小学六年级奥数之比例解行程问题专题

知识点介绍：

（1）  什么是正比例：当两个相关联的量，商（或者比值）一定时，成正比例；1、相关联。2、商或者比值一定。比如速度一定,因为速度=路程÷时间，速度一定，也就是路程和时间的商一定，所以路程和时间成正比例。

（2）  什么是反比例:当两个相关联的量，乘积一定时，成反比例。

1、相关联。2、乘积一定。比如长方形的面积等于长×宽。当长方形面积一定时，即：长与宽的乘积一定，那么长与宽就成反比例。

（3）  行程问题当中的正反比例体现：

  ：当路程一定时，速度和时间成反比例；

速度与时间的乘积一定，所以速度和时间成反比例。

  ：当速度一定时，路程和时间成正比例；

路程÷时间的商一定，那么路程和时间成正比例。

  ：当时间一定时，路程和速度成正比例；

路程÷速度的商一定，那么路程和速度成正比例。

（4）  如何使用行程问题中的正反比例的方法来解题，我们要看清楚题目中到底是路程一定，时间一定，还是速度一定。

 ：路程=速度×时间，路程一定就是代表速度和时间两个相关联的量的乘积一定，所以速度和时间成反比例；

 ：速度=路程÷时间，速度一定就是代表路程和时间的比值或者商一定，所以路程和时间成正比例；

 ：时间=路程÷速度，时间一定就是代表路程和速度的比值或者商一定，所以路程和速度成正比例。

 

一、 基础例题

1、  小米和武汉童老师要从甲地去乙地，小米每分钟走60米，武汉童老师每分钟走80米，又知道小米用的时间比童老师多15分钟，问甲乙两地相距多少米？

武汉童老师分析：

路程一定，即都是从甲地到乙地。

路程一定，速度和时间成反比例。

V小米：V老师=60：80=3：4

时间比就为：

T小米：T老师=4：3

1份时间：15÷（4-3）=15分钟

老师时间：15×3=45分钟。小米时间=45+15=60分钟

甲乙全长：80×45=60×60=3600米。

2、  小米周六从家去公园与小米周日从家到公园步行的时间比是4：5，已知小米两天的速度差是每分钟相差20米，问周六和周日小米的速度分别是多少米每分钟？

武汉童老师分析：

周六和周日都从“家到公园”，所以“路程是一定的”

路程一定时，速度和时间成反比例。

因为：

T周六：T周日=4:5

所以速度比为：

V周六：V周日=5：4

1份速度=20÷（5-4）=20米每分钟

V周六=20×5=100米每分钟

V周日=20×4=80米每分钟

3、  小米和老师都是从甲地去乙地，发现老师比小米少用2分钟，知道老师每分钟走60米，小米每分钟走40米，问甲乙两地之间相距多少米？

武汉童老师分析：

相等的是什么？三个角度：速度，路程，时间。

速度不相等。时间也不相等。所以只能是路程相等。

路程一定时，速度和时间成反比例。

V小米：V老师=40：60=2：3

T小米：T老师=3：2

1份时间=2÷（3-2）=2分钟

所以

T老师=2×2=4分钟

甲乙距离为：4×60=240米

 

