正方体表面涂色问题

                ———罗阳二小  吴士群

 

[教材分析]

本节课教学内容属于“综合与实践”领域。将棱长为2、3、4、5的大正方体分别涂色分割成棱长为1的小正方体，让学生综合运用正方体的特征等相关知识，借助已有的学习经验，在观察、想象、推理、交流等活动中，把握问题的共性，从而发现三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体的个数与大正方体顶点、棱、面之间的关系，使学生在探究规律的过程中，积累数学活动经验，发展空间观念。

小学生五年级的学生虽然积累了一定的抽象思维及空间想象能力，但仍以形象思维为主，因此本课的探究规律过程对学生来说还是有一定的难度，因此在教学时应从直观入手，引导学生逐步深入问题的本质。

[教学目标]

1.借助正方体涂色问题，通过实际操作、演示、想象、联想等形式发现小正方体涂色和位置的规律。

2.在探索规律的过程中，经历从特殊到一般的归纳过程，获得一些研究数学问题的方法和经验。

3.在解决问题的过程中，感受数学的有趣，激发主动探索、勇于实践的精神，和实事求是的科学态度。

[教学重点]找出涂色小正方体以及它所在的位置，让学生经历探究规律的过程。

[教学难点]寻找没有颜色小正方体个数的规律，以及积累由特殊到一般寻找规律的经验，培养学生的空间想象能力。

[教学准备]多媒体ppt课件

[教学过程]

一、复习铺垫、创设情境

1.复习正方体的特征。

提问：正方体的面、棱、顶点各有什么特征？

2.创设问题情境。

（1）课件演示：将棱长为3的正方体的表面刷上红色的漆，再将其分割成棱长为1的小正方体。

师：现在问题来了，一共可以切成几个小正方体呢？（生：27个。师引导你是怎么想的？）

（2）引导学生观察想象，明确：分割后的27个小正方体中，你觉得这些小正方体中最多有几个面是红色的呢？

引导学生讨论交流得出最多三面涂色，也可能是两面涂色和一面涂色。还有一种可能：如果在原来大正方体的内部，那么它的每个面可能都没有颜色。即小正表面色情况可分为四类，三面涂色、两面涂色、一面涂色和无色。

板书课题：正方体表面涂色问题

（3）提出问题：其中三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少个？

【设计说明：正方体的特征是本节课的直接知识基础，课始有效进行复习，为学生探究发现三面、两面、一面涂色的小正方体个数与大正方体顶点、棱、面之间的关系做好充分的准备。接下来课件演示将大正方体涂色分割的过程，让学生通过观察进行分类，产生分类计数的需要，感悟分类的数学思想，又一次为探究活动做好铺垫。】

二、引导探究、积累经验

1．观察感知。

（1）师提问：我们知道小正方体最多有3 面涂色，哪它在大正方体的哪个位置呢？一共有几个？

学生独立观察，指名汇报。明确3面涂色的在大正方体的顶点上，所以一共有8个。

（2）师提问：2面涂色的在大正方体的哪个位置呢？一共有几个？

学生独立观察，指名汇报。明确：2面涂色的在大正方体的“每条棱的中间”有2个，所以一共有“2×12＝24”个。

（3）师提问：1面涂色的在大正方体的哪个位置呢？一共有几个？

学生独立观察，指名汇报。明确：1面涂色的在大正方体的“每个面的中间”有1个，所以一共有“1×6＝6”个。

（4）师提问：没有涂色的一共有几个？

预设：a、学生可能用小正方体总个数—3面涂色的—2面涂色的—1面涂色的＝1个无色的

b、学生可能知道用剥掉表面有色的小正方体就知道剩下的无色小正方体的个数了，但空间想象不足不能肯定无色的个数。

（如是出现预设a教师引导学生如果我们只想知道无色的有几个用这种方法是不是很麻烦，有没有更简单的方法，从而引入预设b，让学生通过想象后再借助课件演示明白感悟看不见的没有涂色的小正方体的所在的位置与个数）

2．利用发现位置特点，自主推算。

（1）提出问题：如将棱长为2的正方体的表面刷上红色的漆，再将其分割成棱长为1的小正方体。得到的小正方体面的涂色情况是怎样的呢?

