正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．

http://s10/mw690/003ay9gity6EbRldLVTc9&690

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AMB+∠BAM=90°，又∴AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，∴Rt_△ABM∽Rt_△MCN；
（2）AM=PM．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，∴AH=MC，
∵BH=BM，
∴∠BMH=∠BHM=45°，
∠AHM=135°，∵AM⊥MN，∴∠2+∠3+∠BMH=90°，
∵∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=∠BHM=45°，∴∠1=∠3，
∵CP是正方形外角平分线，∴∠PCN=45°，
∴∠PCM=90°+45°=135°，
∴∠AHM=∠MCP，在△AHM和△MCP中，
∵http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120731/201207312237277963464.png，
∴△AHM∽△MCP（ASA），
∴AM=PM；
（3）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=1，
∴CM=4-1=3，
∵Rt_△ABM∽Rt_△MCN，∴http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120731/201207312237280921301.png，
∴CN=http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120731/20120731223728214624.png，
∴S_梯形ABCN=http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120731/20120731223729144792.png；
∴正方形ABCD边长为4，BM=x，∴CM=4﹣x，
∴Rt_△ABM∽Rt_△MCN，∴http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120731/201207312237295741400.png，
∴y=S_梯形ABCN=http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120731/20120731223730594571.png（x﹣2）²+10，
∵当x=2时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；
（4）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt_△ABM∽Rt_△AMN，必须有http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120731/201207312237308742042.png，
∵Rt_△ABM∽Rt_△MCN，
∴http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120731/201207312237310282014.png，∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt_△ABM∽Rt_△AMN，此时BM=2
．http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120731/201207312237311509275.png