4、  小米和小明周六都从家里出发去公园玩，两人的速度相同，已知小米比小明多走了1000米，且小米和小明的时间比是7：5，问小米和小明各自走了多少米的路程？

武汉童老师分析：

是路程，速度时间哪一个是相等的。

路程显然不同，时间也不同，只能是速度相等，题目也说了：速度相等。

速度一定时，路程和时间成正比例。

因为

T小米：T小明=7：5

所以

S小米：S小明=7：5

所以，2份路程就是1000米

1份路程=1000÷（7-5）=500米，那么路程分别是：

500×7=3500米

500×5=2500米

5、  路程一定时，速度和时间成（   B     ）比？

A:正        B：反      C：不成

6、速度一定时，路程和时间成（   A   ）比？

A:正        B：反      C：不成

7、时间一定时，路程和速度成（   A   ）比？

A:正        B：反      C：不成

8、在行程问题中，S表示（  B   ），V表示（    C    ），t表示（    A    ）。

A：时间      B:路程       C:速度

拓展（相关）一下

9、工作总量一定时，工作效率和工作时间成（  B   ）比？

A:正        B：反      C：不成

分析：

工作总量=工作效率×工作时间，所以工作总量一定时，工作效率和工作时间的乘积一定，乘积一定，我们说了成反比例的。所以选择B。

10、圆里，周长和直径成（  A   ）比？

A:正        B：反      C：不成

分析：周长和直径相关联。就看周长和直径的乘积一定吗？周长和直径的商一定吗？或者不成比例：指的是商和乘积都不一定。

因为周长=π×直径。所以周长÷直径=圆周率=π------是一定的，所以得到：周长与直径的比值或者是商是一定的，所以周长和直径成正比例。

二、 提升例题

1、  一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。求甲、乙两地的距离。

 

武汉童老师分析：

路程一定，都是从甲到乙。速度和时间反比例。

（1）、速度比：1：120%=5：6，所以时间比：6：5，相差1小时，所以1份就是1小时，所以原来时间：1÷（6-5）×6=6小时。

（2）100千米按照原来速度行驶，所以100千米的速度不变，时间不加也不少。所以节约的1小时来自后面剩下的那段路程上。

剩下的路程上，路程不变，速度和时间反比例。

速度比   1：130%=10：13  时间比  13：10  相差13-10=3份时间对应1小时，所以1份时间=1÷3=1/3小时，所以剩下的这段原来时间为：13×1/3=13/3小时。

因为全长的原来时间是6小时，所以得到100千米的原来时间是：6-13/3=5/3小时

即：5/3小时原来走100千米的路程，所以原速度为：100÷5/3=60千米/小时

因为原来时间共6小时，所以全长为：6×60=360千米。

2、  王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

 

武汉童老师分析：

北京到上海的路程一定，速度和时间成反比例。

（1）  速度比  原来：现在=1：10/9=9：10，所以时间比就是 10：9.原来比现在多10-9=1份时间，1份时间=1.5小时，所以全长原来时间=1.5×10=15小时。

（2）  回来时，280千米速度为原来速度，所以280千米时间不增加也不减少，所以余下的路程时间节约了1小时40分钟，剩下的路程，速度比为：原来：现在=1：7/6=6：7，时间比，原来：现在=7：6，1份时间等于=1小时40分钟=100分钟。所以剩下的路程的原来时间是：100÷（7-6）×7=700分钟=35/3小时。

（3）  全长的原来时间为15小时，280千米原来时间不算，剩下的原来时间是35/3小时，所以280千米的原来时间为：15-35/3=10/3小时。即：10/3小时原来可以走280千米。所以原来速度=280÷10/3=84千米/小时。

（4）  全长=84×15=1260千米。

3、  某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？

 

武汉童老师分析：

步行的人一个人一个方向，假设从A点出发，去往B方向；汽车和骑自行车的人一个方向，从B地过来。（假设汽车在B地超过骑自行车的人！）

当走路的在A点时，汽车与骑车人都在B点。10分钟走路的人与骑车相遇，合走一个AB全长。走路的与骑车的10+10=20分钟相遇，合走一个AB全长。

设走路速度为1份，那么骑车速度为3份，那么AB全长=走路的人与骑车的人合走20分钟的总路程，所以AB全长=20×（1+3）=80份。走路的人与汽车10分钟合作AB=80份路程，所以走路的人与汽车的速度和为：80÷10=8份，因为走路的人速度为1份，所以汽车速度为8-1=7份，所以汽车速度÷走路速度=7÷1=7--------7倍。

4、  从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的。一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？

 

