换元十法例谈

徐辉

在数学解题的过程中，根据已知条件，引入一个或几个新的变量来代替原来的某些变量，对新变量求解出结果，再返回去求原变量的的结果，这种方法，我们称之为换元法。换元法是解决数学问题的一个重要工具，恰当地使用它，常能够化难为易，化繁为简，化生为熟，化未知为已知。下面，我们举例来说明换元的几种常用方法。

例1（均值换元）已知，求证

证：设其中，则

=

例2（和差换元）求函数的最大值（90年高考题）

解：设则由 知即由知

从而

     ，故当时，

例3（比值换元）已知求证：

证：设 则

    从而

例4（对偶换元）求函数的值域（2001年全国联赛题）

解：令则

即 显然

 从而 

例5（三角换元）已知实数满足求的最值。

解：设则

例6（整体换元）已知求的值域。

解：设 则，

    从而

例7（二元换元）已知求的值域。

解：令，则 所以点（）既在直线上，又在圆上，

从而有，当时，

例8（降次换元）已知，求证： 

证：设，由已知可得，即

从而

例9（对称换元）设且，求的值。

解：由可设

由 

        若，则 若，则

        故

例10（参数换元）如果实数满足等式 ，那么的最大值是（    ）（90年高考题）。

（A）    （B）    （C）    （D）

解：令 则，直线与圆有公共点的充要条件是，解之得，故选（D）。

以上我们简单介绍了换元的十种常用方法，希望同学们在日常的解题实践中多注意归纳、概括与总结，不断丰富自己的解题经验，提高自己的解题速度与解题技巧，只有这样，才能在高考有限的时间之内找出最佳的解题途径，获得理想的考试成绩。