“数”的起源和发展  

教学目标  1.通过此次教学，让学生初步了解数的由来以及数的发展、数的前两次扩张

教学重点  讲清数的起源和发展

教学难点  无理数和虚数的初步 了解

学法指导：讲授法  问答法

师：同学们，每一门学科都有它的发展的历史，那我们今天就来学习并了解数的由来和发展， 从远古时期以绳打结、刻痕的记数方式到近现代多元数的产生，经历了漫长而复杂的历史进程，可以说数的起源和发展已成为人类文明的一个重要组成部分。由于时间关系，同学们我们今天就来聊聊阿拉伯数的起源和发展吧。

一、阿拉伯数的起源 师：古时候，印度人把一些横 线刻在石板上表示数，一横表示1，二横表示2„„后来，他们改 用棕榈树叶或白桦树皮作为书写材料，并把一些笔画连了起来， 例如，把表示2的两横写成Z，把表示3的三横写成等。  最古的计数目大概至多到3，为了要设想“4”这个数字，就必须把2和2加起来，5是2加2加1，3这个数字是2加1得来的，大概较晚才出现了用手写的五指表示5这个数字和用双手的士指表示10这个数字。这个原则实际也是我们计算的基础。后来古鳊人在这个基础上加以改进，并发明了表达数字的1234567890十个符号，这就成为我们今天记数的基础。 西来的希腊文化和东来的印度文化都汇集到这里来了，阿拉伯人将两种文化理解消化，从而创造了独自的阿拉伯文化。印度数字１、２、３、４„„以及印度式的计算方法（即我们现在用的计算法）真正传入阿拉伯，由于印度数字和印度计数法既简单又方便，它的优点远远超过其他的计数法，所以很快由阿拉伯人广泛传播到欧洲各国。在印度产生的数字被称做“阿拉伯数字”的原因就在于此.同学们知道阿拉伯数字的由来了吗？  与此同时随着数的概念的发展，人们最初记数时并没有进位制，当结绳或书契记数时，有多大的数目就结多少个绳结或刻多少道痕迹。随着人类文明的进步，人们需要记载的数目越来越大。为了更简明地去记数，就产生了进位制。  进位的方法是造新的数目符号代替原来同样大的数。我们现在日常生活中多使用的是十进制 

1：请同学们说说在原始氏族社会人们 的计数方式？ 请同学们回答并进行总结 学生活动2：同学们好好听讲额，在老师叙述完以后会请一位同学回顾并叙述 发展史。

二、数的发展  人们在认识了自然数后又认识了正分数。所谓分数就是把两个自然数相除所得之商当作一个数（板书）。由于现实生活的需要，正整数不能适应表示一些事物整体与部分之间的关系的要求，如九个人个人分三个猎物，每人分多少？运用正整数无法表示这一要求。为解决这些问题，于是就产生了分数  为了使减法运算表示相反意义的量，人们引进了负数的概念，到第一次数的扩充——负数的产生，（直接原因是由于解方程的需要）    师：整数、分数统称为有理数。有理数的产生是数学史上数的第一次扩张。而同学们现在仅仅只学到有理数部分（整数和分数），那我们今天接着了解一些其他的数，  数的一步步完善和发展是为了满足人们的生活需要而产生的师：在公元前5 世纪，古希 腊是奴隶制社会，当时的毕达哥拉斯学派证明了勾股定理、三角 形内角和为180度等重要的数学 定理，对古代数学的发展做出了巨大的贡献。毕达哥拉斯学派认为“任何量都可以表成两个整数之比（即有理数）。  师：但该学派的成员希帕苏斯在公元前470年左右首先发现了不能用整数比表示的数，他画了一个边长为1的正方形，设其对角线长为x，由勾股定理得x= √2，而这个x却无法用两个整数之比表示。希帕苏斯提出的问题及这个新数的出现使毕达拉斯学派感到恐慌，其动摇了当时被尊为神圣真理的信念和这个学派的哲学核心——万物皆依赖于整数。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的，新数的出现使得已经确立的几何学的大部分理论的证明都失效了。正方形的对角线不能没有长度，这是任何人都承认的事实，但是正是这条直观具体的对角线的客观存在与毕达哥拉斯时代的数学观念之间发生了短时间内不可调和的矛盾和冲突，这个“逻辑上的丑闻”使得他们对新数的发现严守秘密，这个数后来被叫做“无理数”，它的发现引发了“第一次数学危机。大约在公元前370 年，希腊数学家欧多克索斯以及毕达哥拉斯的学生阿尔希塔斯巧妙地消除了这一危机，但要从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，从而又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。  师：同学们无理数的引进，是数学史上数的第二次扩张，它的引入，排除了第一次数学危机，使无理数登上数学的舞台。  师：这充分说明了科学是批判的、疑问的、创造的、严谨的和求实的。但是不是数的领域里就已经完备了呢？答案是否定的！  师：当时许多数学家认为数学成就已经登峰造极，数的形式不会有什么新的发现了，但在解方程时，常遇到负数开平方的问题，为了解决这一问题，引入了虚数，虚数的出现是数学史上的一件大事，这是数的第三次扩张，此次扩张放弃了实数的大小顺序关系，这是非常有意义的。 师：同学们要重视在解决数学问题时考虑到它的要求，解题要求等等  师：同学们请回顾我们今天都学了哪些内容呢

