本文已发表于全国核心期刊《中学数学教学参考》2013年第8期中旬版

设计巧妙  教法灵活

                        ——“二元一次方程”课堂教学实录与点评

在江苏省第三届“苏派名师”课堂教学研讨活动中，笔者应邀为来自全省的初中数学老师呈现了一堂概念课《二元一次方程》，它是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》(七年级下册）第十章“二元一次方程组”的第一节内容．巧妙的设计、灵活的教法，学生主体性的充分发挥，给听课老师以极大的教益和深刻的印象，赢得了与会老师的高度评价．

1  教学实录

1．1  创设情境，导入新知

 

师：同学们，今天的学习从我们身边两个熟知的问题开始，请回答下列问题．

问题1．某市在暑假期间组织了中学生篮球联赛，比赛规则是：赢一场得3分，输一场得1分；

（1）一支球队在联赛中共积分20分．若设该队赢了x场，输了5场；请列出方程；

（2）一支球队在联赛中共积分20分．若设该队赢了x场，输了y场；请列出方程．

问题2．初一(7)班有18名学生相约到公园划船，需要租用船只，公园有A、B两种型号的船，A型船可坐2人，B型船可坐3人，每艘船都坐满．问有多少种租船的方法?（请先设未知数并列出方程）

生1：，

生2：，

生3：设A型船租了x艘，B型船租了y艘；根据题意得：2x + 3y = 18．

1．2  类比旧知，探索新知

师：这三个方程中的第一个方程大家应该很熟悉 ，它叫…?

生_众：一元一次方程．

师：请同学们回忆一元一次方程的定义．

生：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程．(投影)

师：后面两个方程能叫一元一次方程吗？如果不能，请大家取个名称．

生_众：二元一次方程．

师：请同学们观察这两个方程有哪些共同特点，说说命名二元一次方程的理由．

生1：有两个未知数，未知数的次数都是1．

师：本节课，我们就来学习新的知识“二元一次方程”．（教师板书：二元一次方程．）

师：现在老师再给出一个方程 ，这个方程满足你们所说的三个特点，大家觉得它是二元一次方程吗?

生：不是，因为 这一项的次数是2．

师：那么，你们认为含有未知数的项的次数应该是多少才是二元一次方程?

生_众：1．

师：同学们刚才命名二元一次方程的理由，其中有一条是“未知数的次数都是 1”，而根据现在的回答,你们把理由作了调整，认为应该是“含有未知数的项的次数都是1”,那么我们一起来看看课本上给出的定义是如何描述的．

（教师板书：二元一次方程：含有两个未知数（元）,并且所含未知数的项的次数都是1的方程．）

1．3  范例巧练，活用新知

例1．（1）下列方程是二元一次方程的有           　　　 ．（填序号）

①   ②   ③   ④   ⑤

（2）若方程 是关于 、 的二元一次方程；则 ＝　   ， ＝ 　   ．

师:请同学们根据二元一次方程的定义,完成例1.

生:第(1)题选②.

师:为何不选④和⑤?

生: ④中 中这一项的次数是2, ⑤不是整式方程.

生:第(2)题根据二元一次方程的定义可得,、 ，则 、 .

问题3．已知一元一次方程 ；它的解是        ．

生： ．

师：这个解正确吗？如何检验？

生：正确．把 代入方程，看两边的值是否相等．

师：回答的很好，能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．

问题4．下面两对数值，能使二元一次方程两边的值相等的是　    ．（填序号）

  ① ,      ② ,        

生：①．

师：根据方程的解的定义， ,就是这个二元一次方程的解．下面,我们来看看课本上对二元一次方程的解的定义是如何描述的．

（教师板书：二元一次方程的解：适合二元一次方程的一对未知数的值．）

师：二元一次方程的解的书写格式是用一个大括号把一对未知数的值并列起来．（教师板书：）

师：请思考这个二元一次方程除了这个解,还有没有其他的解．请写好的同学上黑板写,每人写一个．

（很多学生一下子冲到黑板前写出方程组的一个解,教室里沸腾了．）

师：再请同学们做评委,上黑板批,每人批一个解．

（又有大批学生冲到黑板前去批解,教室里再次沸腾．）

师：这个解是谁批的?请这位同学说说判断的方法? (任选了一个被批正确的解)

生：把这个解代入 ,看方程的两边是否相等．

师：请说说这一对未知数的值是同时得到还是有先后顺序得到的? (任选了另一个被批正确的解)

生：是有先后顺序得到的,先得到值,再得到值．

师： 值是如何得到的?值又是如何得到的?

