案例6  “用字母表示数”的导入情景．

（老师想通过兰州拉面引入，上一次条数为，下一次条数为）

师：同学们，早餐吃过了吗? 

生：吃过了．

师：你们都吃了什么早餐?

生：面包，稀饭，饼干……

师(感觉不太好)：有吃过拉面吗?

生：没有．

师：拉面怎么做的?

生用手比画．

师：做拉面，你能发现什么规律吗?

生：拉面越拉越长．

师：还有其他规律吗?

生茫然，师无奈．

师：拉面拉长后条数怎样变化?

生：越来越多．

……

师(不得已)：任意多次后，拉面条数可以表示为，这就是今天学习的用字母表示数，引出课题．

（金小君．创设有效情景，让课堂焕发活力．成才之路，2008，6）

解释：情境太发散，徒然浪费了时间．形式主义与繁琐哲学的情景实际上是一种“负情景”，它既增加教学夹生的风险，又进行了生命的奢侈消费．

案例7  关于加减消元法． 

华东师大版《数学》初中一年级（七年级）（下）第7章的第1个问题是：

例3  “我们的小世界杯”足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．“勇士”队赛了9场，共得17分．已知这个队只输2场，那么胜了几场？又平了几场呢？

解  设勇士队胜了场，平了场．根据得分的总场次所提供的等量关系有方程

．                   ①

根据得分的总数所提供的等量关系有方程

．                  ②

由②－①得

      ，

．

代入①得．

答：勇士队胜了5场，平了2场．

这个解法步骤完整、计算准确、书写规范，该没有什么问题吧？可是学生问：为什么①式的赛场数与②式的得分数能够相减？

是学生在“单位”问题上钻牛角尖了吗？你是回答还是不回答？是从教学上回答还是从数学上回答？

解释：其实，这里涉及生活原型与数学模式的关系．一方面式①、②来源于比赛场次与得分总数（有单位问题）．另一方面，列成方程后又完全舍弃了原型的物理性质，成为抽象的模式（已经没有单位了，单位问题不是数学问题），可以去刻画任何“两者和为7”的生活现象而不专属于任一生活现象．方程的加减，是根据方程的理论与方法进行的（消元化归），这是数学内部的事情（与单位无关）．最后，得出后，才又回到生活中去，给出解释（有单位了）．也就是说，足球赛的现实原型经过代数运作之后（设未知数，进行四则运算等），已经凝聚为对象（方程），经过“建模”之后的运作已经是数学对象的形式运算了，当中的消元求解过程是化归思想的应用，与现实原型的具体含义无关．

因此，学生的提问就主要表现为数学的挑战．（在有进处求进，与无疑处生疑）

（罗增儒．教学的故事  数学的挑战——数学教学是数学活动的教学．《全国青年数学教师优秀课说课与讲课大赛精粹》．天津：新蕾出版社，2005）

 

（单位问题不属于数学，有个例子：小王在公司干了一星期（7天），双方约定：第1天工资0．01元，第2天0．02元，此后每天钱数是昨天钱数的平方．一周时间到，小王期望获得

分万元；

而经理却只给了3分钱：

元 ）

 

这些小例子表明，现实向我们提出了从理论到实践的挑战、向我们提出了从教学到数学的挑战．我们认为，这是教师专业化发展的一个历史良机，建议同行们通过“行动研究”的方式来解决现实问题（更加有效地促进学生的学习），通过反思性的实践来促进自身的水平提高（教师的自我完善与成长）．

新课程面临问题是对教师的学习愿望与学习潜能的唤醒与激发,是对教师反思、变革、实践能力的有效培植．（不是教师不适应、不合格才需要培训，而是教师要学习、要成长、要发展才需要培训．）

课程改革与教师专业发展之间存在着良性循环：一方面，课程改革为教师专业发展提供机会，并促进教师的专业发展；另一方面，教师的专业发展是课程改革的重要支撑，课程改革也因教师活跃的身影和创造的激情而充满活力．

 

2  案例研究的理论提炼

2-1  案例研究的理论支持

（1）范良火博士论文的结论．

范良火在其博士论文中研究得出：教师教学知识的最重要来源是

①自身的教学经验和反思； 

②和同事的日常交流；

至于职后培训、当学生时的经历、职前培训、阅读专业报刊等都是其次的、第三、第四位的，教师自主的实践中学习、及教师群体内部的自主交流是对教师的专业发展贡献最大的两个方面．

