周宁一中

数学研究性学习

 

题   目：生活中的悖论问题                

编   组：李陈宇、肖云、李典庆、雷晓威     

                林雪彤、魏宇珊、阮学桂、张志恒  

                陈翠英、陈凯、詹惠忠、孙珍珍、杨

                欣清、胡明春                                 

      指导老师：肖家康  数学老师                

      班    级：高一（8）                      

      日    期：二〇一二年十二月十二日         

     

              

 

 

 

 

引言：本次论文设计是为了让我们更清楚地理解数学的神奇有趣，为我们开拓眼界。让我们在本论文的引导下畅游在快乐的数学世界，与数学成为朋友。

数学广泛应用在各科和生活中，时代的发展使得思维方式深刻的变化。也给传统的机械，死板的思维方式带来了挑战。

随着我们学习的迅速深入，思维方式的改变将迫在眉睫，数学的更抽象化，以及灵活性的加深，并逐步挑战着我们的思维。数学的扩展，以及悖论的研究是深入学习化学，物理、生物、地理的基础，是提高逻辑能力，提高严密推理的必要手段。

 

  问题提出：

一：什么是悖（bei）论？

悖论也称也称逆论，反论。在逻辑学里，指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。

二：悖论的作用：

悖论的成因极为复杂且深刻， 对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。

三：悖论的实例：

经典悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等。

四：历史中的悖论：

  由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。

（1）       第一次数学危机：

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毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
  二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

（2）       第二次数学危机：

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数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。

无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？
　　当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到
　　1 + x + x² + x³ + ..... = 1/(1- x)
　　 后，令 x= －1，得出
　　S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！
　　由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。

直到微积分学坚实牢固基础的建立，才结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。

（3）       第三次数学危机：

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。

罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。因此产生了第三次数学危机。

 

问题深入：

一：生活中的悖论：

（1）唐·吉诃德悖论：

唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应该被处

绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。

（2）理发师悖论：（三次数学危机）

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在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

（4）      兔子永远最不上乌龟：（即第二次数学危机）

  乌龟先比兔子跑出100米，如果兔子要追上乌龟的话，就得先跑完这100米，但就在兔子跑这100米的时候，乌龟也向前爬了比如说10米，所以兔子还得跑10米才能追上，但是在兔子跑这10米的时候，乌龟还会向前爬1米......兔子要追上乌龟的话，就得先跑完它们之间原先的距离，但是乌龟会在兔子缩小它们原先的距离的时候，还会往前爬，虽然很慢，但是兔子只能使距离无限缩小，却永远也追不上乌龟，这个逻辑对吗？   
　　如果说兔子比乌龟跑得快10倍，也就是说乌龟跑1米的时间兔子可以跑10米   
　　龟兔赛跑的时候兔子觉得自己能耐就让了乌龟100米，然后赛跑开始   
　　当兔子跑了这100米的时候，乌龟又向前跑了10米   
　　当兔子再跑了这10米的时候，乌龟居然又跑了1米   
　　这样，兔子1米，乌龟1分米；兔子1分米，乌龟1厘米；兔子1厘米，乌龟1毫米…………  
　　不幸的是，兔子只能无限趋近于乌龟，却永远不能超过乌龟。

(4)先有鸡还是先有蛋？

（5）A说：“下面是句谎话。” B说：“上面是句真话。”

（6）一个人回到了过去，在他祖母能遇到祖父之前就杀了他的祖父。这就意味着这个人的父母之中有一个不会出生；依次这个人自己也不会出生；这就意味着他没有机会进行时光旅游挥刀过去；这就意味着他的祖父依然还活着；这就意味着这个人能构思回到过去，并杀了自己的祖父。

回答：当时间旅行者改变了过去的某事的瞬间，那么平行宇宙就会被切开，这个可以由量子力学来解释。

（7）当一个无法阻挡的力量，碰到了一个无法移动的物体？如果这个力量移动了物体，那么这个物体就不是无法移动的。如果这个力量没有移动物体，那么这个无法阻挡的力量就被挡了下来。

回答：这种情况永远不会发生，因为如果真有无法阻挡的力量，那么就不会存在无法移动的物体，反之亦然。更有趣的是，不会有无法移动的物体。一个无法移动的物体必须有无限大的惯性，无限大的惯性，就需要无限大的质量。而无限大的质量不会存在于我们这个有限的世界。

（8）上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？如果他能，那么他不能举起这个东西，就证明他力量方面不是全能的。如果他不能，那么不能创造出这样一个东西，就证明他在创造方面不是全能的。

回答：最普遍的回答是上帝是全能的，所以“不能举起”是毫无意义的条件。其他的回答指出这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。

（9）如果上帝无所不能并在造出我们之前就已经知道我们会做什么，那么我们如何才能够拥有自由意识呢？

回答：这个悖论可以用上帝存在超越时间来解释——他可以知道未来，就如同他知道过去和现在。正如过去并不干涉我们的意志自由，未来也不会干涉。

 

得出结论：

悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。