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(2012-09-23 23:13:33)
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杂谈 |
《缉古算经》唐·王孝通
臣孝通言：臣闻九畴载叙，纪法著于彝伦；六艺成功，数术参于造化。夫为君上者，司牧黔首，布神道而设教，采能事而经纶，尽性穷源，莫重于算。昔周公制礼，有九数之名。窃寻九数，即《九章》是也。其理幽而微，其形秘而约，重句聊用测海，寸木可以量天，非宇宙之至精，其孰能与于此者？汉代张苍删补残缺，校其条目，颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言，博综纤隐，更为之注。徽思极毫芒，触类增长，乃造重差之法，列于终篇。虽即未为司南，然亦一时独步。自兹厥后，不断前踪。贺循、徐岳之徒，王彪、甄鸾之辈，会通之数无闻焉耳。但旧经残驳，尚有阙漏，自刘已下，更不足言。其祖恒之《缀术》，时人称之精妙，曾不觉方邑进行之术，全错不通；刍亭方亭之问，于理未尽。臣今更作新术，于此附伸。臣长自闾阎，少小学算。镌磨愚钝，迄将皓首。钻寻秘奥，曲尽无遗。代乏知音，终成寡和。伏蒙圣朝收拾，用臣为太史丞，比年已来，奉敕校勘傅仁均历，凡驳正术错三十余道，即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术，至于上宽下狭、前高后卑，正经之内，阙而不论，致使今代之人不达深理，就平正之门，同欹邪之用。斯乃圆孔方柄，如何可安？臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹，遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术，名曰《缉古》。请访能算之人，考论得失，如有排其一字，臣欲谢以千金。轻用陈闻，伏深战悚。谨言。
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答曰：在斗四度七百分度之五百三十。
术曰（推朔夜半月度，新术不复加时日度，有定小余乃可用之）：以章岁减朔月行定分，余以乘朔日定小余，满日法而一，为先行分。不尽者，半法已上收成一，已下者弃之。若先行分满日行分而一，为度分，以减朔日夜半日所在度分，若度分不足减，加往宿度；其分不足减者，退一度为行分而减之，余即朔日夜半月行所在度及分也（凡入历当月行定分，即是月一日之行分。但此定分满章岁而一，为度。凡日一日行一度。然则章岁者，即是日之一日行分也。今按：《九章·均输篇》有犬追兔术，与此术相似。彼问：犬走一百走，兔走七十步，令免先走七十五步，犬始追之，问几何步追及？答曰：二百五十步追及。彼术曰：以兔走减犬走，余者为法。又以犬走乘兔先走，为实。实如法而一，即得追及步数。此术亦然。何者？假令月行定分九千，章岁七百，即是日行七百分，月行九千分。令日月行数相减，余八千三百分者，是日先行之数。然月始追之，必用一日而相及也。令定小余者，亦是日月相及之日分。假令定小余一万，即相及定分，此乃无对为数。其日法者，亦是相及之分。此又同数，为有八千三百，是先行分也。斯则异矣。但用日法除之，即四千一百五十，即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后，以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分，即月夜半所在度分也）。
2、假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈，甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。羡道从台南面起，上广多下广一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲县一十三乡，乙县四十三乡，每乡别均赋常积六千三百尺，限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台，二县乡人共造羡道，皆从先给甲县，以次与乙县。台自下基给高，道自初登给袤。问：台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何？
答曰：
台高一十八丈
上广七丈，
下广九丈，
上袤一十丈，
下袤一十四丈；
甲县给高四丈五尺，
上广八丈五尺，
下广九丈，
上袤一十三丈，
下袤一十四丈；
乙县给高一十三丈五尺，
上广七丈，
下广八丈五尺，
上袤一十丈，
下袤一十三丈；
羡道高一十八丈，
上广三丈六尺，
下广二丈四尺，
袤一十四丈；
甲县乡人给高九丈，
上广三丈，
下广二丈四尺，
袤七丈；
乙县乡人给高九丈，
上广三丈六尺，
下广三丈，
袤七丈。
上广七丈，
下广九丈，
上袤一十丈，
下袤一十四丈；
甲县给高四丈五尺，
上广八丈五尺，
下广九丈，
上袤一十三丈，
下袤一十四丈；
乙县给高一十三丈五尺，
上广七丈，
下广八丈五尺，
上袤一十丈，
下袤一十三丈；
羡道高一十八丈，
上广三丈六尺，
下广二丈四尺，
袤一十四丈；
甲县乡人给高九丈，
上广三丈，
下广二丈四尺，
袤七丈；
乙县乡人给高九丈，
上广三丈六尺，
下广三丈，
袤七丈。
术曰：以程功尺数乘二县人，又以限日乘之，为台积。又以上下袤差乘上下广差，三而一，为隅阳幂。以乘截高，为隅阳截积。又半上下广差，乘斩上袤，为隅头幂。以乘截高，为隅头截积。并二积，以减台积，余为实。以上下广差并上下袤差，半之，为正数，加截上袤，以乘截高，所得增隅阳幂加隅头幂，为方法。又并截高及截上袤与正数，为廉法，从。开立方除之，即得上广。各加差，得台下广及上下袤、高。
求均给积尺受广袤，术曰：以程功尺数乘乙县人，又以限日乘之，为乙积。三因之，又以高幂乘之，以上下广差乘袤差而一，为实。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高，三之，为方法。又并两高，三之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即乙高。以减本高，余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高，以本高而一，所得加上广，即甲上广。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得加上袤，即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤，台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤，有增损者，皆放此（此应六因乙积，台高再乘，上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。以上广之高乘上袤之高，为小幂二。因下袤之高，为中幂一。凡下袤、下广之高，即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高，为幂一。又下广之高乘下袤之高，为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一，复有上广、上袤之高各乘截高，为中幂各一。又截高自乘，为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高，为幂一。然则截高自相乘，为幂二，小幂六。又上广、上袤之高各三，以乘截高，为幂六。令皆半之，故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三，令但半之，各得一又二分之一，故三之，二而一，诸幂乘截高为积尺）。