（2）顾泠沅“行动教育”模式．

（青浦经验：1977年，以初中一、二年级的数学常见题，对全县中学最高年级的4373名学生进行统考，总平均分数为11．1分，零分学生的比例高达23．5%，约有三分之二的学生连小学的分数运算都不熟练．经过近九年的改革，青浦县的数学质量从七十年代的全市最低水平开始逐年稳步上升，1985年初中升学考试数学成绩，全市各区县平均为69．7分，青浦县平均为79．1分．）

顾泠沅在上海的调查研究表明：

①保持同事间的互助指导，还须注重纵向的理念引领；（防止萝卜煮萝卜还是萝卜）

②保持侧重讨论式的案例教学，还须包含行为跟进的全过程反思．

③因此在通常的教师培训形式之外，构建了以课例为载体、专业引领与行为跟进相统整的“行动教育”模式，为教师在职教育提供了一种有价值的选择．基本模式如下图所示．

 

                   图11

 

2-2  名词解释

   “案例”一词源于法学，哈佛法学院将案例应用于法律人才的培养，产生案例教学；哈佛工商学院将其应用于工商管理人才的教学，取得显著成效；之后，人们把“病例”用于医生培养，把“战例”用于军官培养，把“课例”用于教师培养，都叫做案例教学．教师教育中的案例教学始于20世纪70年代，伴随案例教学而进行的分析、反思、提炼又促进了“案例研究”的发展．这里有三个词：案例、案例教学、案例研究．案例是一个教学实例，案例教学是一种教学方法，案例研究是一类研究方法．三者既有联系又有区别．

2-2-1  案例

（1）界定：案例是具有典型意义的教学过程的描述．

对于数学教学上的案例，我们更习惯叫做课例（或个案），在形式上，可以是体现教育理论与教学技能的课堂实录，可以是学生学数学的生动故事，可以是教师教数学的有趣设计，还可以是教学实践中遇到的意外与困惑的事件．为了教学研究的需要，课例的叙述可以对课堂信息的摄取有所侧重，对课堂之外的情况（如教师、学生的背景）及心理活动有所描述（动机、态度、思想、意图、需要等），这就使得用于教学分析的课例与记录教学实验的课例略有区别．创作课例可以是一种“教育叙事”，用记叙文的体裁表示出来．

（2）作用：教学课例包含有充分多的信息（可以代表一类事物），蕴含一定程度的理论原理，反映了教学实践的经验与方法，渗透着对特定教学问题的深刻反思，可以帮助数学教师树立一种观念，明白一个道理，理解一个概念，学到一种方法；案例是了解教学的窗口，是问题解决的源泉，是教学理论的故乡，是教师发展的阶梯．

（3）特征：典型性、研究性、启发性．

2-2-2  案例教学

（1）界定：案例教学是一种通过典型教学过程（课例）的分析来学习教育理论与教学技能的教学方法．

它与传统的讲授法不同，强调教与学双方直接参与，共同对案例或疑难问题进行讨论．案例教学突出体现了

● 教学内容，

● 学习方式，

● 教育观念

的转变．这是一种研究性学习．

　　（2）教师培训中的案例教学可分成3个步骤来实施：

①教师提供课例，学员体会情景．

　　较长的课例可以课前提供，较短的情节可以随堂呈现．提供的方式可以是书面材料、录相或口头叙述．（参见后面的例子）

②教师组织讨论，学员分析材料．

这是一个师生互动、生生合作的学习过程．一般说来，每个课例都可以从多个角度进行分析，每个学员又都有自己的兴趣指向，如果引导启发不当，有的学员会不知从什么地方开始谈，有的学员会只谈现象与技节．因此，教师要充分了解课例的内容，提前进行精心的准备，临场还得有机敏灵活的动态调节．为了使讨论相对集中，可以随课例的呈现提出几道重点思考题． 

在案例教学中，教师更多地从讲台站到了学员的背后，聪明不是由教师告诉、而是由学员自己去获得．

　  ③教师总结评述，学员掌握原理．

这一步主要由教师进行，教师的总结首先要有理论深度，使学员确实学到东西；其次要体现现场讨论的情况．

    老师们在日常教学中，可以独立地进行经常性的课例分析，也可以以教研组为单位开展交流．

需要说明的是：案例教学与举例说明是不同的；课例分析与评优课、或说课也是不同的．然而，课例分析水平的提高，可以促进所有这几方面水平的提高．

   

