探索全等三角形的条件

                             镇海应行久外语实验学校      邵美燕

 一、案例背景

探究性学习是一种在好奇心的驱使下，以问题为导向，学生有高度智力投入且内容和形式都十分丰富的学习活动，是一种根据青少年身心特点提出的学习方法.我校教研组成立备课小组，积极参与这一研究.现在我针对浙教版七年级下册《三角形全等的条件》第二课时，谈谈我的一些做法.我为了激发学生主动联想，积极思维，创设了一些情景和问题，并注意在教学中把课堂还给学生，以自主探索，合作交流为主，引导学生积极参与，大胆发表自己的见解，虽然没有完成教科书的教学内容，但学生已牢牢掌握三角形全等条件SAS的同时，也学到了何种三角形满足SSA也可全等，而我也从学生们的探究中也学到了很多的东西.

二、案例描述

1、创设情景：能配一块一模一样的玻璃吗？

“星期天，小刚在家玩蓝球，不小心将一块三角形玻璃摔坏了（如图1所示）.情急之中，小刚量出了AB、BC的长，然后便去了玻璃店，他想重新裁得一块和原来一样的三角形玻璃.小刚能如愿吗？”（多媒体展示）

我话音刚落，学生们就议论开了，有些学生说可以，而更多的学生则认为不可以.我问：“为什么量出AB、BC的长还不能，你能举一些我们所熟悉的例子吗？”

 

 

 

 

图1                                 

图1                   图2                图3

学生A：“老师用的圆规，圆规的两脚可视为△ABC的边AB、BC，当圆规张角改变时，则△ABC就改变.”（如图2）   

A说完后，很多学生都微笑表示赞同.这时，学生B也站起来说：“老师，还有例子，就是门，我们开门时，随着∠ABC的大小改变，开门的大小也随之改变。由于∠ABC 的大小在改变，△ABC 的形状不能固定.”（如图3）                                                 

我说：“两位同学思维真敏捷.”

通过学生的举例，并进行动态形象的演示，使学生发现问题流畅具体，并加强学生对知识的理解和感受.并培养学生仔细观察的能力.通过实际问题，引入新课，学生急于解决这个问题，需要学习新知识，从而激发学生学习新知识的积极性和主动性，同时让学生感知到数学知识来源于生活，又服务于生活．         

    2、探究活动：两个三角形满足SSA条件一定全等吗？

为了应用新知，强调SAS中的角必须是已知两边的夹角，我设置了以下探究活动：前面已画△ABC，使AB=4 cm，BC=6 cm，∠ABC=40°，结果每个人得到的三角形都全等，现在我们将‘∠ABC=40°’改为‘∠ACB=40°’，即：使两边一夹角变为两边一对角（简记SSA），再画△ABC.

话音刚落，大家就动手画起来，一会儿，大家基本画好，于是，我又布置交流任务：“请大家在四人小组里进行实验，用叠合法来判断一下你们所画的三角形是否全等.”

    在巡视时我发现很多小组所画的三角形都彼此全等.同学们看见自己的结果与周围同学一致，都信心百倍，争着举手发言.同学A所在的小组抢先发言：“我们四人所画的三角形是全等的，这说明有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.”

    我说：“同意A同学的人请举手！”

哇！将近80%的同学都举起手来.我叫了没举手的D同学来发表看法.

D说：“我们四人所画的三角形，他们三人画的是图甲，我画的是图乙，我和他们画的三角形不全等，这说明有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不全等.”

话音刚落，同学们都投来羡慕的眼光，好象都在说：我怎么就没想到画图乙呢？

我说：“同意D同学的人请举手.”这时，几乎全班同学都举手了.

  

（甲）             （乙）             （丙）

此时，我又接着问：“ D同学说的完整吗？”

E同学说：“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形可能全等也可能不全等.”这时全班的同学都举手表示E同学的看法.于是，我在黑板上一边画图丙，一边解释满足SSA条件的两个三角形不一定全等.

此时，我认为我设置的探究活动达到目的了，正想结束这个话题，准备讲下一个重点内容：线段垂直平分线的概念和它的性质时，没想到F同学站起来，说：“老师，我看有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也可以让它们一定全等，只要满足这个角是直角就行了.我刚刚画好，你看,

图5中AC=EF，AB=DF，∠C=∠E=90°，这样的三角形画

出来是一定全等的.”