生： 值是假定的,然后把它代入 ,解出 值．

师：说得很好，由此我们可以归纳二元一次方程的解法．

（教师板书：二元一次方程的解法：先假定一个未知数的值，转化为一元一次方程，再求出另一个未知数的值．

师：刚才同学们在黑板上写出了很多解，请猜想二元一次方程在一般情况下有多少个解? 为什么?

生：有无数个．因为在求解的时候，是先假定一个未知数的值，假定的未知数值是不确定的、有无数个，所以有无数多个解．

师：同学们刚才写在黑板上的二十多个解，只有一位学生写的解中两个未知数的取值是分数，事实上，假定的未知数值既可以取整数也可以取分数，当然取整数写解方便些．

例2．已知二元一次方程 2x + y = 9 ；求它所有的正整数解．

师：同学们对二元一次方程的正整数解是怎么理解的？

生：两个未知数的值都要是正整数．

师：说的很好．下面就请同学们把它所有的正整数解写出来．

（老师来回巡视,了解学生做的情况,并请一位学生把答案写在了黑板上．）

(学生板书：  ,  ,  ,  ．)

师：这位同学写出的解正确吗?

生_众：正确．

师：说明二元一次方程在一般情况下是有无数多个解，但其特殊解可能只有有限个．

师：刚才我们是已知了二元一次方程来求解,现在倒过来，已知解来写方程．

例3．已知是某个二元一次方程的一个解,请写出这个二元一次方程．

师：请写好的同学上黑板写,每人写一个．

（很多学生冲到黑板前写出一个二元一次方程,教室里又一次沸腾了．）

师：再请同学们做评委,上黑板批,每人批一个．

（又一批学生冲到黑板前去批方程,教室里再次沸腾．）

师：这个方程是谁批的?请他说说判断的方法? (任选了一个被批正确的方程)

生：把代入这个方程,看方程的两边是否相等．

师：请说说这个方程如何写出来的?(任选了另一个被批正确的方程)

生：把、各乘上一个系数,然后相加算出和,就得到方程．

师：方法很好．现在同学们在黑板上已经写出了十多个不一样的二元一次方程,那么请同学们猜想一共能写出多少个满足条件的二元一次方程呢?

生_众：无数个．

师:为什么?

生：因为写方程时把、各乘上一个系数,这个系数是不确定的,所以能写出无数个．

师：说的很好．那么黑板上写出的答案中哪个最简单呢?

生_众： ,还有 ．

师：当答案有无数个,而只需要写出其中的一个时,应该选择既正确又简单的答案．

1．4  回归生活，深化新知

例4．初一(7)班有18名学生相约到公园划船，需要租用船只，公园有A、B两种型号的船，A型船可坐2人，B型船可坐3人，每艘船都坐满．问有多少种租船的方法?

师：这个问题在前面已经设A型船租了x艘，B型船租了y艘；列出了二元一次方程 2x + 3y = 18．下面请大家来求解．

（老师来回巡视了解学生做的情况,并请一位同学把答案写在了黑板上．）

(学生板书：  ,  ,  ,  ．)

师：请这位同学说说为什么解只有这四个?

生：因为在这个实际问题中,x和y表示船的艘数只能是正整数和0,满足这个条件的解只有这四个．

师：请你再和大家说说求解的方法?

生：把、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数依次代入这个二元一次方程解出 ,然后把不符合的解去掉．

师：这个方法很好,叫枚举法．现在方程的解求出来了,请同学们来回答有多少种租船的方法?

生：有四种:①租用A型船0艘, B型船6艘；②租用A型船3艘, B型船4艘；③租用A型船6艘, B型船2艘；④租用A型船9艘, B型船0艘．

师：刚才对x依次取0-9这十个数来求y,解了十次关于y的一元一次方程，太麻烦了．想一想,能否只解一次关于y的方程就能求出所有适合的解?

师：其实只要把x看作已知数, 这个方程实质上可以看作是一个关于y的一元一次方程，下面请同学们解这个关于y的方程把y表示出来．

(教室里很安静，学生都在思索着，老师来回巡视，发现较多学生还是有困难．)

师：请你们思考解十次关于y的一元一次方程时,解方程的方法步骤有没有因为x取值的不同而改变?

生：没有改变．

师：以x=1代入后得到一元一次方程2 + 3y = 18为例,请你们说说解这个方程时经历了哪些步骤?

生：移项,合并同类项,系数化为1．

师：那么当x看作已知数时,方法步骤应该也没有发生变化,还是这三个步骤．请试一试．

(学生面露喜色地低下头做了起来,很快有人举手示意做好了,老师请其中一位学生上黑板做．)

(学生板书： ,  )    

师：这个形式叫用含的代数式来表示．(教师板书: 用含 的代数式来表示．)

师：现在把这个形式再化一步,变为 (教师板书),那么在这种形式下,要求出所有适合的解,你会对x取哪些值?