2-2-3  案例研究

（1）界定：在对典型教育事件进行具体描述的基础上，通过分析、归纳和解释，概括出具有普遍性结论的研究方法，叫做案例研究．

在案例研究中，作为研究素材的一个或多个案例本身是研究的一部分，对案例的收集、整理和叙述本身体现着研究者的研究旨趣和研究立场，但是，案例素材本身并不是理论，需要研究者对案例素材进行分析、解释、判断和评价，形成特定的理论．从这个意义上说，案例研究是从具体经验事实走向一般理论的一种研究工具．（相当于生物学研究中的标本）

案例研究突破了理论脱离实践的困境，建构了与实际问题紧密相连的知识体系，便于教师结合自己的教学实际开展研究．

（2）分析的视角.

通过现场听课、录像播放、文本阅读等获得案例是很方便的，但是，怎样开展案例研究呢？我们建议抓住三个主要视角． 

   ①数学的视角（主要看数学功底）

●内容结构：数学内容充实、完整，逻辑线路明晰．

●知识构建：原有知识经验明确，有构建新知识的合理过程．

●数学概念：清晰、准确，有发生过程．  

●数学论证：科学、正确，有思维揭示． 

●数学思想：有数学思想方法的渗透、提炼或阐明 ．

②教学的视角（主要看教学能力）

●教学目标：体现三维目标，定位准确

●教学要求：恰当、适合学生的最近发展区．

●教学方法：创设发现情景，鼓励探索质疑，多向交流沟通，促成意义建构．

●教学过程：有序、完整，思路清晰，使用多媒体，激励性评价．

●教学效果：突出了重点、突破了难点，实现了教学目标．

③特色的视角（主要看创新亮点）

●内容处理的新意．

●教学风格的特点．

●教学设计的亮点．

●处理突发事件的艺术．

●其他创新亮点．

最重要的是能从这些视角里看清基本事实，并用这些事实去分析相关的数学处理、解释相关的教学行为．当然，课例分析的共识有的只能作为教师的营养，间接进入课堂，而有的则可以直接进入课堂，这两方面都将促进教学的发展．课例分析不应是“空对空”的“纸上谈兵”，而应该是“实对实”的“行动研究”．

（还可参见：《全国中学青年数学教师优秀课评价标准（修订版）》，《中国数学教育》2012年第6期）

 

3 案例分析的实践

3-1  学会做数学教育研究

案例8  麻雀会数数吗？

窑洞里放着麦粒，一群麻雀飞进去吃．有1个人进去，麻雀“呼”的飞出来了，落在窑洞门口的桐树上，人不出来它们不进去，人一出来它们就飞进去，这说明麻雀会数“数1”；有2个人进去，麻雀“呼”的又飞出来，落在窑洞门口的桐树上，人不出来它们不进去，1个人出来它们还不进去，2个人出来它们就飞进去了，这说明麻雀会数“数2”；4个人进去，麻雀“呼”的飞出来，落在窑洞门口的桐树上，第1个人出来它们不进去，第2个人出来它们还不进去，第3人一出来它们就飞进去，看见里面有人“呼”的又飞出来了，这说明麻雀对“3以上”的数已经数不清楚了． 

这就是数学教育研究，用人代表数字，用麻雀的行为来显示会不会数数． 麻雀对人的到来必然会作出反应，那么不同的数量会不会作出不同的反应呢？结论是：麻雀会数“数1，2”（对1，2个人作出合理反应），但不会数“3以上”的数（对3以上个人作不出合理反应）．这种情况与原始人对数字的认识类似．

案例9   “四边形内角和”的教学

第1、案例的呈现．

2005年的一次教研会上，兄弟单位介绍了“四边形内角和”的教学，分两步介绍如下：

 

（1）教师在两个水平相当的班上所进行的学习活动是一样的，都组织学生去探究，找出的解题途径也大体相同，如图12所示． 

 

                  图12

教师总结讲评后，在一个班（记为A班）增加了一个环节，组织学生讨论在这“一题多解”的背后，有什么共同的地方——“化归为三角形的内角和”；另一个班（记为B班）没有这个环节．

