常用的求面积方法有：平移法、割补法、旋转法、对称法、找特殊点法等，用到的原理有差不变原理、容斥原理、勾股定理等

【例 1】             按照图中的样子，在一个平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形，已知甲三角形的两条直角边分别为 厘米和 厘米，乙三角形的两条直角边分别为 厘米和 厘米，求图中阴影部分的面积.

 

【分析】    显然阴影部分的面积不能直接来求，由于阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去甲、乙两个直角三角形面积，所以本题关键是求出平行四边形的面积，考虑到“平行四边形的对边相等”这个特点，将甲、乙进行平移如右图就会发现平行四边形的面积等于平移后两个长方形的面积和为： (平方厘米)，所以阴影部分的面积为： (平方厘米).

-

 

［巩固］    有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合(见下图).已知露在外面的部分中，红色面积是 ，黄色面积是 ，绿色面积是 .求正方形盒底的面积.

 

 

［分析］            将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为 .根据公式可知，空白处面积 黄 绿 红 ，则正方形盒底面积是 .

 

知识点：① 过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，见下图.所分得的四个小矩形，其面积满足这样的规律： .
  

② 连接各个小长方形的对角线将长方形分成的四个三角形 ，面积规律有： .

 

［拓展］    如下图，六边形 中， ， ， ，且有 平行于 ， 平行于 ， 平行于 ，对角线 垂直于 ，已知 厘米， 厘米，请问六边形 的面积是多少平方厘米？

     

［分析］    如图，我们将 平移使得 与 重合，将 平移使得 与 重合，这样 、 都重合到图中的 了．这样就组成了一个长方形 ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形 的面积为 平方厘米，所以六边形 的面积为 平方厘米．

 

【例 2】             已知正方形的面积是 平方厘米， 、 为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？
                       

【分析】    由巩固可知 的面积为整个正方形面积的五分之一为： (平方厘米)，由此对于阴影部分的面积可以有两种求法.方法一：连接 由图可知 、 和 的面积相等，又因为 的面积为  (平方厘米)，所以 、 和 的面积为：  (平方厘米)，所以阴影部分的面积为： (平方厘米).

方法二：本题用沙漏也可以解答能看见 和 是沙漏 所以以 为底的三角形 占整个三角形 的 ，为  (平方厘米).所以阴影面积为： (平方厘米).

 

［铺垫］    如图正方形 的边长是 ， ， 分别是 和 的中点，求四边形 的面积是多少?

 

【分析】    分别找到 、 的中点连线，利用割补法，原正方形面积变换成 个小正方形面积之和，每个小正方形面积是 ，而阴影部分面积等于 个小正方形面积，所以也是 .

 

【例 3】             （2008年武汉明心奥数挑战赛）

如图所示， 中， ， ， ，以 为一边向 外作正方形 ，中心为 ，求 的面积．

 

      

【分析】    如图，将 沿着 点顺时针旋转 ，到达 的位置．

由于 ， ，所以 ．而 ，

所以 ，那么 、 、 三点在一条直线上．

由于 ， ，所以 是等腰直角三角形，且斜边 为 ，所以它的面积为 ．

根据面积比例模型， 的面积为 ．

［巩固］    如图，三角形 是等腰直角三角形， 是三角形外的一点，其中 ， ，求四边形 的面积．

［分析］    因为 和 都是直角，和为 ，所以 和 的和也为 ，可以旋转三角形 ，使 和 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形 ，面积为 平方厘米．

 

［拓展］    (2008年全国小学数学资优生水平测试)

如图，以正方形的边 为斜边在正方形内作直角三角形 ， ， 、 交于 ．已知 、 的长分别为 、 ，求三角形 的面积．

        

［分析］    如图，连接 ，以 点为中心，将 顺时针旋转 到 的位置．

那么 ，而 也是 ，所以四边形 是直角梯形，且 ，

所以梯形 的面积为：

( )．

又因为 是直角三角形，根据勾股定理， ，所以 ( )．

那么 ( )，

所以 ( )．

 

【例 4】             长方形 的面积为36 ， 、 、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

 

解法一：寻找可利用的条件，连接 、 ，如下图 ：

        可得： 、 、 ，而  

 

        即 ；

        而 ，

．

        所以阴影部分的面积是：

        解法二：特殊点法．找 的特殊点，把 点与 点重合，

那么图形就可变成右图：

 

        这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有：

         ．

        解法三：可以找到长方形 的特殊状态正方形 ，然后就和上面的特殊点法一样．

 

［巩固］    （2008年武汉明心奥数挑战赛）

如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？

 

［分析］    灰色和白色区域形成一边长为11的正方形和一边长为7的正方形，它们的总面积是 ；类似地，黑色和白色区域组成一边长为9的正方形和一边长为5的正方形，它们的总面积是 ．

由于白色区域在这两种组合中都被计算了，根据差不变原理，可知灰色区域与黑色区域的面积之差就等于 ．

 