武汉童老师分析：

S甲丙：S丙乙=2：3

      V甲丙：V丙乙=1：2

所以上坡和下坡的时间比为：（2÷1）：（3÷2）=2：1.5=4：3

时间为7小时所以上坡即甲丙时间为7÷（4+3）×4=4小时。下坡时间为7-4=3小时。

假设上山速度为1份每小时，下山速度为2份每小时。

那么甲丙长度=1×4=4份，回来变成下山，时间为4÷2=2小时。

乙丙路程为：3×2=6份，回来变成上山，时间为：6÷1=6小时  总时间=2+6=8小时。

5、  甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程。乙火车上午8：00从B站开往A站，开出若干分后，甲火车从A站出发开往B站。上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A，B两站的距离的比是1516。甲火车从A站发车的时间是几点几分？

 

武汉童老师分析：

甲4分钟与乙5分钟走的路程一样长，路程一样，速度和时间成反比例。V甲：V乙=5：4 。

乙火车走了9：00-8：00=1小时=60分钟，设甲乙速度分别为5份和4份，那么BC长度=60×4=240份，因为题目说的：AC：CB=15:16,所以16份就为240份，所以AC=240÷16×15=225份，甲每分钟走5份路程，走225份需要多少时间？225÷5=45分钟，所以甲或者到达C地时用了45分钟为9：00，所以甲出发的时间为9:00-45=8:15

 

6、  甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?

 

武汉童老师分析：

设乙班同学走到D点上车。

乙班学生走AD路程的同时，汽车走AC+CD路程，这里是同时发生的，时间相等，速度和路程成正比例。

因为V车：V人=7：1

所以AC+CD: AD=7：1，所以我们得到：AD:CD=1:（7-1）÷2=1：3

同样道理

甲班走CB同时汽车走了CD+DB，时间一定，速度和路程成正比例。因为速度比7：1，所以路程比为：7：1，所以也可以得到DC:CB=3:1,

所以得到：

AD：DC:CB=1:3:1

全长是24千米

1份为：24÷（1+3+1）=4.8千米

所以汽车在离飞机场1份的路程回来接，即：4.8×1=4.8千米。

7、  在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？

 

武汉童老师分析：

（1）、假设出发6分钟时，甲乙在同一个地点为C点，之后过了：4+8=12分钟，甲乙又相遇了。甲乙12分钟合走了一个周长；

（2）、同时，乙顺时针方向走的曲线BC长度为6分钟，甲逆时针方向走曲线CB长度为4分钟，这个自己画图，按照题目条件好好发现一下。可见甲乙走同一段曲线长度CB或者BC时，路程一定，速度和时间成反比例。

 t甲：t乙=4：6=2：3

∴  V甲：V乙=3：2

（3）、假设圆周长为单位“1”又因为甲乙合走一圈为12分钟

∴V甲+V乙=1÷12=1/12

又

V甲：V乙=3：2

∴ V甲=1/20     ，V乙=1/30

（5）  甲乙单独走完一圈，各自需要的时间

T甲=1÷1/20=20分钟

T乙=1÷1/30=30分钟

或者方法二：

也可以利用设数法来理解：

因为甲乙速度比为3：2，所以设甲乙速度分别为3份和2份

甲乙合走一圈需要12分钟，所以圆周长度为：（3+2）×12=60份

那么甲单独走完一圈需要：60÷3=20分钟

那么乙单独走完一圈需要：60÷2=30分钟

答：甲乙各自走完一圈需要20分钟和30分钟。

8、   一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5 小时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？

 

武汉童老师分析：

我们说的路程一定，速度和时间成反比例。其中的时间只计算真正行车的时间，故障，休息，修车时间都不算在内。

（1）、多用1.5小时，其中故障晚0.5小时，所以降低速度导致增加了时间：1.5-0.5=1小时。速度比为，原来：现在=4：3，时间比为，原来：现在=3：4，所以剩下的路程上的时间，原来是：1÷（4-3）×3=3小时，所以原计划全部路程的时间为：1+3=4小时。

