《三角形内角和定理》教学设计

                           于鑫鑫          

一、课标要求

《数学课程标准（2011版）》中本节内容属于第三学段（7-9年级）图形与几何部分的内容，对本节的具体要求是：探索并证明三角形的内角和定理。

二、学习目标

1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，初步学会利用辅助线来证明命题。

2、经历探索证明思路的过程，学会与人合作交流，通过多角度探索证明思路，引导学生个性的发展，培养学生发散思维，通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性。

3、对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。

4、通过新颖、有趣的问题，来激发学生的求知欲，使学生乐于学数学，遇到困难不避让，在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

三、教材分析

《三角形内角和定理》是鲁教版七年级下册第八章的第六节，共分三个课时。本节课的主要内容是“三角形内角和定理”的证明及其简单应用。

三角形内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。它是对图形进一步认识以及规范证明过程的重要内容之一，也是初三《证明》中用以研究角的关系的重要方法之一，因此，本节课起着承上启下的作用。而通过添加辅助线，把未知转化为已知，用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础。

三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。因此本节课的教学重点确定为：

1、三角形内角和定理的证明思路及应用。

2、运用综合法，按照一定的书写格式和步骤，有理有据的写出证明的过程，，理解证明的必要性。

四、学情分析

三角形内角和定理的内容，学生已经很熟悉，但以前是通过实验得出的，学生可能会认为这是已经学过的知识，因此在学习过程中要向学生说明证明的必要性，在前几节的学习中，学生基本上已经掌握了简单证明的基本方法和步骤，本节课再一次来熟悉证明的过程。而本节课要证明这个结论需要添加适当的辅助线，因而本节课也要渗透这样的思想:添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要手段之一。

教学难点：实验操作法转变为辅助作图（辅助线的添法），证明三角形的内角和等于180°。

五、评价设计

（1）通过（二）探索新知的书写证明过程评价学生“三角形内角和定理”证明的掌握情况。通过巩固提升评价学生定理的简单应用情况。评价学习目标1

（2）通过分组讨论活动评价学习目标2

（3）通过（二）评价学习目标3

（4）情境引入、合作学习、交流展示评价学习目标4

六、教学过程

（一）问题引入

内角三兄弟之争

在一个直角三角形里住着内角三兄弟，平时，它们手牵手共同维护家的稳定。可是有一天，老二突然发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷。

同学们，你们知道其中的道理吗？

“三角形三个内角的和等于180°“这个结论大家都很熟悉，你还记得我们是怎样得到的吗？

让我们通过一组动画来共同回忆一下。 

【设计目的】由于三角形的内角和学生都知道，因此直接开门见山，将一个简单的问题抛给学生，让学生从熟知的问题开始这堂课的学习，能很快的激起学生学习的欲望，尤其是学有困难的学生。并且，从学过的知识引入符合学生的认知规律。
    （二）探索新知

（1）实验是存在误差的，今天我们就来学习如何证明“三角形三个内角的和等于180°”

【设计目的】使学生认识到实验观察的结果未必正确，说明证明的必要性。

（2）那么怎样证明呢？ 

①证明一个命题正确性的顺序和格式是什么？

已知：

求证：

证明：

（3）回顾刚才的实验操作，卡纸可以撕下来，可黑板上的三个角不能撕，你能通过作图的方法把三个角“搬”到一起吗？

（学生会立即思考，若有困难，可以用下面的问题引导学生。）

刚才我们是用哪两种方法得到180°的？

这个问题的提出可以引导学生想到平角，继而利用平角来证明三角形的内角和是，或想到两平行线间的同旁内角。

（4）请利用导学提纲提供的三角形试一试？你能想到几种做法？

【设计目的】学生通过刚才的动手操作，再加上上面的问题基本上已经给学生指明了方向，因此，学生自然而然会想到证明的基本思路是把分散的三个角“搬”到一起，构成一个平角。另有学生可能会想到拼成两平行线间的同旁内角。而作平行线则是“搬”角的基本途径。通过本环节，让学生体会转化的数学思想方法，把新知识转化为旧知识。

（5）分组讨论证明方法

在学生独立思考后，小组内讨论交流。

通过上面的环节，有些学生可能已经有思路了，再通过和同学的交流讨论，互取所长，可能会探究出不同的方法来，将会更完善。另外，刚才没有思路的同学也可以通过本环节向他人借鉴，理出思路来。教师这时候也可以深入到有困难的小组，引导他们解决问题。同时还可以促进师生之间的关系。

