加载中…排列组合中的解题方法之插板法
(2014-06-01 10:41:45)
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分类： 数学运算 |
一、基础理论：
插板是一个无形的东西即板子，它不能代表一个元素，它区别于插空法。插板法是用于解决“相同元素”分组问题。判断插板法的题目主要看题干中的两个词语：①相同元素
引例说明：春节前单位慰问困难职工，将10份相同的慰问品分给6名职工，每名职工至少要分得1份慰问品，分配方法共有：
A.84种
【分析】此题第一眼给人的感觉是能用列举法进行分类解题，但是细一思考分类的情况太多了，不易计算，因为想用插板法解题一般是分两类或三类。而插板法就可以使这种为题迎刃而解。利用无形的板子把其分割开来。
【解析】“10份慰问品相同且每人至少得1份”，满足插板法的两个前提①相同元素②至少为1，故可直接使用插板法。将10份慰问品依次排成一条直线，我们用插板的形式把慰问品分给6名职工，中间形成9个空，插上第1个板子，则第一个板子之前的分给第一名职工，在后面又插了一个板子，表示第1个板子和第2个板子之间的分给第二名职工，依次类推，因为要分给6个人，所以要插5个板子，第5个板子之后的分给第六名职工，所以只要板子固定了，那么每名职工分几份慰问品就固定了。
所以10分慰问品中间形成了9个空;分给6个人，插入5个板;共有http://image-0-server.hongqilin.cn/imgtemp/20140516/14002075649725.jpg=126种分配方法。
注：估计有的同学会问，为什么第一个慰问品之前的位置和最后一个慰问品之后的位置不能放板子。其实原因在于“每名员工至少分1份慰问品”，如果在第一个慰问品之前的位置放板子那么第一名职工就一份分不到了，如果在最后一个慰问品之后的位置放板子那么最后一名职工就一份分不到了。
二、真题举例：
例1、假设x、y、z是三个非零自然数，且有x y z=36，则共有多少组满足条件的解?
A.700
【分析】此题可以看做是36块糖排成一排，即元素相同;由于x、y、z是非零自然数，即至少为1，
【解析】根据题意，36块糖内部形成35个空位，分给三个人，需要插两个板子，故有http://image-0-server.hongqilin.cn/imgtemp/20140516/14002076094043.jpg=595种，而一种分法对应着一组解，如x=1，y=1，z=34，就是一组解。共有595组解。因此，选D。
例2、将10本没有区别的图书分到编号为1、2、3的图书馆，要求每个图书馆分得
图书数量不小于其编号数，问共有多少种不同的分法?(
A.12
【分析】根据题意，“10本没有区别的图书”即相同元素，“要求每个图书馆分得
图书数量不小于其编号数“即1号图书馆至少分1本，2号图书馆至少分两本，3号图书馆至少分3本，分析完题意之后发现似乎不满足插板法的前提条件至少为1，类似的这种题目我们只需要适当变形就可利用插板法解题。
【解析】1号图书馆至少分1本，已经满足至少为1，不用变形。而2号图书馆至少分两本，所以可从10本中取出一本先给2号图书馆。而3号图书馆至少分3本，可以从10本中取出两本书给3号图书馆，所以在给出一本和两本，那么还剩下7本，现在1号，2号，3号图书馆至少在发放一本书就可以满足了，那么此时就可以用插板法解题。
所以答案是
三、插板法和列举法的对比
例3、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
A.34种
【答案】B
【列举法】先每个班级分一个名额，然后剩下两个名额，①如果两个名额分到一个班级里面则有http://image-0-server.hongqilin.cn/imgtemp/20140516/14002078981967.jpg种分法，则共有8 28=36.
【插板法】10个名额9个空，插入7个板，共有http://image-0-server.hongqilin.cn/imgtemp/20140516/14002079437019.jpg
例4、某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?
A.7
【答案】C
【列举法】每个部门的材料数分布情况
(9，9，12)
(9，10，11)
(10，10，10)
所以共有3 6 1=10种。
【插板法】3个部门每个部门先发8份，让其满足插板法，20-8×3=6，计算：http://image-0-server.hongqilin.cn/imgtemp/20140516/14002079945452.jpg
小结：通过例3和例4来看，列举法可以叫做排列组合的通法，但是遇到个别的题目必要时也要用插板法。
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