学生讨论交流得出8个小正方体都是3面涂色的，没有两面、一面涂色和无色的小正方体。

（2）出示4×4×4的大正方体切割图，想一想：这样切割得到的小正方体面的涂色情况又如何呢?

分类汇报交流。（师相应课件演示）

①三面涂色：当学生说出有8个三面涂色的小正方体时，追问：哪8个？学生说出三面涂色的小正方体在原来大正方体的8个顶点的位置。

②两面涂色：可能有的学生是数出来的，也可能有的学生是用2×12算出来的。

先让用计算方法的学生说一说“为什么用2×12”，从而引导学生发现两面涂色的小正方体都在原来大正方体的棱的位置，体会可以从一条棱上有2个两面涂色的，推算出12条棱上就有24个两面涂色的。

引导比较“数”和“算”哪种更简便。

③一面涂色：着重交流明确可以由一面有4个一面涂色的小正方体，推算出6个面一共有4×6=24（个）一面涂色的小正方体

还要追问4从哪来的——棱长4，减去两个2个，得到一个边长是2的正方形。

④没有涂色：

通过课件演示将三面、两面、一面涂色的小正方体剥离出去的过程，明确无色的小正方体一共有（4—2）×（4—2）×（4—2）＝8个，即用（每条棱上小正方体的个数—2）×（每条棱上小正方体的个数—2）×（每条棱上小正方体的个数—2）

（3）学生独立解决棱长平均分成5份的问题。

教师课件演示

3．发现并总结规律。

（1）三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点的位置。不论棱长是几，分割后三面涂色的小正方体的个数都是8个。

两面涂色的小正方体都在大正方体的棱的位置，只要用每条棱中间两面涂 2色的小正方体的个数乘12，就得出两面涂色的小正方体的总个数。

一面涂色的小正方体都在大正方体的面的位置，只要用每个面上一面涂色的小正方体的个数乘6，就得出一面涂色的小正方体的总个数。

（2）如果把棱长为n的大正方体涂色切割，三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体各有多少个？

学生自主探究，并填写表格。

师生重点讨论无色的小正方体个数：利用课件演示将三面、两面、一面涂色的小正方体剥离出去的过程，从而总结出没有涂色的小正方体的个数是（n-2）的立方个。

【设计说明：本环节，让学生经历观察数数—想象推算—对比分析—发现规律的探究过程，引导学生紧紧抓住三面、两面、一面和没有涂色的小正方体的不同位置特点进行推算每类小正方体的个数，从而在对比分析中把握问题的共性，自然而然地得到一般性的结论，帮助学生在活动中积累由特殊到一般、寻找规律的数学经验，增强学生的空间想象能力。】

三、巩固应用、深化经验

1、小试牛刀：有一个棱长10分米的正方体，它的6个面都涂有黄色，把它切成棱长1分米的小正方体。

（1）3面涂黄色的的小正方体的个数   =

（2）2面涂黄色的的小正方体的个数  =                    

（3）1面涂黄色的的小正方体的个数  =

（4）没有涂黄色的的小正方体的个数 =

2、勇往直前：将一个棱长为整数(单位：分米)的正方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体。在这些小正方体中，6个面都没涂红色的有64块.

（1）那么其中两面涂有红色的小正方体有几块?三面的呢?

（2） 原来正方体的体积是多少?

3、挑战极限：有一个长10分米、宽8分米、高6分米的长方体，它的6个面都涂有黄色，把它切成棱长1分米的小正方体。

（1）3面涂黄色的的小正方体的个数   =

（2）2面涂黄色的的小正方体的个 数  =

（3）1面涂黄色的的小正方体的个 数  =

（4）没有涂黄色的的小正方体的个数 =

【设计说明：本环节，让学生利用刚刚积累的由特殊到一般、寻找规律的数学经验，再一次进行探究，在探究与交流的过程中深化经验，增强空间观念，体验学习成功的愉悦，树立学好数学的信心。】

四、全课总结、反思提升

通过今天的学习你有什么收获，还有什么疑问？

 

 

 

 

 

 

 

 

板书设计

正方体表面涂色问题

 

 

                  顶点        棱的中间       面的中间        中心