求羡道广、袤、高，术曰：以均赋常积乘二县五十六乡，又六因，为积。又以道上广多下广数加上广少袤，为下广少袤。又以高多袤加下广少袤，为下广少高。以乘下广少袤，为隅阳幂。又以下广少上广乘之，为鳖隅积。以减积，余三而一，为实。并下广少袤与下广少高，以下广少上广乘之，鳖从横廉幂。三而一，加隅幂，为方法。又以三除上广多下广，以下广少袤、下广少高加之，为廉法，从。开立方除之，即下广。加广差，即上广。加袤多上广于上广，即袤。加高多袤，即道高。
求羡道均给积尺甲县受广、袤，术曰：以均赋常积乘甲县上十三乡，又六因，为积。以袤再乘之，以道上下广差乘台高为法而一，为实。又三因下广，以袤乘之，如上下广差而一，为都廉，从。开立方除之，即甲袤。以广差乘甲袤，本袤而一，以下广加之，即甲上广。又以台高乘甲袤，本袤除之，即甲高。
答曰：
一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分；
西头高三丈四尺一寸，
上广八尺，
下广七丈六尺二寸，
东头高三尺一寸，
上广八尺，
下广一丈四尺二寸，
正袤四十八丈，
斜袤四十八丈一尺；
甲县正袤一十九丈二尺，
斜袤一十九丈二尺四寸，
下广三丈九尺，
高一丈五尺五寸；
乙县正袤一十四丈四尺；
斜袤一十四丈四尺三寸，
下广五丈七尺六寸，
高二丈四尺八寸；
丙县正袤九丈六尺，
斜袤九丈六尺二寸，
下广七尺，
高三丈一尺；
丁县正袤四丈八尺，
斜袤四丈八尺一寸，
下广七丈六尺二寸，
高三丈四尺一寸。
西头高三丈四尺一寸，
上广八尺，
下广七丈六尺二寸，
东头高三尺一寸，
上广八尺，
下广一丈四尺二寸，
正袤四十八丈，
斜袤四十八丈一尺；
甲县正袤一十九丈二尺，
斜袤一十九丈二尺四寸，
下广三丈九尺，
高一丈五尺五寸；
乙县正袤一十四丈四尺；
斜袤一十四丈四尺三寸，
下广五丈七尺六寸，
高二丈四尺八寸；
丙县正袤九丈六尺，
斜袤九丈六尺二寸，
下广七尺，
高三丈一尺；
丁县正袤四丈八尺，
斜袤四丈八尺一寸，
下广七丈六尺二寸，
高三丈四尺一寸。
求人到程功运筑积尺，术曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四步，平道一十一步，踟蹰之间十加一，载输一十四步，一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，为实。却以一返步为法。除，得自运土到数也。又以一到负土数乘之，却以穿方一尺土数除之，得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升，以穿方一尺土数除之，为法。除之，得穿用人数。复置运功积，以每人一日常积除之，得筑用人数。并之，得六人。共成二十九尺七寸六分，以六人除之，即一人程功也。
求堤上、下广及高、袤，术曰：一人一日程功乘总人，为堤积。以高差乘下广差，六而一，为鳖幂。又以高差乘小头广差，二而一，为大卧堑头幂。又半高差，乘上广多东头高之数，为小卧堑头幂。并三幂，为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数，以减堤积，余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数，并三差，以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差，兼半小头广差加之，为廉法，从。开方立除之，即小高。加差，即各得广、袤、高。又正袤自乘，高差自乘，并，而开方除之，即斜袤。
求甲县高、广、正、斜袤，术曰：以程功乘甲县人，以六因取积，又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之，为实。又并小头上下广，以乘小高，三因之，为垣头幂。又乘袤幂，如法而一，为垣方。又三因小头下广，以乘正袤，以广差除之，为都廉，从。开立方除之，得小头袤，即甲袤。又以下广差乘之，所得以正袤除之，所得加东头下广，即甲广。又以两头高差乘甲袤，以正袤除之，以加东头高，即甲高。又以甲袤自乘；以堤东头高减甲高，余自乘，并二位，以开方除之，即得斜袤。若求乙、丙、丁，各以本县人功积尺，每以前大高、广为后小高、主廉母自乘，为方母。廉母乘方母，为实母（此平堤在上，羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝，中一堑堵。今以袤再乘六因积，广差乘袤差而一，得截鳖腝袤，再自乘，为立方一。又堑堵袤自乘，为幂一。又三因小头下广，大袤乘之，广差而一，与幂为高，故为廉法。又并小头上下广，又三之，以乘小头高为头幂，意同六除。然此头幂，本乘截袤。又袤乘之，差相乘而一。今还依数乘除一头幂，为从。开立方除之，得截袤）。
求堤都积，术曰：置西头高，倍之，加东头高，又并西头上下广，半而乘之。又置东头高，倍之，加西头高，又并东头上下广，半而乘之。并二位积，以正袤乘之，六而一，得堤积也。
答曰：
高三丈，
上广三丈四尺，
下广一丈八尺，
袤六丈六尺；
甲县高一丈五尺，
袤三丈三尺，
上广二丈一尺；
乙县高二丈一尺，
袤一丈三尺二寸，
上广二丈二尺二寸；
丙县高三丈，袤一丈九尺八寸，
上广二丈四尺。
上广三丈四尺，
下广一丈八尺，
袤六丈六尺；
甲县高一丈五尺，
袤三丈三尺，
上广二丈一尺；
乙县高二丈一尺，
袤一丈三尺二寸，
上广二丈二尺二寸；
丙县高三丈，袤一丈九尺八寸，
上广二丈四尺。
求龙尾堤广、袤、高，术曰：以程功乘总人，为堤积。又六因之，为虚积。以少高乘少袤，为隅幂。以少上广乘之，为鳖隅积。以减虚积，余，三约之，所得为实。并少高、袤，以少上广乘之，为鳖从横廉幂。三而一，加隅幂，为方法。又三除少上广，以少袤、少高加之，为廉法，从。开立方除之，得下广。加差，即高、广、袤。
求逐县均给积尺受广、袤，术曰：以程功乘当县人，当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高，为法。除之，为实。又三因末广，以袤乘之，广差而一，为都廉，从。开立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，即甲高。又以广差乘甲袤，以本袤除之，所得加末广，即甲上广。其甲上广即乙末广，其甲高即垣高。求实与都廉，如前。又并甲上下广，三之，乘甲高，又乘袤幂，以法除之，得垣方，从。开立方除之，即乙袤。余放此（此龙尾犹羡除也。其堑堵一，鳖腝一，并而相连。今以袤再乘积，广差乘高而一，所得截鳖腝袤再自乘，为立方一。又堑堵袤自乘，为幂一。又三因末广，以袤乘之，广差而一，与幂为高，故为廉法）。
答曰：
漘上广五丈八尺二寸一分；
甲郡正袤一百四十四丈，
斜袤一百四十四丈三尺，
上广二十六丈四寸，
深一十一丈一尺六寸；
乙郡正袤一百一十五丈二尺，
斜袤一百一十五丈四尺四寸，
上广四十丈九尺二寸，
深一十八丈六尺；
丙郡正袤五十七丈六尺，
斜袤五十七丈七尺二寸，
上广四十八丈三尺六寸，
深二十二丈三尺二寸，
丁郡正袤二十八丈八尺，
斜袤二十八丈八尺六寸，
上广五十二丈八寸，
