1、 对于一个自然数N，如果具有以下的性质就叫做“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除。请问：一共有多少个不大于10的破坏数？

分析：不大于10即≤10，即0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

设一个自然数是X（X不一定是两位数，是一个未知数）。

（1） 当N=0时。新的数是X0是0+1=1的倍数，所以N=0，0不是破坏数。

（2） 当N=1时。新的多位数是X1，X1是1+1=2的倍数吗？因为X1是奇数，肯定不是2的倍数，所以N=1是破坏数。

（3） 当N=奇数1、3、5、7、9时，把它们放在任何一个数的后面，都会使得新的数是一个奇数，但是奇数1、3、5、7、9分别加上1之后都是一个偶数。即N+1一定是偶数。因为一个奇数不可以是一个偶数的倍数，所以N=1\3\5\7\9都是破坏数。X3不是1+3=4的倍数，X+5不是1+5=6的倍数，X7不是7+1=8的倍数，X9不是1+9=10的倍数。

（4） 还要考虑2、4、6、8、10。当N=2时，x2是2+1=3的倍数，这个是存在的，比如72÷3=24，不是破坏数。X4不可以是4+1=5的倍数，所以N=4也是破坏数。X6可以是6+1=7的倍数，比如56是7的倍数。X8可以是8+1=9的倍数，比如18是9的倍数。X10也可以是10+1=11的倍数，比如110是11的倍数。

总之:破坏数是：1、3、5、7、9以及4 共6个。

2、 甲乙两个人玩一个数字游戏。甲先将一个三位数的百位和个位填好，然后乙再来填写这个三位数的十位上的数字。如果最后这个三位数能被11整除，那么乙获得胜利。如果这个三位数不能被11整除，那么乙就败了，即甲胜利。甲想了一会，想到了一个必胜的办法。请问：甲的必胜办法是怎么样的？

分析：设三位数是ABC。

百位和个位的数字和是:A+C，因为A+C最小是1+0=1，最大是9+9=18。所以A+C的和范围是1到18即奇数位的数字和范围是1到18。

乙填写的B即偶数位的数字和位B。

A+C与B的差必须是11的倍数，则乙胜利。如果不是11的倍数，则甲胜。

因为A+C=0到18，

当A+C=0到9时，乙可以填写B对应0到9，可以使得差是0，则三位数是11的倍数，那么乙胜利。

当A+C=10时，差是0则B=10不行，差是11呢，B=21不行，所以当A+C=10时，B无论填写多少，都不是11的倍数，则甲必胜。

当A+C=11到18时，乙可以对应填0、1、2、3、4、5、6、7，差都是11，所以A+C=11到18时，乙可以胜利。

所以甲填写A+C和满足10就可以获胜。

3、 一个多位数（两位或者两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0，如果它能被11整除。这个多位数最小是多少？

分析：

（1） 两位数时。设两位数是AB，差是A-B是11的倍数，则A=B才行，所以与题目要求互不相同矛盾，所以不成立；

三位数时。设三位数ABC，因为数字互不相同，三位数要最小，那么先考虑A=1时，则1+C与B的差是11的倍数，差是0，101不可以，110不可以，121不可以，132可以。所以最小是132 。

4、 请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选择5个组成一个五位数，使得五位数是99的倍数，问这个五位数最大是多少？

分析：99=9×11，是9的倍数也是11的倍数。

数字和一共1+2+3+4+5+6+7=28

选择5个数的和最大为：28-1-2=25---不选择的越小，选择的和越大。

选择5个数的和最小为：28-6-7=15--不选择的越大，选择的和越小。

所以五位数的数字和的范围是15到25之间。

因为五位数的数字和是9的倍数，所以数字和为18。

所以不选的2个数的和为：28-18=10，所以可能是3+7或者4+6不选。

（1） 当3和7不选时，五位数的五个数字分别为：1、2、4、5、6，因为奇数位与偶数位的差是11的倍数，而且奇数位有第1、3、5位，偶数位有第2、4位。

奇数位和+偶数位和=1+2+4+5+6=18

奇数位-偶数位=0、11

当差是0时，奇数位和=（18+0）÷2=9，当差是11时，奇数位和=（18+11）÷2=14.5错了。

所以差只能是0，奇数位和9，偶数位和也是9。

1、2、4、5、6，9=6+2+1=4+5，这个时候五位数最大是：

奇数位一定是6  2  1排列

偶数位一定是5  4  排列

最大是：65241 。

（2） 当4和6不选时。五个数字是1、2、3、5、7，奇数位 数字和是9，偶数位数字和9，9=1+3+5=2+7，所以1、3、5在奇数位，2和7在偶数位，所以最大数是：5 7 3 2 1 。

所以最大是65241 。

5、 一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？

分析：设五位数为AB999。

五位数拆成：

A代表A个10000=A×10000；

B代表B个1000=B×1000;

10000÷23=434余18，1000÷23=43余11，999÷23=43余10

五位数拆成：

AB999=A×10000+B×1000+999

     =A×（23×434+18）+B×（23×43+11）+23×43+10

     =A×23×434+A×18+B×23×43+B×11+23×43+10

     =A×23×434+B×23×43+23×43+A×18+B×11+10

      因为红色部分和是23的倍数，那么当绿色部分为23的倍数，则和即五位数就是23的倍数。

所以： A×18+B×11+10必须是23的倍数。

题目说了，五位数要尽量小，所以A先考虑1的时候。

当A=1时，1×18+B×11+10=28+B×11=23的倍数，把B=0到9代入， 都不成立。所以考虑A=2时，2×18+B×11+ 10=46+B×11=23的倍数，要最小，所以B=0成立。 所以五位数为：20999。

6、 用数字6、7、8各2个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。

分析：6=2×3，是2的倍数也是3的倍数，8：末尾三位数是8的倍数。7：末三位数和之前数的差是7的倍数。

是2的倍数，个位只能是6或者8。

8=4×2，所以是8的倍数，即除以4之后还可以继续除以2，所以是4的倍数。所以末尾两位数是4的倍数。

（1） 当个位是6时。末尾两位数是：66不行。76可以。86不可以。所以末尾两位数位76。再考虑8的倍数，那么末三位数是：776、676、876，看看谁是8的倍数，776÷8=97√，676÷8=84余4×，876÷8=109余4×。所以只有末三位数为776，还剩下8、8、6，六位数可以是：886776、868776、688776，验算是不是7的倍数。886-776=110，110不是7的倍数。868-776=92，92不是7的倍数。776-688=88，88÷7不行。所以个位数是6不成立。

（2） 个位数为8，那么末尾两位数是4的倍数，所以是68、78、88，其中只有68、88成立。同时末尾三位数是8的倍数。末尾三位数可能是：668、768、868、688、788，其中768和688都是8的倍数，成立。末尾三位数为768的时候，前三位是768就成立，768768一定是7的倍数，也是6的倍数，也是8的倍数。所以768768成立。

末尾三位数是：688时，剩6、7、7，六位数可以是：677688、767688、776688，验算哪个是7的倍数。

688-677=11不成。767-688=79，79不是7的倍数不行。776-688=88，88不是7的倍数，所以不行。

答：768768 。

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