14.2.1平方差公式教学设计

汉滨区民主学校     陈  鹏

【教学分析】

　　　本节课主要是探究平方差公式并运用公式进行整式的乘法运算。　在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题。学生在本节经历从特殊到一般、从具体到抽象的推导过程，得到平方差公式，在提高学生观察、探究、发现、归纳的思维能力同时领会数学思想方法。平方差公式的学习，为以后的因式分解、分式的化简、解一元二次方程、函数等内容的学习奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了探究方法。　

【教学目标】

　　1.了解平方差公式的及几何意义；理解平方差公式的结构特征，并能运用平方差公式进行运算。

　　2.在探究平方差公式的过程中，体验从“特殊到一般”的研究数学问题的方法；通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一。

【教学重难点】

1.重点：理解平方差公式的结构特征，并能运用平方差公式进行正确运算。

2.难点：在具体应用中找准平方差公式中“a”和“b”, 理解公式中字母的广泛含义.

【教学策略及方法分析】

　　针对本节课的教学重点—平方差公式的结构特征及运用公式正确运算，我在教学中从学生刚刚学过的多项式乘法入手，通过学生的自主探究与合作学习，参与平方差公式的推导过程；从而掌握公式的特征，并能够紧紧抓住特征，利用公式正确计算。

　　针对本节课的教学难点—正确理解公式中字母的广泛含义，教学中，学生可以通过观察，对比，练习，发现公式中的“a，b”不仅可以是数字，也可以是多项式，从而体会整体的数学思想在学习中的运用。

【教学过程】

一．创设情境,导入新课。

1.出示情景：（租地问题）有人向他人租了一块边长为a的正方形地，第二年地的主人提出把地的一条边增长10米，相邻另一边缩短10米。这样租合算吗？

2.学生思考：关键在计算变化后地的面积与原来的正方形面积比较大小。

3.学生结合图形得出算式：（a+3）（a-3）

如何计算结果？请同学们用多项式乘法法则进行计算。

二、自主探究，得出结论。

1．观察算式和结果，看看有发现什么规律？

（a+3）（a-3）=a²-9 

2．再用多项式乘法法则计算下列多项式的积，你发现的规律还成立吗？

(x+1) (x-1)=___________;

(m+2) (m-2)=__________;

(2x+1) (2x-1)=_______

3.根据以下问题提示，试着把你发现的规律说出来。

（1）式子的左边具有什么共同特点？（2）它们的结果有什么特征？

※用文字语言表示所发现的规律：                                             

※可以用字母表示为：                                                       

三、合作交流，验证公式.

对于结论：(a+b)(a-b)=a²-b² 你能计算验证上面你猜想的结论吗？

方法一：计算（a+b）（a-b）

 

方法二：结合课本图14.2-1说说边长为a的正方形一边增加b，相邻一边减少b，得到的长方形面积与原正方形面积的关系用等式可表示为：                                      .

 

学生自主选择方法验证公式，教师巡视指导，有意识引导学生选择不同的方法。展示交流中，要求学生说出公式的合理性，进一步分析公式结构特征。

三、变式练习，运用公式。

例1 运用平方差公式计算：

(1)  (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2)  (-x+2y)(-x-2y).       (3)(b+2a)(2a－b);

思考：你是如何运用平方差公式解决以上的问题？

在确定把哪个式子看成公式中“a”和“b”,应注意什么问题？

要求学生板演解题过程，对比课本例题规范解题步骤和格式。

例2：八年级一班要订购一批校服，老师说：“我们班有98名学生，每套校服102元，谁能帮老师算一算，一共要准备多少钱？这个问题你会用我们今天学习的知识解决了吗？

谁能以最快的速度计算出结果？说说你的算法。

例3.计算：

（y+3）(y-3)-(y-2)(y-4)

学生板演。

教师追问：计算（y+3）(y-3)与计算(y-2)(y-4)方法一样吗？说出你的理由。

教师强调：只有符合平方差公式结构特征的多项式乘法才可以运用公式简化计算，不能乱用公式。

4、变式练习。

1、下列各式的计算对不对？如果不对，应该怎样修改？

（1）（x+4）(x-4)=x²-4                    (2)(-2m-3)(2m-3)=4m²-9

学生回答，辨析平方差公式的结构特征：相同的项看成“a”，互为相反数的项成“b”.

2、运用平方差公式计算。

（1）(a+3b)(a-3b)          (2)(3+2a)(2a-3)

(3)1003×997              （4）（3x+4）(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

学生板演，暴露问题，相互纠错，熟练运用，掌握公式。

3.拓展训练：

(x+y)(x-y)(x²+y²) (x⁴+y⁴) (x⁸+y⁸)

引发思考，巧算激趣。

四、回顾反思，小结延伸.

1、学生自主小结：这节课有哪些收获？

2、教师结合板书系统回顾：

①平方差公式：                               

用式子表示：                           

②运用平方差公式时，应注意以下几个问题：

(1)公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项       ，另一项         ；

(2)公式右边是        项的平方减去      项的平方；

(3)公式中的a和b可以是数，也可以是单项式或多项式；

3.质疑：以下的计算可以用平方差公式计算吗？

（x+2）(x+2)

（a+b）(a+b)

【作业设计】

 一、达标测试.

1、下列运算正确的是：（     ）

A、（x+2）(x－2)=x²－2  B、(x+3y)(x－3y)=x²－3y²

C、(x+y)²=x²+y²         D、(-3a－2)(3a－2)=4－9a²

2、在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式的是：（    ）

     A、(2a+b)(2a－b)      B、(2a+b)(b－2a)

    C、(2a+b)(-2a－b)      D、(2a－b)(-2a－b)

3、 (x+2)(x－2)(x²+4)的计算结果是：（    ）

        A、x²+16         B、x⁴－16     C、x⁴－1   D、16－x⁴

4、（－2x－3y）(    )=4x²－9y²

二、综合应用.

用平方差公式计算：

1）(3x+2)(3x-2)                2）（b+2a）（2a-b）

3）（-x+2y）（-x-2y）            4）（-m+n）(m+n）

5) (-0.3x+y)(y+0.3x)           6）(-3a-2)(3a-2)         

三、拓展探究.

1.计算

（1）（x+y）（x-y）（x²+y²）

（3）(m+n+p)(m+n-p)

2.若x²－y²=12，且x+y=6，求x和y的值。