深二十四丈一尺八寸。
甲郡正袤一百四十四丈，
斜袤一百四十四丈三尺，
上广二十六丈四寸，
深一十一丈一尺六寸；
乙郡正袤一百一十五丈二尺，
斜袤一百一十五丈四尺四寸，
上广四十丈九尺二寸，
深一十八丈六尺；
丙郡正袤五十七丈六尺，
斜袤五十七丈七尺二寸，
上广四十八丈三尺六寸，
深二十二丈三尺二寸，
丁郡正袤二十八丈八尺，
斜袤二十八丈八尺六寸，
上广五十二丈八寸，
深二十四丈一尺八寸。
术曰：如筑堤术入之（覆堤为河，彼注甚明，高深稍殊，程功是同，意可知也）。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，为积。又六因，以乘袤幂。以上广差乘深差，为法。除之，为实。又并小头上、下广，以乘小头深，三之，为垣头幂。又乘袤幂，以法除之，为垣方。三因小头上广，以乘正袤，以广差除之，为都廉，从。开立方除之，即得小头袤，为甲袤。求深、广，以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤，以本袤除之，所得加小头上广，即甲上广。以小头深减南头深，余以乘甲袤，以本袤除之，所得加小头深，即甲深。又正袤自乘，深差自乘，并，而开方除之，即斜袤。若求乙、丙、丁，每以前大深、广为后小深、广，准甲求之，即得。
求漘上广，术曰：以程功乘总人，又以限日乘之，为积。六因之，为实。以正袤除之，又以高除之，所得以下广减之，余又半之，即漘上广。
答曰：
窖上广八丈，
上袤九丈，
下广一十丈，
下袤一十二丈，
深三丈；
甲郡八千七十二人，
深一十二尺，
下袤一十丈二尺，
广八丈八尺；
乙郡七千二百七十二人，
深九尺，
下袤一十一丈一尺，
广九丈四尺；
丙郡五千四百七十三人，
深六尺，下袤一十一丈七尺，
广九丈八尺；
丁郡二千九百三十三人，
深三尺，
下袤一十二丈，
广一十丈。
上袤九丈，
下广一十丈，
下袤一十二丈，
深三丈；
甲郡八千七十二人，
深一十二尺，
下袤一十丈二尺，
广八丈八尺；
乙郡七千二百七十二人，
深九尺，
下袤一十一丈一尺，
广九丈四尺；
丙郡五千四百七十三人，
深六尺，下袤一十一丈七尺，
广九丈八尺；
丁郡二千九百三十三人，
深三尺，
下袤一十二丈，
广一十丈。
求窖深、广、袤，术曰：以斛法乘总粟，为积尺。又广差乘袤差，三而一，为隅阳幂。乃置堑上广，半广差加之，以乘堑上袤，为隅头幂。又半袤差，乘堑上广，以隅阳幂及隅头幂加之，为方法。又置堑上袤及堑上广，并之，为大广。又并广差及袤差，半之，以加大广，为廉法，从。开立方除之，即深。各加差，即合所问。
求均给积尺受广、袤、深，术曰：如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟，为积尺。又三因，以深幂乘之，以广差乘袤差而一，为实。深乘上广，广差而一，为上广之高。深乘上袤，袤差而一，为上袤之高。上广之高乘上袤之高，三之，为方法。又并两高，三之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即甲深。以袤差乘之，以本深除之，所加上袤，即甲下袤。以广差乘之，本深除之，所得加上广，即甲下广。若求乙、丙、丁，每以前下广、袤为后上广、袤，以次皆准此求之，即得。若求人数，各以程功约当郡积尺。
答曰：
上方三尺，
下方九尺，
高一丈二尺；
余粟深、上方俱六尺。
下方九尺，
高一丈二尺；
余粟深、上方俱六尺。
求仓方、高，术曰：以斛法乘容粟，为积尺。又方差自乘，三而一，为隅阳幂。以乘截高，以减积，余为实。又方差乘截高，加隅阳幂，为方法。又置方差，加截高，为廉法，从。开立方除之，即上方。加差，即合所问。
求余粟高及上方，术曰：以斛法乘出粟，三之，以乘高幂，令方差幂而一，为实（此是大、小高各自乘，各乘取高。是大高者，即是取高与小高并）。高乘上方，方差而一，为小高。令自乘，三之，为方法。三因小高，为廉法，从。开立方除之，得取出高。以减本高，余即残粟高。置出粟高，又以方差乘之，以本高除之，所得加上方，即余粟上方（此本术曰：上下方相乘，又各自乘，并以高乘之，三而一。今还元，三之，又高幂乘之，差幂而一，得大小高相乘，又各自乘之数。何者？若高乘下方，方差而一，得大高也。若高乘上方，方差而一，得小高也。然则斯本下方自乘，故须高自乘乘之，差自乘而一，即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者，即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一，隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高，为幂二。又大小高相乘，为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘，即是小方之幂又一。则小高乘大高，又各自乘三等幂，皆以乘取高为立积。故三因小幂为方，及三小高为廉也）。
答曰：
高四丈八尺，
上广三丈六尺，
袤六丈六尺。
上广三丈六尺，
袤六丈六尺。
求甲县均给积尺受广、袤，术曰：以程功乘乙县人数，又以限日乘之，为积尺。以六因之，又高幂乘之，又袤差乘广而一，所得又半之，为实。高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。三因上袤之高，半之，为廉法，从。开立方除之，得乙高。以减甍高，余即甲高。求广、袤，依率求之（此乙积本倍下袤，上袤从之。以下广及高乘之，六而一，为一甍积。今还元须六因之，以高幂乘之，为实。袤差乘广而一，得取高自乘以乘三上袤之高，则三小高为廉法，各以取高为方。仍有取高为立方者二，故半之，为立方一。又须半廉法）。
答曰：
一周一丈八尺，
下周三丈，
高三丈六尺，
去口一丈八尺，
粟周二丈四尺。
下周三丈，
高三丈六尺，
去口一丈八尺，
粟周二丈四尺。
求圆囤上下周及高，术曰：以斛法乘容粟，又三十六乘之，三而一，为方亭之积。又以周差自乘，三而一，为隅阳幂。以乘截高，以减亭积，余为实。又周差乘截高，加隅阳幂，为方法。又以周差加截高，为廉法，从。开立方除之，得上周。加差，而合所问。
求粟去口，术曰：以斛法乘出斛，三十六乘之，以乘高幂，如周差幂而一，为实。高乘上周，周差而一，为小高。令自乘，三之，为方法。三因小高，为廉法，从。开立方除之，即去口（三十六乘讫，即是截方亭，与前方窖不别）。置去口，以周差乘之，以本高除之，所得加上周，即粟周。
10、假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升，欲作方仓一，圆窖一，盛各满中而粟适尽。令高、深等，使方面少于圆径九寸，多于高二丈九尺八寸，率径七，周二十二。问：方、径、深多少？
答曰：
仓方四丈五尺三寸（容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合），
窖径四丈六尺二寸（容粟一万三百九十七石七斗七升二合），
高与深各一丈五尺五寸。
窖径四丈六尺二寸（容粟一万三百九十七石七斗七升二合），
高与深各一丈五尺五寸。
