三年级.方阵问题

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知识要点：

探索1：一正方形，每边20人，角上都有1人，问总人数？

算法：

公式1：如何求得每层的总数。

1、每层总数=每边数量×4-4；

2、每层总数=（每边数量-1）×4；

3、每层总数=（每边数量-2）×4+4；

公式2：如何求得实心方阵的总数。

1、最外层每边人数×最外层每边人数=最外层每边人数²---------类似于正方形的面积公式。

2、也可以由里到外把每一层的总数加起来得到方阵的总数量；

公式3：如何求得空心方阵的总数。

1、空心方阵的总数=假装是一个实心方阵的数量-空心部分缺少的实心方阵的数量；

2、空心方阵的总数=（最外层每边数量-层数）×层数×4。

3、空心方阵的总数=可以把每一层的总数加起来。

公式4：如何求得方阵中的每一边的数量。

每边数量=一层的总数÷4+1；

每边数量=（一层的总数+4）÷4；

每边数量=（一层的总数-4）÷4+2；

公式5：知道空心方阵的层数和总数，怎么求最外层每边数量。

1、总数÷4÷层数+层数=最外层每边数量。

公式6：等差数列中。

1、末项=首项+（项数-1）×公差；

2、求和公式=（首项+末项）×项数÷2；

3、中项公式=和÷项数------------此时项数是奇数。

4、中间两项平均数=和÷项数----此时项数是偶数。

探索2：

方阵中相邻两层的关系

1、偶数阶实心方阵；（每层的每边数量为偶数）。

从最里面的第一层开始，相邻两层的总数量相差8个。从里往外，第一层共4个，第二层共12个，第三层共20个，.........第n层共：8（n-1）+4个。依次为4、8、12、20、28、36.........。

从最里面的第一层开始，相邻两层的每边数量相差2个。从里往外，第一层每边2个，第二层每边4个，第三层每边6个，第四层每边8个，.........第n层每边2n个。依次为2、4、6、8、10........个。

2、奇数阶实心方阵；（每层的每边数量为奇数）。

从最里面的第一层开始，第二层比第一层多8-1=7个，第三层比第二层多16-8=8个，第四层比第三层也是多8个。即第二层比第一层多7个，其他相邻两层都是相差8个。从里往外，第一层共1个，第二层共8个，第三层共16个，第四层共24个，.........第n层（n≥2时才成立。）共：8（n-1）个。依次为1、8、16、24、32、40........个。

从最里面的第一层开始，相邻两层的每边数量相差2个。从里往外，第一层每边1个，第二层每边3个，第三层每边5个，第四层每边7个，.........第n层每边（2n-1）个。依次为1、3、5、7、9........个。

1、一般来说，相邻两层，每边相差2个，总数相差8个。

2、唯一特殊的是：奇数阶实心方阵中，最里面第二层比第一层总数相差7个。

3、其他都是一样的。