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两个互素的正整数a,b的非负线性组合ax+by不能表示的最大整数

(2012-09-28 06:56:03)
标签:

正整数

线性组合

非负线性组合

互素

整数

分类: 整数问题
题目:已知1<a<b是给定的两个正整数,最大公约数为1,对于任意的非负整数x,y,ax+by不能表示的最大整数是多少?
网上看到的题目。答案是ab-a-b, 证明不很困难。例如a=5,b=6,则不能表示的最大整数为19,换言之所有大于19的整数都可以表示成ax+by,其中x,y为非负整数,比如20=5×4+6×0,21=5×3+6×1,22=5×2+6×2,...

推广到3个数的情形:已知1<a<b<c是给定的三个正整数,最大公约数为1,对于任意的非负整数x,y和z,ax+by+cz不能表示的最大整数是多少?
根据前述的结论,这个最大整数不超过ab-a-b。目前我只知道部分结论:
1)c>ab-a-b或ab-a-b-a<c<ab-a-b,不能表示的最大整数为ab-a-b;
2)c=ab-a-b,不能表示的最大整数为ab-a-b-a;
3)c=ab-a-b-a,不能表示的最大整数ab-a-b-min(2a,b); 这里min(p,q)返回p,q中的较小者。

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