求方、径高深，术曰：十四乘斛法，以乘粟数，二十五而一，为实。又倍多加少，以乘少数，又十一乘之，二十五而一，多自乘加之，为方法。又倍少数，十一乘之，二十五而一，又倍多加之，为廉法，从。开立方除之，即高、深。各加差，即方径（一十四乘斛法，以乘粟为积尺。前一十四馀，今还元，一十四乘。为径自乘者，是一十一；方自乘者，是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同，二径各自乘为方，大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸，堑径三丈七寸，皆成方面。此应堑方自乘，一十四乘之；堑径自乘，一十一乘之，二十五而一，为隅幂，即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省，倍小隅方，加差为矩袤，以差乘之为矩幂。一十一乘之，二十五而一。又差自乘之数，即是方圆之隅同有此数，若二十五乘之，还须二十五除。直以差自乘加之，故不复乘除。又须倍二廉之差，一十一乘之，二十五而一，倍差加之，为廉法，不复二十五乘除之也）。
还元，术曰：仓方自乘，以高乘之，为实。圆径自乘，以深乘之，一十一乘，一十四而一，为实。皆为斛法除之，即得容粟（斛法二尺五寸）。
11、假令有粟一万六千三百四十八石八斗，欲作方仓四、圆窖三，令高、深等，方面少于圆径一丈，多于高五尺，斛法二尺五寸，率径七，周二十二。问：方、高、径多少？
答曰：
方一丈八尺，
高深一丈三尺，
圆径二丈八尺。
高深一丈三尺，
圆径二丈八尺。
术曰：以一十四乘斛法，以乘粟数，如八十九而一，为实。倍多加少，以乘少数，三十三乘之，八十九而一，多自乘加之，为方法。又倍少数，以三十三乘之，八十九而一，倍多加之，为廉法，从。开立方除之，即高、深。各加差，即方径（一十四乘斛法，以乘粟，为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四，即四因十四。圆窖三，即三因十一。并之，为八十九，而一。此堑径一丈五尺，堑方五尺，以高为立方。自外意同前）。
12、假令有粟三千七十二石，欲作方仓一、圆窖一，令径与方等，方于窖深二尺，少于仓高三尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、高、深各多少？
答曰：
方、径各一丈六尺，
高一丈九尺，
深一丈四尺。
高一丈九尺，
深一丈四尺。
术曰：三十五乘粟，二十五而一，为率。多自乘，以并多少乘之，以乘一十四，如二十五而一，所得以减率，余为实。并多少，以乘多，倍之，乘一十四，如二十五而一，多自乘加之，为方法。又并多少，以乘一十四，如二十五而一，加多加之，为廉法，从。开立方除之，即窖深。各加差，即方、径、高（截高五尺，堑径及方二尺，以深为立方。十四乘斛法，故三十五乘粟。多自乘并多少乘之，为截高隅积，即二廉，方各二尺，长五尺。自外意旨皆与前同）。
13、假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圆窖各一，令口小底大，方面于圆径等，两深亦同，其深少于下方七尺，多于上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、深各多少？
答曰：
上方、径各七尺，
下方、径各二丈八尺，
深各二丈一尺。
下方、径各二丈八尺，
深各二丈一尺。
术曰：以四十二乘斛法，以乘粟，七十五而一，为方亭积。令方差自乘，三而一，为隅阳幂，以截多乘之，减积，余为实。以多乘差，加幂，为方法。多加差，为廉法，从。开立方除之，即上方。加差，即合所问（凡方亭，上下方相乘，又各自乘，并以乘高，为虚。命三而一，为方亭积。若圆亭上下径相乘，又各自乘，并以乘高，为虚。又十一乘之，四十二而一，为圆亭积。今方、圆二积并在一处，故以四十二复乘之，即得圆虚十一，方虚十四，凡二十五，而一，得一虚之积。又三除虚积，为方亭实。乃依方亭复问法，见上下方差及高差与积求上下方高术入之，故三乘，二十五而一）。
14、假令有粟二万六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圆窖四，令口小底大，方面与圆径等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问上下方、深数各多少？
答曰：
方窖上方七尺，
下方二丈八尺，
深二丈一尺，
圆窖上下径、深与方窖同。
下方二丈八尺，
深二丈一尺，
圆窖上下径、深与方窖同。
术曰：以四十二乘斛法，以乘粟，三百八十四而一，为方亭积尺。令方差自乘，三而一，为隅阳幂。以多乘之，以减积，余为实。以多乘差，加幂，为方法。又以多加差，为廉法，从。开立方除之，即上方。加差，即合所问（今以四十二乘。圆虚十一者四，方虚十四者六，合一百二十八虚，除之，为一虚之积。得者仍三而一，为方亭实积。乃依方亭见差复问求之，故三乘，一百二十八除之）。
15、假令有句股相乘幂七百六十五分之一，弦多于句三十六十分之九。问：三事各多少？
答曰：
句十四二十分之七，
股四十九五分之一，
弦五十一四分之一。
股四十九五分之一，
弦五十一四分之一。
术曰：幂自乘，倍多数而一，为实。半多数，为廉法，从。开立方除之，即句。以弦多句加之，即弦。以句除幂，即股（句股相乘幂自乘，与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一，得一句与半差之共乘句幂，为方。故半差为廉法，从，开立方除之。按：此术原本不全，今依句股义拟补十三字）。
16、假令有句股相乘幂四千三十六五分之□，股少于弦六五分之一。问：弦多少？（按：此问原本缺二字，今依文补一股字，其股字上之□系所设分数，未便悬拟，今姑阙之）。
答曰：弦一百一十四十分之七。
术曰：幂自乘，倍少数而一，为实。半少，为廉法，从。开立方除之，即股。加差，即弦。
17、假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。问：股多少？
答曰：九十二五分之二。
术曰：幂自乘，倍多而一，为立幂。又多再自乘，半之，减立幂，余为实。又多数自乘，倍之，为方法。又置多数，五之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即股（句弦相乘幂自乘，即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一，得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一）。
案：此术脱简既多，法亦烦扰，宜云幂自乘，多数而一，所得四之，为实。多为廉法，从。立方开之，得减差，半之，即股（幂自乘，与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差，故差而一，所得乃股弦并乘弦幂）。
18、假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三，句少于弦五十四五分之二。问：股多少？
答曰：六十八。
术曰：幂自乘，倍少数而一，为立幂。又少数再自乘，半之，以减立幂，余为实。又少数自乘，倍之，为方法。又置少数，五之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即句。加差，即弦。弦除幂，即股。
19、假令有股弦相乘幂七百二十六，句七、十分之七。问：股多少？
答曰：股二十六五分之二。
术曰：幂自乘，为实。句自乘，为方法，从。开方除之，所得又开方，即股（□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……）
20、假令有股十六二分之一，句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问：句多少？