（2）25天后，组织了一次测试，求图13中各角之和（凹五边形的内角和），结果，A班有89 %的学生能够完成，B班有25%的学生能够完成．在所完成的同学中，多数都是连结两条辅助线，如图14转化为3个“三角形的内角和”之和来解决．

 

　　　　图13　　　　　　　　　　　图14                          

第2、案例的分析．（大家讨论）

　  听完这个叙述之后，我们要问：

（1）你最突出的感受是什么？说出你最想说的话来．

　　为了把思考引向深入，我们还要继续问：

（2） 课例说了些什么事实？这些事实说明了什么道理？

①为什么会有89 %与25%的差距？

②教师的教学与研究能否结合起来？

③怎样认识图12的正确解答？

④从这个课题中能提炼哪些数学思想方法？

（讨论发言，这个讨论的一个目的是渗透“数学思想方法的教学”）

   下面是我们的初步总结．

这是一个简明而又富于启发性的案例，描述了一个微型教学实验，有实验假设、有实验过程、有变量控制、有效果测试，以“化归思想提炼”为自变量，以“问题解决水平”为因变量，之间的因果关系存在明显的正相关．这是把教学与研究结合起来，把教学纳入到学术研究的轨道．我们在这里作出4点分析．

（1）进行数学思想方法的提炼是可行和有效果的．

在A班的讨论显化了数学内容和数学方法所隐含的本质思想——化归；在B班没有这一提炼，学生的认识停留在“一题多解”的操作层面和化归思想的“渗透”阶段．结果，进行思想方法显化提炼的班89%通过测试，未进行显化提炼的班只有25%通过测试，差异十分显著，因而“进行数学思想方法的提炼是可行和有效果的”．这应该是我们从案例的叙述中所获得的最明显的印象，而做法本身并不复杂，教师几乎时时、事事、处处都可以做，这对破除“数学思想方法教学”的神秘性很有冲击力和启示性，用数据说话也很有份量．

当然，启示的内涵并不是每一课题都讨论“有什么共同的地方？”一题多解可以这样问，不是一题多解呢？还是这样问就呆板了、僵化了．遇到一题一解其实可以通过分析解题的过程与步骤，找出每一步的内容与作用、组织为整体的内容与作用等，提炼出数学实质与逻辑结构．于是内在的思想方法就有机会浮出水面了，不浮出水面也能作为“隐性知识”而“渗透”在学生的思想里．关键在于行动，在于有提炼数学思想方法的自觉性．比如，分析图12中的众多解法的共同本质，可得

①本质思想1：化归．所有这些解法都是通过辅助线将“四边形的内角和”化归为“三角形的内角和”，它是“化归为已经解决问题”的一个具体形式．

②本质思想2：数形结合．从运算角度看，都是几何上的“隐性和”，通过角的分割、转移与合并，产生求和式的拆项、交换与结合，转化为代数上的“显性和”，数形结合又是一个本质思想．

伴随上述思想还有：

③本质思想3：分解与组合．化归中图形的分割、转移与合并，代数和中数式的拆项、交换与结合，都体现了分解与组合．

④本质思想4：不变量．角A、B、C、D变化，但和不变，体现了变动中的不变量．

（2）进行数学教育的研究是人人都能做到的．

    这个案例本身就是一个微型实验，有实验假设、有实验过程、有变量控制、有效果测试，以“化归思想提炼”为自变量，以“问题解决水平”为因变量，之间的因果关系存在明显的正相关，这就是数学教育研究．有的教师埋怨不知道数学教育研究怎么做，埋怨找不到课题，这个案例应该是一个很好的启示：不是缺少课题，而是缺少发现课题的眼光．

试想，研究生到学校来发上一些问卷、做上几周试验，硕士论文出来了，博士论文出来了．我们天天在课堂上拼搏，理应天天有素材，月月有文章，年年有大作．

比如说，由上述案例的启发就可以进一步精致化，化归的心理机制是怎样的？（类比是不是值得考虑）收集学生做测试时的草稿纸、与学生作面对面的深度访谈，定能将这个案例与“化归思想”的研究引向深入，得出更富于理论价值和实践意义的结论．更重要的是，在自己的每节课中关注数学思想方法的提炼，关注数学的本质，就把教学纳入到学术活动的轨道．教学本来就应该是一种学术活动！