这时，教室里鸦雀无声，但学生们的思路却活跃起来了，

G同学站出来，说：“是的，我预习过，F同学举的例子可

以用HL来说明.”我马上对这两位同学的这个发现给予了

充分的肯定，并指出只要我们学了勾股定理，就可以利用

一条直角边，一条斜边求出另一条直角边，从而把两边一

对角转化为两边一夹角的情况，与我们今天所学的SAS并   图6        图7

不矛盾.此时，直角三角形满足SSA条件，也一定全等，就是HL定理.

我又一次想结束这个话题时，又有一位同学站起来，说：“老师，我画的这两个直角三角形不全等，你们看。”眼光敏锐的同学一看就说：“图6是两边一对角，而图7是两边一夹角，条件不一样，当然不全等.”我再次强调对应相等.

   4、应用归纳：吹尽黄沙始现金

看见学生们求知欲，钻研精神如此强烈，我想往下讲新内容是有困难了，索性请同学们一起思考，两边和一角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么该如何安排这三个条件才可使这两个三角形一定全等？这时四人小组马上讨论开始，过了几分钟，学生们又开始纷纷举手.

学生I：“若这个角是两边的夹角，则这两个三角形全等，即SAS.”

学生H：“若这两个三角形都是直角三角形，满足SSA的这两个三角形一定全等，即HL.”学生们都表示赞同.

我继续问：“如果两个三角形同类型的，使它们两边及一边的对角对应相等，它们会全等吗？”又过了几分钟.又有同学站起来回答.   

学生M：“若这个角为钝角，则这两个三角形一定全等，我已经证明.”（如图8）

 

 

 

                             图8                       

他的证法如下：

已知：如图，AB=DE，AC=DF，∠ACB=∠DFE。求证：△ABC≌△DEF.

证明：过A，D分别作BC和EF的垂线，垂足分别为G，H.

∵∠ACB=∠DFE，∴∠ACG=∠DFH，∵∠AGC=∠DHF=90°，AC=DF

∴△ACG≌△DFH（AAS），∴∠CAG=∠FDH，AG=DH，又∵AB=DE，

∴△ABG≌△DEH（HL）∴∠BAG=∠EDH，∴∠BAC=∠EDF，而AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）.

学生N：“若这两个三角形都是锐角三角形，则这两个三角形也一定全等，如图9，我的证明也需添一条高，其余与同学M类似.”

                               

                                    

                                                                    

 

图9

    我乘胜追击，又问：“同学们，你们能归纳出在哪种情况下，两边及一边的对角对应相等，两个三角形一定全等？”

学生P说：“如果两个同类三角形（同为锐角三角形，钝角三角形，直角三角形）两边及一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等.”

学生G：“老师，如果这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.”

……

这样一个意外的深化过程，给了学生一个再学习的机会，让他们把自己与众不同的方法、思路介绍给同学，或者吸取别人长处，好上加好.基础较差的学生也可以在同学的启发下，在老师的指导下达到最基本的要求.

下课的铃声响了，虽然本节课书里的垂直平分线的概念和性质没讲完，甚至是本节课的一个重点，但是三角形全等的判定方法是平面几何中的核心内容之一，对全等的条件领悟深度是保证平面几何入门和提高教学质量的关键所在.通过课堂教学引导学生，展开了多次探究活动，学生积极主动参与其中.学生们动脑、动口、动手分析问题，解决问题的激情被充分激发出来.从而培养他们的创新意识和逻辑思维能力，达到了教学目标.

这样做既调动了学生学习数学的积极性和主动性，增强学生参与数学活动的意识，培养了学生的动手实践能力，同时，也向学生渗透了实践——认识——再实践——再认识的辨证观点，使数学不再是一门单调枯燥，缺乏直观印象的高度抽象的学科，通过学生相互交流，让学生多角度，快节奏地认识教学内容，达到事半功倍的教学效果.而在数学教学中开展探究性学习，是新世纪数学教学改革的一个重要方面，是时代发展的需要，是我们数学教师面临的一次机遇和挑战.而怎样让学生真正学会探究，还需要我们在教学实践中不断地探索.

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