20、假令有股十六二分之一，句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问：句多少？
答曰：句八、五分之四。
术曰：幂自乘，为实。股自乘，为方法，从。开方除之，所得又开方，即句。
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按《唐书·选举志》制科之目，明算居一，其定制云：凡算学，孙子、五曹共限一岁，九章、海岛共三岁，张邱建、夏侯阳各一岁，周髀、五经算共一岁，缀术四岁，缉古三岁，记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一，唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之，余则世有不能举其名者。扆半生求之，从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种，从章邱李氏得周髀、缉古二种，后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板，字书端楷，雕镂精工，真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅，又一幅宰辅大臣，自司马相公而下俱列名于后，用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹，不爽毫末，什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种，竟成完璧，并得好事者刊刻流布，俾数学不绝于世，所深愿也。
康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识
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【内容摘要】
王孝通《缉古算经》是现有传本的古算书中，继《九章算术》之后具有较高水平的最重要的算经之一。现传本《缉古算经》最后六题有残缺，虽经孔继涵的微波榭本及张敦仁注本等的校补，第十七、十九两问王氏自注处仍留有缺漏。李俨、严敦杰曾对这两个注文进行过校补，但钱宝琮校点《算经十书》本中没有采用他们的工作。本文亦认为李、严两位先生的补文有缺陷，指出补足这两段注文必须注意以下三点。首先，必须按照各本尚能确定的缺字空位数进行校补；其次，必须和算经中的经文、术文原意相符；最后还要注意，所补的文字必须和王孝通的前后行文习惯一致。本文根据这些原则，参照第十五问王氏的自注及其对立体分割的方法，给出了十七、十九问王氏自注的新的校补方案。
《缉古算经》里共有28个这样的三次方程：
x3＋px2＋qx＝r
（p＞0，q³0，r＞0）
术文对其解法皆简述为：以r为实，以q为方法（若q＝0则无此句），以p为廉法，从。开立方除之，即得x的值。王孝通自注说：“勾股相乘幂自乘，即勾幂乘股幂之积。故以倍勾弦差而一，得一勾与半差相连，乘勾幂为方。故半差为廉法，从。开立方除之。”可见注文乃是对术文的解释。此段注有以下几层意义：
1.“勾股相乘幂自乘，即勾幂乘股幂之积。”即是说：(ab)2＝a2·b2
2．如图1易得：b2＝ 2＋2a ，从而
即所谓：“倍勾弦差而一，得一勾与半差相连，乘勾幂为方”。而所得的“方”即为图2所示的长方体。
3．把图2的体积分成两个部分，即为方程（1）左边的两项，故方程（1）成立。王孝通在《缉古算经》中列三次方程都是通过体积相等关系而得，这题也是如此，下面的十七问也不应例外。
4．“开立方除之”，指解方程的过程。根据以上分析，我们再来看第十七问。题设已知勾弦相乘幂ac，弦多于股c－b，求股b。
同样，该题的注文也应是对术文所列方程的解释。查勾股问题的6题，分为三个类型，十五、十六题相似，十七、十八题相似，十九、二十题相似。所以王氏分别在十五、十七、十九三题设注文，其目的是分别说明这三种类型的方程系数的求法。故我们只要搞清楚术文所给方程的来历，校补注文还是可能办到的。
受十五问注文的启发，我们也从体积相等关系去寻找解决问题的方法。首先看“幂自乘，倍多而一、为立幂”为何指。如图3所示，a2即图中阴影部分面积，从而有
故
可见 亦为一长方体，如图4所示。
1．图4所示的长方体“方”减去一“隅”即方程的“实”。
2．股方为b3，因b就是所要求的未知数，所以股方即方程（2）的三次项。
3．剩下的部分为两个半立廉和两个从隅。注文里还残存“横虚二立廉”“从隅”等字，与我们的分析相合。
4．从隅即：(c－b)2b，故以2(c－b)2为方法，立廉即：(c－b)b2，今有两个又半个立廉；故以5(c－b)/2为廉法。
术曰：幂自乘为实，勾自乘为方法，从。开方除之，所得又开方即股。由术文即有方程
(x2)2＋a2(x2)=(bc)
2
（3）
解法是：先开带从平方得一正根m，再开平方x2＝m，即得股b＝x。
由术文可推知方程（3）可能是用下面的方法而得。因为c2＝a2＋b2,则“股弦相乘幂自乘”即(bc)2＝b2c2＝b2(a2+b2)。若把股幂b2作为所要求的数，即可得到术文所给的方程（3）了。因此，该问的注文可补如下：“股弦相乘幂自乘，即股幂乘弦幂之6数，亦是股幂乘勾幂并股幂也，令股幂数为长，以股幂求之。故勾幂为方法，从。开方得股幂，又开方除之得7股，此8分母常9……”
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1.
2.
3.
4.《缉古算经》，《四库全书》本。
5.
6.
7.
8.
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[1] 应为73个空位。接下的“第20题”应为第19题。
[2]
“半差”二字各本都放在“与”字之后，“半差”二字之后才有5个空位。饯校本依戴震校本误把“半差”放在空位之后，今改正。
[3]
“上”字从上下文考虑疑为“立”字之误，但各本皆作“上”，故仍保留原字。说成“股幂乘多为上廉”亦可通。
[4]张敦仁《细草》本“多”与“法”之间留有空位，但未注明缺字数目；陈杰抄本注明此处“缺不过九字”；四库本“多”与“法”间留有9个空位；钱校本未留空位，也未作说明，不知何故，可能是一时疏忽。今依四库本补9字。
[5]
“二而一”之后，四库本以“．”号表示缺字不知多少；陈杰抄本注明“缺不过九字”；钱校本此处仅留三个空位，也未作说明。今《依缉古算经》叙述的格式补：“从。开立方除之”6字。
[6]
四库本未注明缺字数目；张敦仁《细草》在“数”字之前留有7空，“股”与“为”之间空17位，“股”与“得”间空12位，“开”与“股”间空18位，“常”后未注明多少位。查此残文分别是。数亦是股”与“为长以股”八字两两对齐，“得股幂又开”与“股北分母常”十字也两两对齐，故所空位数可能不表示缺字数。陈杰抄本所留空位与钱校本相同，今依钱校本，在前三处分别补入14字、12字及12字。
[7]
“开”与“股”之间，钱校本以省略号相连，不知缺字的字数，陈杰抄本注明“缺不过十一字”。今依术文补“方除之，得”四字。
[8]
“此”字，各本都作“北”，此处在“分母”之前冠以“北”字，令人不解。该字的前一字“股”字亦不缺，故把“北”与前面的文字搭配也不通。今依李俨、严敦杰的校补改作“此”，因为“此”与“北’字形相似，可能是传抄笔误。
[9]