（3）注意防止“认知基础”异化为“认知障碍”，努力提供高认知水平的教学．

 

如图15，其实联结当中有一条就够了——化归为一个三角形的内角和加上一个四边形的内角和，学生普遍用图14来求解表明，学生对“化归为三角形的内角和”有直接的依赖，化归认识还停留在当初学习“四边形内角和”的水平上（25天前），而没有表现出学习水平的提升．这提醒我们：要注意防止“认知基础”异化为“认知障碍”，要努力提供高认知水平的教学．（其实，“四边形内角和”还可以化归为梯形的内角和（图16），或集中为一个周角等）

 

　　　        图15 　                     图16

（4）测试数据的进一步分析．

数据表明：

①前25%左右的学生存在“内隐学习”．不管教师进不进行“数学思想方法的提炼”，两个班的优秀生都会自觉领悟“化归为三角形内角和”；据询问，两个班中有10多个同学就是转化为图15求解的，这说明“10多个同学”已经摆脱了对三角形情景的依赖，把四边形内角和也纳入到解决新情景的认知基础中，或已经有了“化凹图形为凸图形”的想法，从而对“化归为已经解决问题”有所领悟．

②后10%左右的学生，进行“数学思想方法”的提炼也难以提高问题解决的能力．他们或者是知识还不过关、或者是虽知识过关但停留在机械学习的层次上，面临新情景时不能运用“三角形的内角和”或“四边形的内角和”来解决问题．这应说明，进行“数学思想方法”的提炼需要知识基础．

③约60%左右的中等生进不进行“数学思想方法的提炼”差异显著．我们认为，A，B两班通过率89%与25%的差距主要来自中等生，中等生有过关的知识基础，教师加以组织、给与启引，很快就能产生理解．A班的讨论显化了化归思想，大批中等生就理解了“化归为三角形的内角和”；B班没有这一提炼，大批中等生的认识就停留在“一题多解”的操作层面和化归思想的“渗透”阶段，面临新情景表现出来的问题解决能力就不一样．这应说明，对多数学生而言，领悟“数学思想方法”不能单靠“内隐学习”，教师提供“从内隐到外显”的机会、设计“从内隐到外显”的逻辑通道很重要． 

（惠州人、罗新兵，注重数学思想方法的提炼——关于化归思想的一个案例分析，中学数学教学参考，2006，1～2）

 

3-2  数学教育研究的实践

案例10  “线段、射线、直线” 的教学

在“线段、射线、直线”的公开课上（听课教师数百人），执教老师希望学生 “了解线段、射线、直线的定义”，并结合实际“理解直线公理”（经过两点有且只有一条直线）．（2006年10月23日）

　　（1）部分教学片断

片断1 让学生直观感受直线．回忆小学时的相关概念，出示了一组图片，如图17的做广播操队列（还有玉米地，高速路，铁轨）等．

　　　                

 

 图17

片断2 让学生进行“队列活动”（站起来），体验：两点确定一条直线．

活动1：教师让一个学生（甲）先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与甲同学共线的就站起来．一开始，你看看我、我看看你，没有人站起来，不一会四面八方有人站起来，最后全班学生都站起来．老师总结：过一点的直线是不唯一的，所以每个同学都可以与甲同学共线．（经过一点有无数条直线）

活动2：教师让两个学生先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这两个同学共线的就站起来．学生很快作出反应，站起来了一斜排同学（其他同学没有站起来）．老师总结：两点确定一条直线，所以有且只有一斜排学生与这两个同学共线．（经过两点有且只有一条直线）

活动3：教师让三个学生先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这三个同学共线的就站起来．当三个学生共线时，站起来了一斜排同学；当三个学生不共线时，有个别学生站起来（与其中两个同学共线），后来又坐下了，最终没有一个人站起来．老师总结：经过三点可能有一条直线，也可能没有直线．

整堂课，学生活动或回答问题不下四、五十人次，有的学生站起来等活动不下六、七次，课堂气氛很热烈．

（2）对“直线”的反馈调查

课后了解，学生很欢迎这堂课，都很高兴．

片断１（调查学生） 询问学生“今天这节课你学到了什么？”学生回答：学到了线段、射线、直线．询问学生所理解的直线是什么？学生不能回答．追问“说说直线是什么样的图形”，学生还是答不上来．

片断2（调查听课教师） 把询问学生的情况向听课教师汇报，特别提出，学生学习了一节课直线，但说不出直线是什么，老师们，你们也听课了、可能还上过这个课题，你们说说直线是什么？

全场肃静，没有一个老师回答． 

片断3（调查执教老师）  转而询问执教老师：你认为直线是什么？教师没有正面回答，更多的是介绍教学设计的意图． 

学生学了直线不知道直线．

（3）反思

情况表明，有四点特别值得反思．

①知识的封闭性.