（6）全班交流

在小组讨论结束后，全班交流，大家共享。

可能的证明方法如下 ：

http://s6/mw690/003di9VTzy70zpuGCih35&690

   图1                 图 2              图 3                                                                                              

①如图1，延长BC到D，以点C为顶点，以CA为一边，在△ABC的外部作∠1=∠A。

②如图1，延长BC到D，过C作CE∥AB。

③如图2，过点A作PQ∥BC。

④如图3，过C作CD∥AB，由同旁内角互补可以证明。

【设计目的】学生方法很多，在学生通过观察分析、归纳总结，最后全班交流，使思维达到高潮，由感性认识上升到理性认识。在交流方法的同时，让学生说明理由，培养学生合乎情理的思考和有条理的表达能力。而当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化为已经会解的情况，这是解决问题的常用策略之一。

（7）书写证明过程

根据以上几种方法，选择其中一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主选择其中一种，完成证明过程，培养学生严谨的逻辑思维能力和推理能力。

【设计目的】首先，师生一起画出图形，其次，分析命题的题设和结论写出“已知”、“求证”，把文字语言转化为几何语言，由于有本章前几节作为基础，因此学生有能力做到。最后，作出辅助线，写出规范的证明过程。

教师点拨：我们用数学方法证明了“三角形三个内角的和等于180°“是个真命题，在数学中由于这条真命题非常重要，因此作为定理提出，叫做三角形内角和定理。在几何证明中就可以直接使用。

（8）三种语言

文字语言：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.

http://s5/mw690/003di9VTzy70zpyc3I014&690

图形语言：

    符号语言：

∵∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角           

 ∴∠A+∠B+∠C=180°.

【设计目的】规范学生的几何语言

（三）巩固提升

例题引领

 证明：直角三角形的两个锐角互余

题组一：

（1）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形

（2）证明：四边形的内角和是360° 

【设计目的】证明三个命题的正确性，告知学生这三条虽不是定理，但在书中是黑体字，也可以直接用于证明过程中，同时，规范几何语言。

 

题组二：

（1）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（　　）

 A .50°  B.55°   C.60°  D.65°                                                                                  http://s14/bmiddle/003di9VTzy70zpyPQMRcd&690

（2）如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）

A .22°  B.65°   C.70°  D.75°  

http://s13/bmiddle/003di9VTzy70zpzhTJi1c&690

（3）如图，在△ABC中，已知∠ABC=38°，∠ACB=62°，AD平分∠BAC，求∠ADB的度数。                                   

http://s10/bmiddle/003di9VTzy70zpHGHRn99&690

【设计目的】巩固三角形内角和定理的应用，引导学生将题目中的信息清晰的标注到图形中。。

【设计目的】巩固三角形内角和定理的应用，引导学生将题目中的信息清晰的标注到图形中。。

学以致用

如图，是一块大型模板，设计要求：如果延长BA与CD，那么它们相交成30°角，如果延长DA于CB,那么它们相交成20 °的角，为了检查模板是否合格，我们通过测量∠B, ∠ C, ∠ D的度数就能够达成目标，为什么？

http://s4/mw690/003di9VTzy70zqIEIRJb3&690

【设计目的】使学生体会到数学来源于生活，又回到生活中去。

（四）课堂小结

一个定理

一种思想

一种方法

【设计目的】先让学生谈本节课所学内容，基本思想，各种方法，帮助学生形成总结归纳的好习惯。

（五）检测反馈

如图，已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50

http://s13/bmiddle/003di9VTzy70zqHQzWk3c&690

（六）结束语

三角形具有很多特性，我们到目前为止只研究了很少一部分，值得我们探究的问题还很多。比如：三角形个元素之间的关系，几个角之间的关系，三角形与其他图形的关系。希望同学们不断努力，继续探索研究！

【设计目的】引起学生的兴趣，为后面对三角形的继续研究打下基础。

（七）课后作业

（A类必做，B类选做）

A类：课本P54   知识技能1、2题

B类：（1）证明：五边形的内角和等于540 ；

      （2）在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“搬”到BC边上的一点P？（如图（4），如果把这三个角“搬”到三角形内一点呢？（如图（5）），“搬”到三角形外一点呢？（如图（6）），你还能想出其他证法吗？

http://s12/bmiddle/003di9VTzy70zqJtUzVfb&690

图（4）            图（5）           图（6）

本问题再一次强化学生“抓住根本”的意识，抓住把三个角“搬”到一起，以便利用平角定义这一基本思想。可以把三个角集中到三角形某一顶点;可以把他们集中到某一边上;集中到三角形的内部一点；还可以把它们集中到三角形外部一点。培养学生善于抓住不变的根本，又要善于灵活地在变化中认识、处理和解决问题的能力，同时，拓展了学生的思维。

（九）兴趣阅读  用运动变化的观点理解和认识数学

在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近180°),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近0°).由此你能想到什么?

http://s7/bmiddle/003di9VTzy70zqJVJOe66&690

如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,∠A就越来越小(越来越接近0°),而∠B和∠C则越来越大（它们的和越来越接近180°）, 当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于180°.由此你能想到什么? 

 

	http://s9/bmiddle/003di9VTzy70zqM8da8e8&690