些认知。所以重视合情推理，是在新课程推进中，需要不断强化的一件事情。

推理能力的培养，实际上不仅在几何里，包括数与代数，包括统计概率都有，实际上贯穿在整个数学学习过程当中。

8．模型思想

首先说一下标准的解释，就是模型思想的建立，使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括，从现实生活或具体情境中，抽象出数学问题，用数学符号，建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律，然后求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。这个基本上模型思想概括的比较清楚。

说这个模型的思想引用复旦大学李大潜院士的一段话，他在大学教学指导委员会说过的一段话，他说 20 世纪，中国的数学教育一个很重要的贡献，就是强调了模型，强调了数学建模，推动了数学和实际的联系。

数学有两件事情很重要，一件事情就是解决问题，所以要形成模型；另外一件事，要从实际情境中找到解决问题的模型。一个是归纳的过程，一个是演绎的过程。

当认识到可以用函数来刻画规律的时候，马上进而就要想，在这个具体情境中，是哪样一个类别的函数，是一次函数，是二次函数，还是反比例函数。然后要确定是哪一个具体的函数，然后用这个具体的函数，去解决这个问题并对解决的结果进行讨论。看的结果，是不是符合实际，可能也是通常所说的函数建模的一个过程。这对于提升解决实际问题的能力一定是非常重要的。

数学本身就是一种构造，没有数学公式在那里摆着，其实很多数学从一开始就要构造一个能够描述模型客观现实的模型，所以说模型思想从某种意义上说，反应了数学的本质。

9～10．应用意识和创新意识

首先是应用意识，应用意识说白了就是强调数学和现实的联系，数学和其他学科的联系，如何运用所学到的数学，去解决现实中和其他学科中的一些问题，当然也包括运用数学知识去解决另一个数学问题。

创新是一个永恒的主题，作为创新，在各个学科里边，都是要提倡，而数学的创新可能更重要，数学是非常抽象和严谨的，但是同时数学的应用非常广泛，应该体现创新、创造性的应用。所以说标准里面提出创新意识培养，是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中，学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心等。标准说，学生发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心，归纳、概括、得到猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法。还有一点，创新意识、创新能力的培养，应从义务教育做起。

从某种意义上，越小的孩子，他越有创新，小孩子的兴趣，小孩子对问题的敏感性，他能提出很多很多成人可能都难以解决的问题，其实他本身就是创新。

主要谈一谈模型思想，以方程为例。

1.能顺利辨认方程的样子就是认识方程了吗？

2.能流利地说出方程的定义就是理解方程思想了吗？

3.方程是个建模的过程，怎样帮学生建立好这个数学模型？

方程是什么？

小学数学教科书：“含有未知数的等式叫做方程” 。让学生记住这句话，应该不是一件难事。但是真正建立方程思想却需要一个漫长的体验、理解、感悟的过程。

学生往往片面认为：含有字母的等式才是方程，（找字母、找等式）难道未知数等价于字母吗？

“核桃质量+20=50”,“20+□=100”就不是方程吗？

式子中的“文字”“符号”都是学生在接受用字母表示数之前很重要的认知基础。学生为什么在学习方程时更多地偏向于字母呢？偏重于字母就说明学生的认知已达到了更高的抽象层面了吗？

从学生不接受等式中的文字和图形符号，可以推断学生对用字母表示数理解还比较片面，对代数思想没有达到较深刻理解的地步。既然学生对参与在等式中的字母感受的还不够，我们也可以推测，学生在一些情境中寻求等量关系列方程显得困难是相对必然的现象了。

怎么认识方程？

为寻求未知量，而寻找到未知量与已知量之间的联系，且在这个过程中把未知量先等同于已知量，和已有的已知量进行相关运算，形成等量关系；从而求出未知量。

方程刻画的是现实世界中的等量关系。认识它的第一步是能够在具体问题中找到等量关系，并使未知量参与运算。

《标准》明确“用等式的性质解简单的方程”。等式的性质反映了方程的本质，将未知数与已知数等同看待。

1.方程是个建模的过程，从直观的天平开始……

2.

3.直观的天平没有了，你心中的天平在哪？

①从图中获取信息

②发现等量关系

③用自己语言表述

④用含有未知数的等式表达。

4.方程就是讲故事

让方程回归生活，在身边找方程。进一步理解方程意义。把抽象的方程与生活情境建立联系，让学生换个思路理解方程，为方程增添生命活力，从而加深和丰富对方程意义的理解。

为什么学生喜欢这样的表述：“145+35=X”？

学生对算术思想根深蒂固，很容易走向求未知数。这种情况下，如果我们的情境再像以前那样，最终以求未知量的问题结束，恐怕学生很难摆脱求解的欲望。因此，在学生刚接触方程时，教师就要重视用字母表示未知量，并参与对情境的自然表述。这样会为未知量参与等同于已知量的运算提供有利条件。

5.引导学生“回头看”

师生共同驻足，静心反思、回顾、整理学习过程。这是将经历上升为经验的重要环节。经历只是一种曾经拥有，而经验则是学生经过数学活动后积累沉淀给自身的宝贵财富。

对“方程”的整体建议：

1.准确把握内容定位，正确理解其价值。

2.有效开发教学资源，为学生从算术思维向代数思维的过渡做好铺垫和孕伏。

3.方程思想的建立不是一蹴而就的，需要用心地做好过渡。

对“认识方程”具体教学建议：

1.让抽象的直观起来。充分利用天平模型，帮助学生理解等式性质。

2.让枯燥的生动起来。创设丰富情境，帮助学生理解字母表述数的意义，学会用方程解决简单的实际问题。

3.让孤立的联系起来。在方程与现实世界的联系中，帮助学生认识方程。