同学们你们可能会发现其实每一个整数也可以用分数表示，那应该怎么表示呢？ 请学生回答这个问题？  答：用分母为一的分数可表示任意的整数

请同学们看黑板上的这些有理数，他们都有什么共同的特点呢？  请学生回答并做相关点评

教学板书 一、数的起源：  同学们你看看，（板书写出）板书书写1.古埃及象形数字（公 元前3400），2.巴比伦楔形数字（公元前2400，3.中国甲骨文数字（公元前1600），4.中国筹算数码(公元前500 年左右)，5.印度婆罗门数字(公元前300 年左右的) 板书写出：1，2，3，4，5，6，7，8，9 那我们就来看看阿拉伯数字吧，

课外阅读

小数的历史 

公元3世纪，也就是1600多年前，我国伟大的数学家刘徽就提出了小数。
最初，人们表示小数只是用文字，直到了13世纪，才有人用低一格，如8.23记做，左边的表示整数部分，右下方表示小数部分。
古代，还有人记小数是将小数部分的各个数字用圆圈圈起来，例如：1.5记做1⑤，这么一圈，就把整数部分和小数部分分开来了。这种记法后来传到了中亚和欧洲。

公元1427年，中亚数学家阿尔．卡西又创造了新的小数记法，他是用将整数部分与小数部分分开的方法记小数，如3.14记做3  14。
 
到了16世纪，欧洲人才注意小数的作用。在欧洲，当时有人这样记小数，如3.1415记做3⊙1①4④1①5⑤。⊙可以看作整数部分的分界标志，圈里的数字表示的是数位的顺序，这种记法很有趣，但是很麻烦。
 
直到公元1592年，瑞士的数学家布尔基对小数的表示方法作了较大的改进，他用一个小圆圈将整数部分与小数部分分割开，例如：5。24……数中的小圆圈实际起到了小数点的作用。
 
又过了一段时间，德国的数学家克拉维斯又用小黑点代替了小圆圈。于是，小数的写法就成了我们现在的表示方法。
 
但是，用小数表示，在不同的国家也有不同的方法。现在，小数点的写法有两种：一种是用“，”；一种是用小黑点“.”。
 
在德国、法国等国家常用“，”，写出的小数如3，42、7，51……,而英国和北欧的一些国家则和我国一样，用“.”表示小数点，如1.3、4.5……

 小数的发展

小数是我国最早提出和使用的。早在公元三世纪，我国古代数学家刘微在解决一个数学难题时就提出了把整个位以下无法标出名称的部分称为微数。
 
小数的名称是公元十三世纪我国元代数字家朱世杰提出的。在十三世纪中我国出现了低一格表示小数的记法，如把63.12写成┻|||_||。
 
在西方，小数出现很晚。直到十六世纪，法国数学家克拉维斯首先用了小数点作为整数部分与小数部分分界的记号。

 分数的历史

人类历史上最早产生的数是自然数（正整数），以后在度量和均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。
用一个作标准的量（度量单位）去度量另一个量，只有当量若干次正好量尽的时候，才可以用一个整数来表示度量的结果。如果量若干次不能正好量尽，有两种情况：
例如，用b作标准去量a:
一种情况是把b分成n等份，用其中的一份作为新的度量单位去度量a，量m次正好量尽，就表示a含有把b分成n等份以后的m个等份。例如，把b分成4等份，用其中的一份去量a，量9次正好量尽．在这种情况下，不能用一个整数表示用b去度量a的结果，就必须引进一种新的数--分数来表示度量的结果。
另一种情况是无论把b分成几等份，用其中的一份作为新的度量a,都不能恰好量尽（如用圆的直径去量同一圆的周长）。在这种情况下，就需要引进一种新的数-无理数。在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商。为了使除法运算总可以施行，也需要引进新的一种数-分数。
综上所述，分数是在实际度量和均分中产生的

 分数的发展

分数的产生经历了一个漫长的过程。开始人们只使用简单的分数，如一半，一半的一半等，后来才逐渐出现了三分之一，三分之二等简单的分数。
 
大约在2000年前，古希腊人已经开始用分子和分母表示分数。分数在我国很早就有了，它是在用算筹做除法运算的基础上产生的。当除不尽时，把余数作为分子，除数作为分母，就产生了一个分子在上，分母在下的分数筹算形式。
 
继中国的筹算分数之后，又过了五六百年的时间，印度才出现了有关分数理论的论述。印度人记录分数的形式与我国古代的筹算分数是一样的，只不过使用的是阿拉伯数字。再往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的表示法就成为现在这样了。