“常”以下也不知缺字的数目，陈杰本注明“缺不过十一字”。以下注文可能是说明开方中的分母如何处理的问题，李俨等在此补了“开尽”二字，恐不能符合原意。查《缉古算经》其它地方均未论及这个问题，该题的术文也未涉及，所以作者的原意就无法推测，不敢妄补，只得阙疑。
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《緝古算經》，一卷，唐初王孝通撰。成書年代約在西元七世紀初期。孝通初官算曆博士，繼為太史丞。嘗於武德六年(六二三)、九年(六二五)兩次校勘傅仁鈞所編「戊寅元曆」，駁正錯誤三十餘條。所撰緝古算經，包括二十個問題，除第一題是計算月亮方位的天文曆法方面的問題外，第二至五題是修築臺、堤、河道等計算問題，第六至十四題是各種糧倉、糧窖的修築問題，第十五至二十題都是和直角三角形有關的所謂句股問題。現傳本中(明毛晉汲古閣影抄南宋本)，第十七、十八、十九、二十等四問題已殘缺不全。
緝古算經最重要的內容，是關於修築兩端寬狹不一，且高低不同的堤壩之類的問題。孝通從對幾何圖形的認識列出係數一元三次方程式，並完成所謂「帶從開立方」解法。全書二十個問題中，列出的三次方程式多達二十八個。惟所列方程的係數和解出的根，都限於正數。到十一至十三世紀，中國數學在求解方程的方法方面又有顯著的進步，不但可求解任意商次方程，係數亦不限於正數，更有完整的列方程方法。(程光裕)
《缉古算经》与三次方程
唐代立于学官的十部算经中，王孝通《缉古算经》是唯一的一部由唐代学者撰写的。王孝通主要活动于六世纪末和七世纪初。他出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，隋朝时以历算入仕，入唐后被留用，唐朝初年做过算学博士（亦称算历博士），后升任通直郎、太史丞。毕生从事数学和天文工作。唐武德六年（623），因行用的傅仁均《戊寅元历》推算日月食与实际天象不合，与吏部郎中祖孝孙受命研究傅仁均历存在的问题，武德九年（626）又与大理卿崔善为奉诏校勘傅仁均历，驳正术错三十余处，并付太史施行。王孝通所著《缉古算术》，被用作国子监算学馆数学教材，奉为数学经典，故后人称为《缉古算经》。全书一卷（新、旧《唐书》称四卷，但由于一卷的题数与王孝通自述相符，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十题。第一题为推求月球赤纬度数，属于天文历法方面的计算问题，第二题至十四题是修造观象台、修筑堤坝、开挖沟渠，以及建造仓廪和地窖等土木工程和水利工程的施工计算问题，第十五至二十题是勾股问题。这些问题反映了当时开凿运河、修筑长城和大规模城市建设等土木和水利工程施工计算的实际需要。
王孝通在《上缉古算经表》中说：“伏寻《九章》商功篇有平地役功受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。遂于平地之余，续狭邪之法，凡二十术，名曰《缉古》。”①这段话清楚地说明了他写作本书的目的和研究成果。《缉古算经》涉及到立体体积计算、勾股计算、建立和求解三次方程x3＋ax2＋bx＝A（a、b和A，非负），建立和求解双二次方程x4＋ax2＝A（a、A，为正，这是一种特殊形式的四次方程）等数学内容。这类问题与解法大多相当复杂，就当时数学水平而言是相当困难的，因此，在国子监算学馆要学习三年，学习年限仅次于祖氏父子的《缀术》。例如该书第三题，假如从甲、乙、丙、丁四县征派民工修筑河堤，这段河堤的横截面是等腰梯形，已知两端上下底之差，两端高度差，一端上底与高度差，一端高度与堤长之差，且已知各县出工人数，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距离、负重运输效率和筑堤土方量，以及完工时间等，求每人每日可完成的土方量，整段河堤的土方量（即河堤体积）和这段河堤的长度、两端高度、两端上下底宽度，以及各县完成的堤段长度等。前两个问题是比较简单的算术问题，后两个问题则要经过较复杂的推导和几何变换归结为建立和求解形如x3＋ax2＋bx＝A的三次方程。在《缉古算经》第十五题至二十题等属于勾股算术的问题中，王孝通还创造性地把勾股问题引向三次方程，并与代数方法结合起来，扩大了勾股算术的范围，发展了勾股问题的解题方法。在中国数学史上，《缉古算经》是我国现存最早介绍开带从立方法的算书，它集中体现了中国数学家早在公元七世纪在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。在西方，虽然很早就已知道三次方程，但最初解三次方程是利用圆锥曲线的图解法，一直到十三世纪意大利数学家菲波那契才有了三次方程的数值解法，这比王孝通晚了六百多年。王孝通对自己的研究成果十分得意。他在《上缉古算经表》中批评时人称之精妙的《缀术》，“曾不觉方邑进行之术全错不通，刍甍方亭之问于理未尽”，由于《缀术》已经失传，王孝通的说法是否正确，已无从查考，但想来恐有失偏颇。他还宣称，“请访能算之人考论得失，如有排其一字，臣欲谢以千金”，这又未免有些过于自信。以后，宋元数学家创立了天元术、四元术和高次方程数值解法等，取得了更加辉煌的成就。
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资料：《算经十书》
《算经十书》是指①《周髀算经》②《九章算术》③《孙子算经》④《五曹算经》⑤《夏侯阳算经》⑥《张邱建算经》⑦《海岛算经》⑧《五经算术》⑨《缀术》⑩《缉古算经》十部算术著作。它得名于公元656年。
《算经十书》是指①《周髀算经》②《九章算术》③《孙子算经》④《五曹算经》⑤《夏侯阳算经》⑥《张邱建算经》⑦《海岛算经》⑧《五经算术》⑨《缀术》⑩《缉古算经》十部算术著作。它得名于公元656年。
《算经十书》的主要内容如下：
①《周髀算经》作者不详，有可能成书于公元前100年，它原名为《周髀》，到了唐代才改名为《周髀算经》。它不仅是一部数学著作，而且还是我国最古的天文学著作。主要阐明了盖天说和四分历法。在数学上，《周髀》已经采用了相当复杂的分数乘除法，计算太阳在正东西方向离近的时候，运用到了勾股定理。
②《九章算术》是一部现有传本的、最古老的中国数学书。它的编写年代大约是公元100年左右。作者不详，共分为九章，所以称为《九章算术》。《九章算术》对我国的数学发展产生了巨大的影响。１６世纪以前的中国数学书，原则上都遵循《九章算术》的体例。它的正文包括
“ 题 ” 、 “ 答 ” 、 “ 术 ” 三部分。 “ 术 ”
就是解题的思路和方法。由于它的内容比较深奥，所以晋代刘徵对之作注，使得《九章算术》的解题方法等才能为人们所理解。
③《海岛算经》又名《重差》，作者是晋代刘徵。它原是《九章算术·注》的最后一卷。因为在这一卷里依据两个测望数据推算太阳高、远的方法昌，要用到两个差数，所以把这种测量方法称为
“ 重差术 ” ，给这一卷起名为 “ 重差。”
到了唐代选定十部选经进，把《九章算术》和《重差》分开。加之它的第一个题目是测望海岛山峰，计算它的高和远，所以又把《重差》改名为《海岛算经》。作者刘徵总结和发展了
“ 二重差方法 " ，进一步阐明了相似三角形的性质及其应用。
④《
孙子算经》的作者不详，估计是公元400年左右的数学著作。它是一部直接涉及到乘除运算、求面积和体积、处理分数以及开平方和立方的著作。对筹算的分数算法和筹算开平方法以及当时的度量衡体系，都作了描绘，其中有关数论上原一个
“ 物不知数 ” 的计算问题，是世界上最早提出算法的，被誉为 “ 孙子定理 ” 或 “ 中国剩余定理 ”
