例谈数学归纳法的几种表现形式

徐  辉

数学归纳法是高中数学中最基本也是最重要的方法之一，它的实质在于将一个无法（或是很难）穷尽验证的命题转化为证明两个普遍命题：“p(1)真”和“若p(k)真，则P(k+1)真”。数学归纳法有多种表现形式，下面我们结合例题对之作一个简要的阐述。

一、第一数学归纳法  此即高中数学所学习的数学归纳法，设p(n)是关于自然数n的命题，若

①（奠基）p(1)成立；

②（归纳）假设p(k)成立可以推出p(k+1)成立，则p(n)是对一切自然数n均成立。

例1：(参见例6).

二、第二数学归纳法  设p(n)是关于自然数n的命题，若

①（奠基）p(1)成立；

②（归纳）假设当n≤k（k为任意自然数）时p(1≤n≤k)成立可以推出p(k+1)

成立，则p(n)是对一切自然数n均成立。

第二数学归纳法的变式：

①成立；

②假设和成立，可以推出成立，则对一切自然数成立。

例2：已知数列其中（n=1,2,…）求证：

（n=1,2,…）

证：(1)n=1时,,

而.   故当n=1时命题成立; 

 当n=2时，，

, 故当n=2时命题也成立.

(2)假设当时命题成立,即,则当时,

.

    所以时命题也成立,从而原命题对一切自然数均成立.

三、跳跃式数学归纳法  设p(n)是关于自然数n的命题，若

①成立；

②假设成立（为任意自然数）可推出成立，则对一切自然数成立。

例3、试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n>7,nN)分的邮资。

证：(1) 当n=8,9,…,15时,直接验证知命题成立.

(2)假设当n=k(k>7)命题成立,则当n=k+8时,命题显然也成立.

故原命题得证.

四、双重数学归纳法

设是与两个独立的自然数m和n有关的命题，若

①成立；

②对任意的自然数，假设成立可以推出和都成立，则对任何自然数m和n, 都成立。

例4：已知求证：

证：(1)当m=n=1时,不等式成立;

(2)对任意的k,l,假设有和,则

即和都成立,故原命题成立.

五、跷跷板数学归纳法  有两个与自然数有关的命题A_n,B_n,若

①A₁成立；

②假设A_k成立可推出B_k成立；假设B_k成立可推出A_k+1成立，则对于任意自然数n, 命题A_n和B_n均成立。

例5:  设0<a<1, 已知 a₁=1+a,  a_n=, 求证对任意,都有.

证: 令A_n: ,  B_n:

(1) 当n=1时,,故A₁成立.

  当n=2时,,

故A₂成立.

(2) 假设当时,A_n成立,即有, 则

, 故B_n成立;

假设B_n成立,即a_n>1(n), 则,故A _k+1成立.

综上(1)和(2)所述知对任意的和均成立,故对任意的,都有 .

六、反向数学归纳法  设p(n)是关于自然数n的命题，若

① p(n)对无限多个自然数n成立,

② 假设p(k+1)成立可推出p(k)成立,则命题对一切自然数n都成立.

例6: 设求证:.(#)

证: (1) 首先证明当时不等式成立(对m用第一数学归纳法)

 当m=1时,n=2^m=2,显然成立；

 假设当m=k(k)即n=2^k时，有,则当m=k+1, 即n=2^k+1时，

。故当m=k+1，不等式也成立。

从而当时，不等式成立。

(2)(对n用反向数学归纳法) 假设当n=k+1时,(#)式成立,

则当n=k时，令Ａ＝，

从而

所以，即，故当n=k时，(#)式也成立，从而对一切自然数n(#)式都成立．