首先一个表现是，不知道直线没有定义！

其次一个表现是，不明确直线的一些属性，教学中不能自觉渗透这些属性．如，无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直，等等．

但是，“连续”、“无穷”、“很直”等又是需要定义的，因而，这些词语都只是粗糙的解释．从公元前三世纪欧几里得《几何原本》以来，数学家曾作过直线定义的许多努力，但都没有成功，因为点、直线，平面是原始概念，不能严格定义．描述它们的基本办法是用公理来刻画，本节课中的“直线公理”：经过两点有且只有一条直线，正是直线的本质特征．试想，如果“直线”不是很直很直的，那经过两点就可以连出很多很多曲线；同样，如果“直线”不是两端可以无穷延伸的，那经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多很多直线．教学上也有一些处理技术，比如，本节课中先描述“线段”，然后，用线段来描述直线，把直线理解为线段两端无限延伸所形成的图形．

②情景的局限性．

现实原型与数学模式之间既有联系更有区别，比如图19中的做广播操队列与直线之间可以找到很多不同： 

表1

内容项目	做广播操的队列	直线图形
具体与抽象	有宽度、有高度	没有宽度、没有面积
粗糙与严格	学生之间凹凸不平、高低不齐	直线是“很直”的
一维与三维	三维立体的	一维的
有限与无限	有限个人组成	无限个点组成
连续与间断	间断的	连续的
特殊与一般	一个现实原形	许多现实原形的形式化抽象
实在与形式	生活中存在	生活中不存在
……	……	……

 

现实情景的有限性难以表达抽象直线的无限性，现实情景的离散性难以表达抽象直线的连续性．一条高速路，当着眼于距离时能提炼出线段，当着眼于笔直延伸时能提炼出直线，当着眼于面积时能提炼出矩形，当着眼于用料时，能提炼出长方体．生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能给我们提供太多的理性承诺，学校教育恰恰应该着眼于社会生活中无法获得、而必须经由学校教育才能获得的经验．

情景的局限性还给我们寻找恰当的情景带来困难，这时我们常常采用经过加工的拟真情景——源于现实而又不拘泥于真实，关键只在于这种情境应具有相关数学知识的必要因素与必要形式，如，有的教师或资料提问：“白纸对折64次，有多高？”这只能理解为“拟真情景”，白纸对折1、2、3、4、5、6次不难，是真实情景，但继续下去，不到10次纸就会折断，对折10次都不可能，对折64次只能是一种想象——数学思维实验．不了解这些情况，万一学生提出“对折64次根本不可能”时，教师难免会“无言以对”．

③活动的单一性.

通过站起来，体验“两点确定一条直线”的活动，确实设计得很精彩，但给人的感觉是：更关注“唯一不唯一”的量性收获，缺少为什么“有且只有一条”的质性渗透，本质上是数学化过程不足．所以学生学了“直线公理”不会用“直线”去解释“公理”、或不会用“公理”去解释“直线”． 

④“数学化”过程不足.

学生虽然在队列“前后对正、左右看齐”的活动中感受过直线的“直”，但从具体情景到抽象数学模式之间有一个“数学化”提炼的艰苦过程，还需要教师去做“数学化”的提炼工作，把不是数学的“广播操队列”提炼成数学上的“直线图形”（可能不是一节课就能完成的）．没有这个提炼过程，学生获得的可能不是数学、或者是硬塞给他们的数学，也可能是借学生的“嘴”代替老师的“灌”（机械接受学习）

数学化过程需要不同程度地经历：辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、强化、形式化等步骤．在教学条件下，通常的做法是从大量具体实例出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，通常是沿着：“具体——半具体、半抽象——抽象”的路线前进．较为关键的是如下5个步骤： 

