《等比数列的前n项和》教学设计

                   周至三中    马凯荣

一、教学目标

1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

二、教学重点与难点

重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“等比数列的前n项和公式”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

四、教学过程

创设问题情景

课前给出复习：等比数列的定义及性质

课首给出引例：“话说猪八戒自西天取经回到了高老庄,从高员外手里接下了高老庄集团,摇身变成了CEO.可好景不长,便因资金周转不灵而陷入了窘境,急需大量资金投入,于是就找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行！我每天投资100万元,连续一个月(30天),但是有一个条件是:作为回报,从投资的第一天起你必须返还给我1元,第二天返还2元,第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍.”八戒听了,心里打起了小算盘:“第一天:支出1元,收入100万;第二天:支出2元,收入100万,第三天:支出4元,收入100万元;……哇,发财了!……”心里越想越美……,再看看悟空的表情,心里又嘀咕了:“这猴子老是欺负我,会不会又在耍我?”

二）.师生互动，探究问题

问题1：同学们，假如你是高老庄集团企划部的高参,请你帮八戒分析一下,按照悟空的投资方式,30天后,八戒能吸纳多少投资?

引导学生写出悟空投资的钱数，带着这样的问题，学生会动手算起来，通过计算需要100*30=3000万元 

问题2：同学们，你们知道又该返还给悟空多少钱?引导学生写出还给悟空的总钱数，．

问题3： 1，2，22，…，是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？

探究一：，记为……①式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探究二： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，①式两边同乘以2则有……②式．比较①、②两式，你有什么发现？

经过比较、研究，学生发现：①、②两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，

得到： ，

老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。

利用计算器我们能计算出是10个亿，其实猪八戒赔大了。

（三）.类比联想，解决问题

探究三：如何将结论一般化，设等比数列，首项为，公比为q,如何求前n项和为？

设，由于等比数列的通项公式

代入上式可得

                      

把式的两边同乘以，得

                    ‚

式的两边减去‚式的两边，得

即

讨论当时，等比数列的前n项和公式

当时，

从而，等比数列的前n项和公式为

 

                                                                                         

                                                                         

推导等比数列前n项和的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后，

教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）

学生A：        即

。

学生B：

 

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！ 

教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ]

 探究四：在学生推导过程中，由，得到

对不对？

探究五：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

让学生总结

等比数列前n项和的有关公式共涉及了5个量，可以知三求二。

五.例题讲解，形成技能

例1：（1）已知等比数列中，a1=3,q=2,求

【基础知识形成性练习】

求下列等比数列的各项和：

(1)1，3，9，…，2187            （2）

2、根据下列条件求等比数列的前n项和

①              ②

例2  求等比数列1/2，1/4，1/8……的

前8项的和;

第四项到第八项的和

解 ：（1） 

（2）

例3：在等比数列中，

（1）已知   求

（2）已知   求

 [例1教师板演示范，强调解题的规范。例2、例3学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。]

【演练反馈巩固性练习】

1、在等比数列中，

①已知，求和

②已知求和

2、求数列的前n项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。然后老师给出评价]

六 课堂小结

	等差数列	等比数列
求和公式
推导方法
公式应用

[由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容]

七 布置作业

根据下列条件，求等比数列的前n项和

①:                 

②:

在等比数列中，

①:已知，求和

②:已知，求

3、在等比数列中，已知，求

 [作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。]

八、板书设计

公式推导	例题
等比数列的前n项和	练习