传球问题，是一类比较特殊的排列组合问题，指的是N个人传球，经过M次后，求到某个人的手中，求不同的传球方法的问题。先看个例题。

    例：三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法有多少种？

A．6                          B．8                      C．10                         D．16

这个就是很典型的传球问题，我们先看比较通俗、简单的解法。

    解析一：根据选项来说传球的方法不多，那我们可以先用枚举的方法。

所以一共有10种不同的方法。

【注】其实，我们只要计算第四次传球的时候的不同传球方式，也就是线条的个数即可。

    解析二：根据排列组合的方法。

由于从甲传到甲，共有两种情况，一种是传球过程中经过甲，一种是没有经过甲，我们就以此作为分类的标准：

1、不经过甲，即有甲→   →  →   →  →甲，共有C（2，1）=2种；

2、经过甲，由于第一次、第四次不能传给甲，那就只能在第二次、第三次传给甲，则有：

（1）甲→  →  →甲→  →甲，共有C（2，1）C（2，1）=4种；

（2）甲→   →甲→   →  →甲，共有C（2，1）C（2，1）=4种。

所以共有2+4+4=10种方法。

    解析三：此外，传球问题还涉及到一个公式，在这我们不推倒，只需要大家记住即可，即使记不住，可以用上面的排列组合的方法解答。

    传球问题核心公式：N个人传M次球，记X=（N－1）^M/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。

我们根据上面的试题来套用公式有（3-1）⁵/3=32/3=10.667，所以传给自己的就是10种（传给乙或者丙的是11种）。

【注】由于在每次传球的时候，均有人数-1种选择的方法，所以总共就有（人数-1）的传球次数次方，平均最后传到某人手中的概率相同，均为1/人数，所以传球的方式就是X=（N－1）^M/N。

从上面的例题来看，这类试题的难度并不高，关键是需要我们掌握其中的原理即可，不过如果我们在解答的时候，可以采用一种比较讨巧的方法，即将选项×次数，看那个更接近于多次方数。

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【真题示例1】四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（    ）。

A．60种                      B．65种                     C．70种                      D．75种

【答案】A

【解析一】本题是排列组合问题中的传球问题，由于选项的数值比较大，所以不可能用画图的方式来分析，那就分类讨论。

1、不经过甲，即有甲→   →  →   →  →甲，共有C（3，1）C（2，1）C（2，1）C（2，1）=3×2×2×2=24种；

2、经过甲，由于第一次、第四次不能传给甲，那就只能在第二次、第三次传给甲，则有：

（1）甲→  →  →甲→  →甲，共有C（3，1）C（2，1）C（3，1）=3×2×3=18种；

（2）甲→   →甲→   →  →甲，共有C（3，1）C（3，1）C（2，1）=3×3×2=18种。

所以共有24+18+18=60种方法。

【解析二】采用传球公式来解答，有（4-1）⁵/4=243/4=60.75，第二接近的是60，故本题的正确答案为A选项。

【补充说明】先看选项，将选项×4，为240、260、280、300，这些数值，只有240与243，也就是3⁵次最接近。当然这种方法需要对数字具有较强的敏感性。

【真题示例2】某人去A、B、C、D、E五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另外一个城市。那么他一共有多少种旅游行程安排的方式？

A．204                        B．205                       C．819                        D．820

【答案】C

【解析】由于这人每天都在不同的城市，所以对这题转化过来就是A、B、C、D、E看做是5个人，“人”看做是“球”，从A开始，经过6次传球之后到E的手上，看一共有多少种不同的方法。

如果我们知道公式，直接利用公式有（5-1）⁶/5=16×16×16/5=256×16/5=819.2，离这个数值最近的整数是819，所以到达E城市的方法共有819种，故本题的正确答案为C选项。

【补充说明】当然我们也可以利用排列组合的方法，不过在讨论的时候，一定要取正确的分类方法。

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