①辨别一类事物的不同例子；

②找出各例子的共同属性；

③从共同属性中抽象出本质属性；

④把本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使新概念与已知的有关概念区别开来；

⑤把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延；

这个过程很重要，体现了数学学习的一个核心价值——数学化．弗赖登塔尔认为，如其说学习数学，不如说学习“数学化”．

在数学教学生活化取向、活动化取向的大潮中，教师的数学化能力凸现，这是一个创作与创造的过程．数学教师要有充实的数学知识，数学教学要有数学化的能力．

感悟：数学教师要有充实的数学知识，数学教学要有数学化的能力

（罗增儒：关于情景导入的案例与认识，《数学通报》2009，4）

 

案例11  大学生直觉猜想能力的一次小测试

1999年6月28日，我们在《中学数学教学法》课的期末考试中，有意放进一道题目，测试大学生的数学直觉猜想能力，同时也检验该教学设计的有效性，情况表明，我们对学生真实的思维活动了解是很肤浅的．

    第1、题目及意图

题目 有一个四边形（中学指凸四边形），某人从内一点出发，沿周界走一圈回到原处，中间作了4次拐弯，最后与出发的方向相同，请从这一想象中提炼出一数学定理，并给出证明．（如图18）

意图 这道题目的设计背景是四边形外角和定理，或者说，以此作为发现四边形      图18

外角和定理的“认知基础”（戴维斯指出，一个好的“认知基础”，应当具有这样的性质：它能自动地指明概念的基本性质或相关的运算法则）．主要提供了3条信息．                                   

（1）信息1：某人沿四边形的周界走了一圈，回到原处．                     

这叙述了一个事实，从而反映出四边形的结构特征．但这一反映是很粗浅的（图形封闭，周长有界……），下面继续对这一事实进行过程与结构的两种描述，其实质是对四边形结构性质进行更深入的刻划．

（2）信息2：将走一圈的过程分解为在4个顶点处作了4次拐弯． 

提供这一信息的意图是把“走一圈”的结果从数量关系上分解为4个外角之和．

（3）信息3：将走一圈的结果表示为最后的方向与出发的方向相同．

提供这一信息的意图是把“走一圈”的结果从数量关系上表示为转了．

既然，信息2与信息3表示的是同一事实，其两种数量刻划就可以用符号联结起来，得出．

对于不知道外角和定理的初二学生来说，这是一个“再发现”的过程，但对于大学生来说，定理已学过，主要的工作是将问题情境提供的信息加以辨认，然后从记忆储存中检索出相应的命题来，从辨认到检索有一个直觉猜想的过程，由于大学生有较多的已知信息作参照，能力水平也较高，我们预计，绝大多数的同学都能按照我们的意图作出回答．但结果却很意外，只有19．48%的人回答为外角和定理．

第2、基本情况

参加考试的学生有两个班77人（一班38人，二班39人），回答分为四类：

类别	外角和定理	内角和定理	其它回答	未回答
人数	15人	27人	25人	10人
百分比	19．48%	35．06%	32．47%	12．99%

 

其中那25个“其他回答”，又可归为四种情况（原文照录）：

   （1）与四（）边形有关的命题13个．

（2）与向量有关的命题5个

（3）与复数有关的命题3个

（4）其他命题4个

情景反而复杂化了：

（1）旋转角是内角还是外角？

（2）不共顶点的四个角怎样相加．

（罗增儒、李三平．大学生直觉猜想能力的一次小测试．数学教育学报，2000，2）

请提问

共回顾

1．三个期望实现了吗？

（1）体会三个名词：案例，案例教学与案例研究；

●数学教学上的案例（课例）：是具有典型意义的教学过程的描述．创作课例可以是一种“教育叙事”，用记叙文的体裁表示出来．

●案例教学：是一种通过典型教学过程（课例）的分析来学习教育理论与教学技能的教学方法． 

    ●案例研究：在对典型教育事件进行具体描述的基础上，通过分析、归纳和解释，概括出具有普遍性结论的研究方法，叫做案例研究．

（2）参与一个行动：案例分析． 

（3）带走一个信念：我要进行案例研究，我能进行案例研究．

2．采用讲故事方式有效吗？

 

共勉

：一个甘于自我封闭的人，他只能越过弱者，永远也超不过强者．

或时：一个勇于突破封闭的人，既能超过强者，又能谦让弱者． 

数学上负数比零更小，教学中自我封闭比未知更糟．

数学上实数和虚数都是真实的数，奋斗中成功与失败都是生命的歌．