生：0 、3 、6、9．

师：为什么能这么快确定取这四个值?

生：因为从这个形式中可以发现,x的取值要满足3的倍数．

师：这样只要把x的这四个值分别代入 ,就能求出相应的值，得到适合的四个解．整个过程只解了一次关于y的一元一次方程，后面进行的是求四次代数式的值，解题过程明显得到简化．

师：刚才我们用含的代数式来表示 ,使解题过程得到了简化,现在请你们用含 的代数式来表示．

(学生纷纷动笔，老师请一位同学上黑板做．学生板书： , )   

师：这个形式叫用含的代数式来表示．(教师板书: 用含 的代数式来表示．)

师：在这种形式下,要求出所有适合的解,你会对取哪些值? 为什么?

生：0、2、4、6,因为的取值要满足2的倍数．

师：通过本题发现,我们今后解决类似的问题,可以先把二元一次方程化成用含的代数式来表示或用含的代数式来表示的形式,这样会简便一些．

师：现在再增加一个条件“如果这些学生共租用了7艘船”,请根据这个条件再列出一个方程．

生：．

师：如果把和2x + 3y = 18用大括号并连起来,就得到了下一节课要学习的知识“二元一次方程组”．(教师板书: )

师：在共租用了7艘船的条件下，请问有多少种租船的方法?

生：只有一种:租用了A型船3艘, B型船4艘．

师：为什么?

生：因为既适合 ,又适合2x + 3y = 18的解只有一个 ．

师：我们把同时适合这两个方程的解 叫做二元一次方程组 的解．

师：二元一次方程在一般情况下有无数多个解,而它在实际问题中的解或者说它的特殊解可能只有有限个,而二元一次方程组的解只有一个．数学真奇妙,同学们如果感兴趣,请提前预习,先睹为快．

1．5  小结交流，感悟新知

师：在本课的学习中,同学们在知识层面、思想方法层面都有哪些收获？

生：略

师：最后老师送同学们一份礼物，这份礼物是二元一次方程x + y  = 100, x 代表数学知识，y代表思想方法，如果两者都掌握了，本堂课就可以打100分了．希望同学们认真学好数学知识，领会数学思想，培养问题意识，具有创新精神，取得优异的成绩！谢谢大家．

2        教学点评

2．1 教学特色

本节课设计独特、理念新颖，整个教学过程自然、生态而灵动，学生不仅乐学，而且参与有广度、有深度．具体地说主要有如下特色．

2．1．1 源于生活，回归生活

本课遵循“数学来源于生活，应用于生活”的理念．一开始从生活中的实际问题引出二元一次方程，但问题“有多少种租船的方法”并没有解决，而是让学生带着这个问题展开本节课的学习，最后等学完了二元一次方程的有关知识后再回归到生活解决这个问题，不仅前后首尾呼应，还极大地激发了学生的求知欲．

2．1. 2 巧设冲突，辩清概念

本课属于概念教学，数学概念是数学课程的核心，只有真正理解数学概念，才能理解数学．在教学“二元一次方程的概念”时，学生往往对“项的次数是1”不太理解．本课采用先让学生自已试着下定义，当学生类比一元一次方程的概念，错误地建构成“未知数的次数是1”时，教师没有直接纠错，而是巧妙地给出方程 让学生判断，激起学生认知上的冲突，使学生自觉地调整原先的错误认识，从而有效地辩清二元一次方程的正确概念应该是“含有未知数的项的次数都是1”，至此水到渠成．

2．1. 3 面向全体，共同建构

本课特别注重充分调动学生的积极性，面向全体学生，与学生共同建构知识，把课堂变成了学生展示的舞台．在教学“二元一次方程的解”时，教师让学生在黑板上写出二元一次方程的解，很多学生冲到黑板前写出一个解，然后自然而然得出二元一次方程在一般情况下有无数个解，再让学生上黑板批解，又有大批学生冲上去当“小老师”，一下子批完了很多解，学生不仅轻松快乐地获取了知识，还有效地节省了教学时间，类似的还有写方程、批方程等活动．这些活动使学生全员参与其中，甚至兴奋地忘记了周围还有三百多位教师在听课，他们无拘无束，倾心投入，真正成为了学习的主体．

2．1. 4 尊重规律，循序渐近

本课在教学过程中充分尊重学生的认知规律，循序渐近．在教学“二元一次方程的解”时，采用了让学生体会“一个解→很多解→无数多个解”的渐近过程，感受到用一个二元一次方程并不能求出一对确定的未知数的取值，从而产生后续学习的愿望；而整个教学过程中又让学生经历了“二元一次方程在一般情况下有无数多个解→在实际问题中或有条件限制下可能只有有限个解→二元一次方程组只有一个解”的渐进过程．通过这样些渐近的教学过程，不仅能让学生由易到难地逐步获取知识，也有利于学生了解知识之间的联系，进行前后串联，做到真正理解并掌握知识．