（2）、剩下路程降速后，时间多用了：1-0.5=0.5小时，比第一种情况少用了1-0.5=0.5小时，因为速度比为，原来：现在=4：3，所以时间比为，原来：现在=3：4，所以剩下的路程原来时间为：0.5÷（4-3）×3=1.5小时，所以第二种情况，90千米的原来时间为：3-1.5=1.5小时，所以原来1.5小时可以走90千米，所以原来速度=90÷1.5=60千米/小时。

（3）、全长原来需要4小时，所以全长为：4×60=240千米。

（4）、或者第（2）条中，多用了1小时和多用了0.5小时，1÷0.5=2倍，所以第一种情况下，降速的路程为：90×2=180千米。原来速度为：180÷3=60千米/小时，所以全长为：60×4=240千米。

答：全长240千米。

9、  甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

 

武汉童老师分析：

（1）  到甲到达半山腰，乙到达山顶。假设甲下山速度保持原速度，那么甲走的路程为：1+1/2÷1.5=4/3，乙走的路程为“1”。这里甲乙是同时走的，时间一定，路程和速度成正比例。S甲：S乙=4/3:1=4：3，所以V甲：V乙=4：3 。-----------假设山高度为单位“1”。

（2）  当1小时的时候，甲如果保持速度不变，那么甲走的路程为:“1”多600÷1.5=400米。乙走的路程为：比“1”山高少600米。所以，甲比乙多走了：600+400=1000米。因为时间一定，速度和路程成正比例。因为速度比，甲：乙=4：3，所以甲路程：乙路程=4：3，多的1份路程为：1000米，所以乙1小时走的路程为：1000÷（4-3）×3=3000米，山高为：3000+600=3600米。

（3）  甲按照上山速度1小时可以走：3600+600÷1.5=4000米，所以甲的上山速度为4000米每小时。甲下山速度为：4000×1.5=6000米每小时，那么甲下山时间为：3600÷6000=0.6小时。又因为甲上山时间为：3600÷4000=0.9小时。所以甲回到起点的时间共用了：0.9+0.6=1.5小时。

答：1.5小时。

10、  小明和小光同时从解放军营地回校执行任务，小光步行速度是小明的倍，营地有一辆摩托车，摩托车有司机，只能搭乘小明和小光中的1个人，它的速度是小明步行速度的16倍。为了使小光和小明在最短时间内到达，小明和小光需要步行的距离之比是多少？

 

武汉童老师分析：

小明走AD同时摩托车走AC+CD，时间是同时发生，时间一定，路程和速度成正比例。

V小明：V车=1：16，

∴AD：DC=1：（16-1）÷2=2：15

小光走CB同时摩托车走CD+DB，时间一定，速度和路程成正比例。

V小光：V车=4：48=1：12，

∴CD:CB=（12-1）÷2：1=11：2

∴AD：DC：CB=22：165：30，所以AD：CB=22：30=11：15所以小明和小光走的路程之比为：11：15 。

或者假设摩托车走的CD路程为单位“1”，那么小明走的AD长度为：2/15 。那么小光的路程CB为：2/11。

∴S小明：S小光=2/15：2/11=11：15。

三、 课后习题

1、  小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？

2、  每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？

3、  甲、乙两人同时从 A地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，此时甲、乙共行了 35 千米．求 A， B 两地间的距离．

4、  一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？

5、  兄弟两人骑马进城，全程51千米。马每时行12千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行5千米，弟弟每时步行4千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此地，再上马前进。若他们早晨6点动身，则何时能同时到达城里？

 

6、  甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是3：2，相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高，这样当甲到达地时，乙离地还有41千米，那么两地相距千米。

7、  早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

8、  甲、乙两车分别从A，B两地同时相向开出，4时后两车相遇，然后各自继续行驶3时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米。问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地？

9、  一辆汽车按计划行驶了小时，剩下的路程用计划速度的继续行驶，到达目的地的时间比计划的时间迟了2时。如果按计划速度行驶的路程再增加 60千米，那么到达目的地的时间比计划时间只迟1时。问：计划速度是多少？全程有多远？