数学中的不变与变

——四年级上册积的变化规律应用题教学案例

一、教材分析：

恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。而学生对函数概念的理解有一个过程。教科书四年级上册练习九的应用题，是学习积的变化规律的基础上，应用这一规律解决问题。我在教学中主要以引导学生用观察、对比、联想的方法分析数量关系中的不变与变的量，从而应用积的变化规律解决问题，初步感受正比例函数的思想方法，使学生体会到事物间是密切相关的，受到辩证思想的启蒙教育。

二、学习过程：

（一）谈话导入：同学们喜欢看动画片吗？动画片中有一个人物我特别喜欢，他的特点是很会变，一下就猜中了，对，他就是孙悟空。孙悟空会七十二变，可他不管怎么变，他还是孙悟空这一点是不变的。咱们数学中也有这种现象：变中有不变，不变中有变（板书不变与变）比如这组题：

25×6=（ ）

25×12=(  )

25×18=(  )

36×25=(  )

从上到下观察一下：谁不变？谁在变？那谁还会变？你想口算还是笔算？（通过这个练习，让学生整体观察题目，初步感受有不变的量，有变的量，发现不变中有变，应用积的变化规律能简便解决问题）

（二）探究新知：

题目1、卡车甲在普通公路上匀速行驶，4小时可以行140千米。

卡车乙以同样的速度行驶，时间是卡车甲的2倍，卡车乙一共行了多少千米？

1、读题联想：已知条件有哪些？（甲的时间、路程）乙以同样的速度联想到什么？（速度没变）时间是卡车甲的2倍联想到什么？（时间是4×2=8小时，）板书：甲速度×时间=路程

                                               4    140

2、列式解答，交流两种算法。

a.4×2=8（小时） 140÷4=35（千米） 8×35=280（千米）

  b.140×2

重点分析第二种做法：为什么用甲的路程140乘2？

板书速度×时间=路程

       不   ×     ×   

       变   2      2        

如果时间是甲的4倍呢？5倍呢？师：如果速度变了呢？（这一环节引导学生对比分析速度不变，时间变了，路程也随着变了，感受量的变化，初步渗透正比例函数的思想）

题目2、小轿车在高速公路上行驶的速度是卡车甲的3倍，小轿车用同样的时间可以行（       ）千米。

1、读题联想：“小轿车的速度是卡车甲的3倍”，能联想到什么？（小轿车的速度变了）“同样的时间”联想到什么？（时间不变，还是4小时）

2、列式解答，交流两种算法：

a140÷4=35（千米）  35×3×4=420（千米)

b.140×3=420(千米)

分析第二种做法：为什么用路程乘2？

板书速度×时间=路程

      ×    不    ×

       3    变     3

如果速度是甲的4倍呢？5倍呢？师：如果时间变了呢？

(这一题与上题不同之处是时间不变，速度变了，路程也随着变了，进一步感受不变与变)

3、总结规律：通过刚才做这两道题，你发现了什么？（速度×时间=路程，这三个量的变化联系紧密。速度不变时，路程会随时间的变化而变；时间不变时，路程会随速度的变化而变化。）你喜欢哪种方法？师：解决问题时边读边联想，是一种好的学习习惯。从整体分析谁没变，谁变了，应用积的变化规律解答，这更是一种智慧。

题目3、苹果 5元：3千克     香蕉 10元：2千克

  妈妈打算买6千克苹果和4千克香蕉，应付多少钱？

1、 读题分析，用不同线条区分关于苹果的和关于香蕉的已知条件。

2、 联想：苹果5元买3千克，妈妈买6千克联想到什么？香蕉10元买2千克，妈妈买4千克联想到什么？

3、 学生独立解答

交流：单价×数量=总价，单价不变，数量是原来的几倍，总价也应乘几。

（ 在单价×数量=总价这一数量关系中，学生已能用观察、对比、联想的方法灵活应用积的变化规律解决问题）

（三）总结解题步骤：

1、边读题边联想哪个量没变？哪个量变了？

2、分析数量关系。

3、应用积的变化规律解决。

（总结学习过程，加深对不变与变的感受，提升分析问题解决问题的方法）

（四）练习巩固:

1、一个长方形花坛的长是12米，面积是72平方米，如果它的长扩大2倍，面积是多少？

2、一套漫画书45元，买12套需要花多少钱？一套百科全书的价钱是漫画书的2倍，12套需要花多少钱？

3、一辆长途客车3小时行了174千米。照这样的速度，它12小时可以行多少千米？

4、一只山雀5天大约能吃800只害虫，照这样计算，一只山雀一个月大约能吃多少只害虫？（一个月按30天计算)

5、下面这块长方形绿地的宽要增加到24米，长不变,扩大后的绿地面积是多少？

（2、3、4、5题都是可以用两种方法，一种常规的方法，一种是应用积的变化规律的方法）

6、张爷爷买3只小羊用了75元。他还想再买5只这样的小羊，需要准备多少钱？（这道题目中的数量变化不是整倍数，不能应用积的变化规律，与前几道形成对比，使学生灵活应用积的变化规律。）

三、教后反思：本节课的例题题目与以前不同的是用常规方法很麻烦，而且有的用学生现有的知识解决不了，因此我引导学生观察、对比、联想，逐渐形成有序地分析问题的能力和习惯，应用所学的规律简便解决了问题，并在这一过程中较好的渗透了正比例函数的思想。