2．1. 5 改变呈现，体现价值

知识的学习最好要出自学生内心的需要，要让学生充分感受到学习的价值．在教学“用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数”时，由于该知识是一个难点，如果把题目直接抛出，不仅让学生学起来有困难,而且学生不明白为何要学,学习兴趣就会由此降落,给后续学习带来消极影响.本课改变了它的呈现方式，巧妙地暗藏在最后一道实际问题中，当学生用枚举法求解感到比较麻烦时，提出能否只解一次关于y的方程就能求出所有适合的解，从而引出该知识，让学生感受到学习并应用该知识能有效地简化求解过程．这样的呈现方式不仅自然，还让学生充分感受到所学知识是有用的，激发了学生的求知欲，提高了学习的主动性和积极性．

2．1. 6 渗透思想，着眼发展

数学教学的立意要高，要注重渗透数学思想方法，着眼于学生的终身发展．本课在教学“二元一次方程的概念”时，先回忆一元一次方程，渗透了类比的数学思想．在教学“由方程写解、由解写方程”时，渗透了先猜想后验证的数学思想．在教学“用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数”时，首先让学生经历枚举法把、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个特殊值依次代入二元一次方程2x + 3y = 18解出的过程，然后提出把x看作已知数来解关于y的一元一次方程，当学生有困难时，又请学生回忆当x=1时求解经历了哪些步骤，最后再回到把x看作已知数来解关于y的一元一次方程．整个过程渗透了“特殊→一般→特殊→一般”的数学思想，渗透了主元思想和转化思想，不仅有效地突破了难点，还教会了学生思考和解决问题的方法．

2．2 教学建议

2．2. 1 提示本质，理解内涵

在得到二元一次方程的正确概念是“含有未知数的项的次数都是1”后，可以让学生进一步思考：为什么一元一次方程的概念是“未知数的次数是1”，而二元一次方程的概念是“未知项的次数是1”？是什么原因产生这个变化？由此揭示本质：一元一次方程只有一个未知数，未知数的次数就是未知项的次数；而二元一次方程有两个未知数，未知数的次数不一定是未知项的次数．这样学生才能对这个概念的内涵做到真正理解．

2．2. 2 深入研讨，提升能力

在最后一个实际问题中，学生学完用和这两种形式都能比较简单地解决问题后，可以再作进一步研讨，把方程2x + 3y = 18中2x这一项的系数2改成5,再请学生化成用含x的代数式来表示y和用含y的代数式来表示x的两种形式,然后进行求解,比较两种形式是不是一样简便地求出适合的解，进而探究这里面的原因．还可以把式子中18改成一个略大一些且不能整除以3的数字49，即，此时要用这个形式快速求解，应该如何处理？进而引出可以把49拆成48+1，化成，这时对的取值只要满足是3的倍数，运算量要小很多．通过变式研讨，不仅使本题的立意提高，还能有效地提升学生的能力，培养学生善于思考、勤于探究的精神．

2. 3 教学思考

2．3. 1如何取舍

本课的知识难点应该是“用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数”，讲完这个难点后，应该

配以这方面的题目多加训练、以达巩固，但本课又是一节概念课，要讲清概念的形成过程，让学生真正理解概念的内涵花费的时间不少，这样训练巩固难点的时间就不够了．如何做好讲清概念和训练巩固难点之间的平衡或取舍，值得思考．

2．3. 2教材编排

教材编排时，建议把本课的难点“用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数”放到“代入法解二元一次方程组”一节中，一来让学生体会该知识是代入法解方程组的需要，二来能让教师有充足的时间把二次一次方程的概念和解的内涵教的更深刻些．

2．3．3如何点燃

爱尔兰诗人叶芝有句话:教育不是注满一桶水,而是点燃一把火．需要思考和行动的是：如何点燃这一把火，让学生真正成为课堂的主人，在收获知识的同时，能收获思维和能力的提升，更能收获学习的兴趣和热爱，真正实现数学课堂教学的优质高效．

参考文献：

［1］杨裕前，董林伟．义务教育课程标准实验教科书·数学（苏科版七年级下册）［M］．江苏：江苏科学技术出版社，2008．

［2］中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准解读（2011年版）［M］． 北京：北京师范大学出版社，2011．

［3］张林．点燃学生智慧的火花—“圆与圆的位置关系”课堂教学实录与评析［J］．中国数学教育（初中版），2012（11）：23－27．