。其具体内容是，有一个数，用３除它余２，用５除它余３，用７除它余２，求这个数。用现代数学符号来表示是，求一个最小正整数Ｎ，满足联立一次同余式。这个问题后来在民间广为流传，人们称之为
“ 韩信点兵 ” 。并根据它编了一首 “ 孙子歌 ” 来表示它的解法。具体内容是：
意思是说，用３除余１，算70；用５除余１，算21；用７除余１，算15；把70，21，15这些数的倍数加起来，连续减去105，最后得出的最小正整数就是答案。后来，秦九韶在总结
“ 孙子定理 ” 的基础上，创立了 “ 大衍求一术 ”
，发表在《数书九章》上，提出了关于一次同余式组问题的相当完整的理论和算法，取得了兴世公认的杰出成就。
⑤《张邱建算经》的作者是张邱建，大约作于５世纪后期，里面有对最大公约数、最小公倍数的应用问题，不有竺差级数问题，最著名的是提出了不定方程组
—— 百鸡问题，但是没有具体说明其解灶。
⑥《夏侯阳算经》估计是北魏时代的作品。里面概括地叙述了乘除速算法则、分数法则，解释了 ” 法除 ” 、 “
步除 ” 、 “ 约除 ” 、 “ 开平方 ” 、 “ 方立 ”
等法则，另外推广了十进小数的应用，全与现在的表示法不同，计算结果有奇零时借用分、厘、毫、丝等长度单位名称表示文以下的十进小数。
⑦《五曹算经》是一部为地方行政人员所写的应用算术书（作者不可详，有的认为其作者是甄鸾），全书分为田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹等五个项目，所以称为
“ 五曹 ” 算经。所讲问题的解法都浅显易懂，数字计算都尽可能地避免分数。
⑧《五经算术》相传为北周甄鸾所作。主要是应用数学知识或计算技巧，对我国古代经典著作〈尚书〉、《诗经》、《周易》、《论语》、《礼记》中的有关数字计算作以注释。对保存古代数学、遗产，功劳较大。
⑨《数术记遗》虽然记为汉徐岳所著，其实有可能是甄鸾自著折作品，还有些书称〈数术记遗〉为徐岳所著，由甄鸾注解。在这部分中主要成就是大数进法，秦以前早有万、亿、兆等都是十进位，即十万为亿，十亿兆。汉以后改为万进，即万万为亿，万亿为兆等。另外叙述了筹算法、心算法等１３种算法。
⑩《缀术》是南北朝时期伟大的数学家祖冲之和他的儿子所著。里面的问题比较深奥，现已失传。根据其他著作中的记术，里面主要有求圆周率，他是第一个把圆周率精确到六位小数的数学家，比西方要早1000年，另外还有球体积的计算公式：Ｖ＝
π ／４＊２／３Ｄ ３=π/6D 3=4/3πR 3
其中Ｖ为球体积，Ｄ为球直径，Ｒ为球半径。⑩《缉古算经》是唐代王孝通所著。开始称为《缉古》，公元656年立学官后，指定为算术用书，才称为《缉古算经》。这部书最早提出了三次议程，利用三次方程求根方法，解决大规模土方工程计算问题。总之，《算经十书》代表着我国古代数学的最高成就。
《缀术》是祖冲之所作，还是祖暅之所作，中国数学史界至今没有定论，在可以预见的将来，也不可能有定论。不过，有两点是可以肯定的：一，它是祖冲之父子的著作。二，它是中国自汉魏至隋唐水平最高的数学著作。李淳风高度评价了祖冲之的数学贡献，认为“指要精密，算氏之最者也”。他所著的《缀术》，因“学官莫能究其深奥，是故废而不理”。[1]遂失传。稍前于李淳风的王孝通却对《缀术》横加指责，他说：“其祖暅之《缀术》，时人称之精妙，曾不觉方邑进行之术全错不通，刍亭[2]、方亭之间，于理未尽。”[3]那么，到底是《缀术》“全错不通”，还是王孝通“莫能究其深奥”？这一问题虽未引起广泛的讨论，学术界却一直有不同的看法。笔者认为：“王孝通对缀术的指责表明王氏不能理解祖家父子的数学创造，而不是相反。”[4]然而，当时对这种看法的理由说得不充分，现阐述如下。
首先，考察中国传统数学的发展脉络。隋唐虽然是盛世，数学上也有设立算学馆，整理算经十书等举措，但除在天文历法的计算中先后使用了等间距和不等间距内插法外，几无创造。它在数学成就与数学理论上，不仅远低于后来的宋元，而且远低于前此的魏晋南北朝。人们往往只注意明朝数学的落后——它适逢西方文艺复兴前后，西方数学崛起，随后是变量数学的产生，中国从此失去了数学大国的地位，以至于700年后的今天，还没有完全翻过身来，容易引起重视，而同时，却忽视了盛唐数学的落后。因为一方面宋元数学的高潮掩盖了在它前面曾经出现过的低潮，另一方面设立算学馆、明算科，整理算经十书等举措给人以繁荣的假象；同时，人们也不容易将盛世与数学这一重要学科落后联系起来；甚至乾嘉时期人们还认为数学“显于唐，晦于宋”。[5]实际上，隋唐时期没有出现过一位可以与其前刘徽、祖冲之，其后贾宪、秦九韶、李冶、朱世杰等比肩的数学家，也没有创作过一部可以与其前《九章算术》、《九章算术注》、《缀术》，其后《黄帝九章算经细草》、《数书九章》、《测圆海镜》、《详解九章算法》、《算学启蒙》、《四元玉鉴》等等量齐观的数学著作。王孝通的《缉古算经》在解决土木工程中的数学问题上有所推进，其主要贡献是三次方程。而据钱宝琮考证，祖冲之已能解负系数三次方程，[6]比王孝通还高明。李淳风等整理十部算经，很有贡献，然而，除《周髀算经注释》比赵爽注有所推进外，他们对其他算经的注释，意义都不大。尤其是对《九章算术》的注释，从整体上讲，无论是数学成就还是数学理论，都是远远低于刘徽注的作品。[7]应该说，王孝通、李淳风是唐朝最有名的两位数学家．他们尚且如此，遑论其他。事实上，李淳风已经发现隋和唐初的数学不如前代，直言当时的算学馆学官（相当于今天的重点大学数学系教授）对《缀术》“莫能究其深奥，是故废而不理”。这一状况的直接后果是造成《缀术》失传的悲剧。《缀术》列入算学馆教材。但是，是不是实施了教学活动，我很怀疑。教师都不懂，怎样教学生？只好“废而不理”。此语出自一位当时的大数学家，应该是可信的。《唐六典》等史书反映的只是官方文件，而官方文件总不会百分之百的被实行的，任何社会都是这样，唐初也不会例外。顺便说一下《缀术》的失传问题。笔者认为，《缀术》的失传不是在宋初，而是在唐初之后，很可能在安史之乱时。当时没有印刷术，《缀术》只有几个抄本，被废而不理，是很难流传下来的，特别，经不起大的全国性的战乱。在安史之乱之后，又有唐末的大战乱和五代十国的纷争。无论如何，是流传不到宋初的。史书说楚衍“于《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙”，[8]只不过是史家信笔书来，并不是完全靠得住的。楚衍是宋初天算家的领袖，贾宪的老师，天圣初（1023）与宋行古等制《崇天历》，皇佑（1049~1053）中造《司晨星漏历》，后来与周琮同管司天监。可见，最迟在11世纪50年代，楚衍还积极地从事科学活动。宋朝从建国到整个11世纪，没有发生过大的社会动乱或打击文化人的活动，如果楚衍还看到过《缀术》，那么，不到30年后的元丰七年（1084）秘书省刻十部算经时，不会找不到《缀术》而付之阙如。总之，是隋唐数学的落后，导致了《缀术》的失传。其次，与第一点相联系的，我们考察一下李淳风、王孝通对刘徽、祖冲之父子的指责。先看李淳风等对刘徽的指责，主要有三处。第一处是《九章算术》方田章方田术注释中，李淳风等针对刘徽注关于“凡广从相乘谓之幂”的定义，一方面说“观斯注意，积幂义同”；一方面又由幂字的本义，说“循名责实，二者全殊”，指责刘徽关于幂的定义“全乖积步之本义”，表示要“存善去非，略为料简，遗诸后学”。[9]这种指责是没有道理的。《九章算术》没有幂的概念，它所使用的积，既可以是面积，又可以是体积。刘徽则在积中划出广从相乘这一种，称为幂，也就是现在所说的面积。显然，幂是积的一种。换言之，幂是积，而积不一定是幂。在逻辑上，幂是种，积是属，广从相乘是种差。刘徽关于幂的定义符合逻辑学中定义等于属加种差的要求，是十分严谨的。李淳风既看不出积、幂的相同之处，又看不出它们的区别，指责正确的刘徽，恰恰暴露了自己逻辑修养和数学水平的低下，起码远远低于刘徽。[10]