【例 5】             在直角边为3与4的直角三角形各边上向外分别作正方形，三个正方形顶点顺次连接成如左下图所示的六边形 ．求这个六边形的面积是多少？

　　　　

【分析】    根据图中三个正方形的特点，我们以直角三角形的斜边上的正方形为基础来构造弦图(如右上图)．这样，弦图中的4个直角三角形都与原直角三角形相同，中间阴影小正方形的面积为

，且图中阴影三角形的面积都等于弦图中直角三角形的面积．所以，

六边形 的面积 个直角三角形面积 个阴影三角形面积 个正方形面积

个直角三角形面积 个正方形面积

．

［巩固］            如左下图所示，直角三角形 的直角边为 5厘米，9厘米．问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？

        

 

附加题：

【例 1】             如图所示，在四边形ABCD中，线段BC长为6厘米，角ABC为直角，角BCD为 ，而且点A到边CD的垂线AE的长为12厘米，线段ED的长为5厘米，求四边形ABCD的面积．

      

【分析】    延长AB 、DC交于O ．

那么 和 都是等腰直角三角形，

所以 (厘米)， (厘米)，

的面积 的面积 的面积

(平方厘米)，

的面积 (平方厘米)，

即得四边形ABCD的面积 的面积 的面积 (平方厘米)．

 

［拓展］            (第三届“走进美妙的数学花园”)两个长方形如右图摆放，M为AD的中点，阴影部分的面积是            ．

   

与 都是等腰直角三角形．

，

．

四个 可以拼成一个边长为MF的正方形，面积为

 

．

 

［拓展］            (2008年第六届“希望杯”五年级第二试)如图 ( )， 是一个长方形，其中阴影部分是由一副面积为 平方厘米的七巧板(图( ))拼成．那么，长方形 的面积是多少平方厘米？

            

                   图a                             图b             

［分析］    设右边的正方形的对角线长为 ，根据勾股定理， ．

左边的长方形 ，宽 等于右边的图形中正方形④的边长和三角形①的直角边长之和，长 等于右边的图形中正方形④的边长与三角形①的直角边长及三角形③的直角边长的 倍之和．

从右图中可以看出，三角形①的直角边长为 ，正方形④的边长和三角形③的直角边长均为 ，

所以， ， ，

长方形 的面积为： (平方厘米)．

【例 2】             (2008年“迎春杯”初试五年级)一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是2、8、58，则④、⑤这两块的面积差是            ．

    

【分析】    由于②的面积是①的4倍，所以可以把②分成4倍的①，而两个①为一个方格，一个方格的面积为 ．根据 ，则①与③一共是 (格)，所以①与③是 的长方形．所以正方形边长是①的直角边长的5倍，等腰直角三角形直角边长是①的直角边长的7倍，则④的

格数为8格，⑤的格数为10格，④、⑤这两块的面积差是 (格)，1格的面积为4，所以④、⑤这两块的面积差为 ．

［拓展］            (2008年“迎春杯”初试六年级)一个等腰直角三角形和一个正方形如左下图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为 ．那么，④、⑤这两块的面积比是            ．

 

［分析］            如图右上图： ，

        ， ，

， ，

又 ， ， ，

．

家庭作业

1.              (第五届“走进美妙的数学花园”决赛)一个长方形和一个等腰直角三角形如左下图放置，图中六块的面积分别为1，1，1，1，2，3．大长方形的面积是            ．

 

【分析】 (法一)易知，图中除了面积为3的长方形外，其他的三角形都是等腰直角三角形，其中如果将

    面积为2的等腰直角三角形沿高线切开后，就分为两个面积为1的等腰直角三角形，此时就能看出图中大长方形除开面积为3的那部分后，剩下的那部分的长方形的长宽比为 ，宽恰好为面积为1的等腰直角三角形直角边长的两倍，所以这一部分的长方形的面积为 ，所以大长方形的面积为 ．

(法二)如右上图添加几条辅助线后便一目了然，大长方形面积为 ．

 

2.              (2008年走美六年级初赛)

如图所示，长方形 内的阴影部分的面积之和为70， ,，四边形 的面积为        ．

 

【分析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 、 和四边形 的面积之和，以及三角形 和 的面积之和，进而求出四边形 的面积．

由于长方形 的面积为 ，所以三角形 的面积为 ，所以三角形 和 的面积之和为 ；

又三角形 、 和四边形 的面积之和为 ，所以四边形 的面积为 ．

另解：从整体上来看，四边形 的面积 三角形 面积 三角形 面积 白色部分的面积，而三角形 面积 三角形 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 ，所以四边形的面积为 ．

3.              (2005全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)

如图如果长方形的面积为 平方厘米，且 厘米、 厘米、 厘米、 厘米，那么请你求出四边形 的面积是多少厘米？

 

【分析】 如图所示过 、 、 、 分别作长方形各边的平行线，易知交成四个矩形和中间的正方形，中间的正方形边长为 厘米，面积为 平方厘米，且四个矩形中阴影部分的面积占一半为：( ) (平方厘米)，则四边形 的面积是： (平方厘米)