分数：先分后数

                                 ——“分数的意义”教学新路径

                                       北京  华应龙    摘自《人民教育》2011.6 

一

    在三年级初步认识分数之后，教材都会在五年级再次安排认识分数的相关内容。大多数教材几乎都有差不多的表述：“一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数l来表示，通常我们把它叫作单位‘1’。”

    以前，我往往会这样教——

    带着学生把一块饼平均分成2份，得到分数1/2；再把1米长的线段平均分成5份，取其2份，得到分数2/5；再出示一盒糖，把这12块糖平均分给4位同学，得到分数1/4。

    然后，指着板书，说：“一个物体，一个计量单位，一些物体都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫作单位‘1’。”再提问：“这个‘1’和我们一年级时所认识的‘1’一样吗？”接着，让学生举例，日常生活中哪些具体的事物可以看作单位“1”。之后，再组织学生用简洁的语言说说2/5等分数表示什么意思。

    学生开始学得很是没劲，后来又是云里雾里：“穿上马甲”的“1”怎么就不一样了？现在我使用的教材里，虽然没有单位“1”的概念，但我还是不放心、不习惯，偷偷补讲单位“1”。单位“1”究竟是什么意思？这一概念有多重要？

    2009年版《辞海》把“分数”定义为：“把一个单位分成若干等份，表示其中一份或几份的数称为‘分数”’，强调的是“一个单位”。

    因此，我反思：以前教学中，我出示右下图（4个方格拼合，其中三格涂上阴影），要求学生在括号中写出阴影部分所表示的数，没有规定单位是什么，向学生硬要“3/4”是不是有些不讲道理？如果以1个小正方形为单位，则应填3；以2个小正方形为单位，则应填3/2；以3个小正方形为单位，则应填l……

    由此可以看出，是否产生分数，取决于确定的单位。“单位”是分数概念的关键。

    “1”是重要的计数单位，是学生所熟悉的。学生一年级认识数“1”的时候，就知道一只萝卜是“1”，一筐萝卜也是“1”。

    分数，本质上是表示两数相除的结果，使得四则运算以及法则畅行无阻；在生活中，分数主要表示部分与整体的关系。而“整体”、“总量”这样的概念，学生是熟悉的，也是非常容易接受的。现行教材教法中，“单位‘1’的量”基本上都可以用“总量”来表达。2011年1月，张奠宙先生在《小学数学中若干科学性问题的探讨》一文中，在说到百分数问题时列出的关系式就是“数量=总量×百分比”。

    那么，没有单位“1”这一概念，对学生后续学习有没有影响呢？北大附中特级教师张思明博士告诉我，初中、高中都没有这个概念，重要的是学生没有分数单位的思想，这一点妨碍了学生对有关分数问题的圆满解答。由此，我们也就可以理解为什么大学生大多不知道单位“1”这个概念。

    我幡然醒悟：单位其实就是“1”，以前“我们用很多时间在学生的大脑灌输了呆滞的知识”。（怀特海语）

    看来，“单位”是重要的，“l”是重要的，单位“1”是不重要的。可以不讲单位“1”，但要重讲“分数单位”。

    “把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫作分数。表示其中一份的数，叫作分数单位。”这是教材中对“分数单位”的表述。以往我对“分数单位”的教学往往轻描淡写，一笔带过。

    单位，是度量中规定的标准量。那么，如何加重分数单位的教学分量呢？度量可以很好地将分数理解为分数单位的累积。怎样发展一下，更好地体现“有单位才有度量，才有沟通与交流”？

    我再追问：学生会背诵“分数的意义”，是否意味着理解并掌握了分数的意义，还是重在体会分数形式化的“概念”？

什么是分数？我们能否给学生’一个简单、通俗而有趣的说法？分数就是先分后数的数，是否合适？

……

   经过一段时间的思考，我确定的教学目标——进一步认识分数，认识分数单位，感受单位的价值，理解分数的意义，体会到数学好玩，从而更加喜欢数学。

二

    课一开始，播放动画“大头儿子的难题”：大头儿子接完电话，在没有找到尺子的情况下，用小头爸爸的领带量出床是两个领带长，沙发没有一个领带长，然后他把这根领带对折3次，量得沙发有7个这么长。但沙发是多少个领带长呢？