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[1] [唐]李淳风．隋书·律历志上，第388页．北京：中华书局，1973．
[2]
亭,系汲古阁本原文，显有舛误．然当是＂童＂之误，抑或＂甍＂之误，难以定论．戴震改作＂甍＂．
[3]
[唐]王孝通．上缉古算经表．见：郭书春主编．《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册，第358页．郑州：河南教育出版社，1993．此影印汲古阁本．
[4]
郭书春．古代世界数学泰斗刘徽，第372页．济南：山东科学技术出版社，1992．又，古代世界数学泰斗刘徽（繁体字修订本），第374页．台北：明文书局，1995．
[5]
[清]戴震．九章算术提要．见：郭书春主编．《中国科学技术典籍通汇·数学卷》第1册，第96页．郑州：河南教育出版社，1993．此影印武英殿聚珍版．
[6]
钱宝琮主编．中国数学史，第89~90页．北京：科学出版社，1964．又见：郭书春、刘钝主编．《李俨钱宝琮科学史全集》，第5卷，第97~98页．沈阳：辽宁教育出版社，1998．
*本文在2000年10月在“纪念祖冲之逝世1500周年学术讨论会”上宣读，发表于《数学史研究》第七辑，第20~25页。内蒙古大学出版社、九章出版社，2001年12月。
[7]
参考：郭书春．古代世界数学泰斗刘徽，第385~387页．济南：山东科学技术出版社，1992．又，古代世界数学泰斗刘徽（繁体字修订本），第386~388页．台北：明文书局，1995．
[8]
[元]脱脱等．宋史·楚衍传，第13517~13518页．北京：中华书局，1977．
[9] 见：九章算术．郭书春汇校，第181~182
页．沈阳：辽宁教育出版社，1990．
[10]
郭书春．古代世界数学泰斗刘徽，第185~186页．济南：山东科学技术出版社，1992．又：古代世界数学泰斗刘徽（繁体字修订本），第184页．台北：明文书局，1995．
[11] 九章算术．郭书春汇校，第195页．沈阳：辽宁教育出版社，1990．
[12]
钱宝琮主编．中国数学史，第101页．北京：科学出版社，1964．又见：郭书春、刘钝主编．《李俨钱宝琮科学史全集》，第5卷，第110页．沈阳：辽宁教育出版社，1998．
[13]
九章算术．郭书春汇校，第265~266页．沈阳：辽宁教育出版社，1990．
[14]
九章算术．郭书春汇校，第263~264页．沈阳：辽宁教育出版社，1990．
[15]
参见：郭书春．古代世界数学泰斗刘徽，第256~260页．济南：山东科学技术出版社，1992．又，古代世界数学泰斗刘徽（繁体字修订本），第256~259页．台北：明文书局，1995．
[16] 九章算术．郭书春汇校，第265页．沈阳：辽宁教育出版社，1990．
[17]
[唐]王孝通．上缉古算经表．见：郭书春主编．《中国科学技术典籍通汇·数学卷》，第1册，第358页．郑州：河南教育出版社，1993．
[18]
郭书春．古代世界数学泰斗刘徽，第298~299页．济南：山东科学技术出版社，1992．又：古代世界数学泰斗刘徽（繁体字修订本），第298页．台北：明文书局，1995．
[19]
钱宝琮．钱宝琮诗词．见：《李俨钱宝琮科学史全集》第4卷，第549页．沈阳：辽宁教育出版社，1998．
[20]
[唐]王孝通．上缉古算经表．见：郭书春主编．《中国科学技术典籍通汇·数学卷》，第1册，第358页．郑州：河南教育出版社，1993．
[21]
[唐]王孝通．上缉古算经表．见：郭书春主编．《中国科学技术典籍通汇·数学卷》，第1册，第358页．郑州：河南教育出版社，1993．
[22]
[清]焦循．加减乘除释，卷三．见：郭书春主编．《中国科学技术典籍通汇·数学卷》，第4册，第1335页
．郑州：河南教育出版社，1993．
[23]
[唐]王孝通．上缉古算经表．见：郭书春主编．《中国科学技术典籍通汇·数学卷》，第1册，第358页．郑州：河南教育出版社，1993．
[24]
[唐]王孝通．缉古算经．见：郭书春主编．《中国科学技术典籍通汇·数学卷》，第1册，第359页郑州：河南教育出版社，1993
[25]
钱宝琮主编．中国数学史，第89~90页．北京：科学出版社，1964．又见：郭书春、刘钝主编．《李俨钱宝琮科学史全集》，第5卷，第97~98页．沈阳：辽宁教育出版社，1998．
[26]
郭书春．古代世界数学泰斗刘徽，第383页．济南：山东科学技术出版社，1992．又：古代世界数学泰斗刘徽（繁体字修订本），第384页．台北：明文书局，1995．
[27] [明]顾应祥．测圆算术叙．见：郭书春主编．《
中国科学技术典籍通汇·数学卷》，第2册，第1109页．郑州：河南教育出版社，1993 ．
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horner）才得出同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（《黄帝九章算法细草》已佚）公元1088—1095年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈括还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。
（1）以算法为中心，属于应用数学。中国数学不脱离社会生活与生产的实际，以解决实际问题为目标，数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的。
（2）具有较强的社会性。中国传统数学文化中，数学被儒学家培养人的道德与技能的基本知识---六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一，它的作用在于“通神明、顺性命，经世务、类万物”，所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印，往往与术数交织在一起。同时，数学教育与研究往往被封建政府所控制，唐宋时代的数学教育与科举制度、历代数学家往往是政府的天文官员，这些事例充分反映了这一性质。
（3）寓理于算，理论高度概括。由于中国传统数学注重解决实际问题，而且因中国人综合、归纳思维的决定，所以中国传统数学不关心数学理论的形式化，但这并不意味中国传统仅停留在经验层次而无理论建树。其实中国数学的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础，中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上，如代数中的“率”的理论，平面几何中的“出入相补”原理，立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“截面原理”（或称刘祖原理，即卡瓦列利原理）
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