    在解决了大头儿子难题之后，揭示课题，让学生提出关于“分数”自己想解决的问题。

    接着，带领学生认识分数单位。

我首先让学生回顾要量教室、粉笔、米粒的长分别用什么做单位，然后指出：“单位不同，尺子就不一样。创造一把尺子，其实就是创造了一个新的单位。所以大头儿子在家中没有找到尺子，用领带创造了一个单位。请回头看，刚才我们说沙发是7/8个领带长，7/8里有7个1/8。这里1/8就是一个单位。它很特别，是分数，所以叫分数单位。”进而让学生说说：3/4，4/5，3/7，5/7的分数单位是什么；把一根领带对折一次、两次、三次，创造的分数单位分别是什么；既然1/2，1/4也是一个分数单位，那么刚才量沙发长的时候为什么不用这两个单位来量，而用1/8来量呢？学生通过思考，体会到我们要根据需要创造合适的度量单位。进而，我又引入了炮兵创造的更为精确的单位——密位（1密位=6/100度），以加深学生的认识。

    为了了解学生对分数的意义掌握得如何，我组织学生想一想，在练习纸上圈一圈：

    下面的分数表示什么意思呢？

    ①下面有6颗五角星，请圈出它的4/6。

    ②下面有9个月饼，请圈出它的2/3。

    ③下面有16个苹果，请圈出它的3/4。

    在一阵讨论、引导之后，学生明白了“整体不同，虽然他给你的分数相同，但是圈出来的个数也不同”。

    为了考查学生在具体情境中对分数意义的理解，我出示了这样一题——猪八戒吃一个西瓜的6/7，用了1分钟。这样，他吃完这个西瓜还要用多长时间？

    最后，我回应学生课始提出的问题，组织学生静下心来想一想：分数是什么？

    生1：分数就是把一个整体平均分成几份，表示这样的几份的数。

    生2：分数就是用自然数和小数表示不出来的数。

    生3：分数是把一个数平均分成几份。

    我总结道：“简单地说，分数就是先分后数的数。…‘先分，分之后就确定了分母，就创造了一个单位。”“三年级时老师为什么要强调‘平均分’？（停顿）如果不平均，谁来做单位呢？然后再数，就是数有多少个单位，也就是确定分子。那为什么要有分数？”学生回答说：“表示用自然数表示不出来的数。”

    我说：“简单地说，就是因为没法数了。分之后，就可以数了。最后和大家分享我本家的一句话，华罗庚先生说：‘数起源于数，量起源于量。’数和量都离不开单位。从单位的角度来看，分数很好玩，很有智慧。”

三

    我询问学生的收获，不少学生说道：“学了这节课，我明白了生活中需要测量的时候不一定都要用尺子。”我欣欣然，因为这是我当初设计教学时就追求的副产品。

    有学生说：“我明白了分数里有分数单位。”

    其实，“分数是先分后数的数”和传统的“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫作分数”是一致的，并不矛盾。“分数是先分后数的数”，这样的表达乃是一种简单的丰富——“分”，就是创造了一个单位；“数”，就是数有多少个单位——这样，从单位的角度来理解分数的意义，更有后劲。

    当然，这样的教学很有些“不走寻常路”的感觉。不过，鲁迅先生说过：“其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。”

    我不需要说：“走自己的路，让别人说去吧！”因为我们都在路上，没有看客，大家都在思考。我也不需要说：“走自己的路，让别人无路可走！”因为教学研究没有最好，只有更好。我也不需要说：“走自己的路，让别人跟着自己走！”因为我们没有办法保证自己所走的就是一条唯一的正确的道路。我需要说的是：“走自己的路，让别人走得更好！”我的课并不完美，但一定会引起大家的思考。