期权定价模型概述

　　期权交易本质上是未来在标的证券买卖中，权力和义务之间的交易，而并非单纯的标的证券的交易，其交易价格也不能像期货那样简单通过标的证券价格贴现来计算，因此期权成为了目前衍生品市场中最为复杂的一员。对于欧式期权，目前业界主流的定价方法是采用Black-Scholes（以下简称BS）模型和二叉树模型，而对于美式期权的定价目前还没有公认的方法。下面我们将概括介绍这些模型的原理以及相关假设。

　　二叉树定价模型

　　模型假设：

　　1.股票价格遵循随机游走，股票价格是离散跳跃的

　　2.股票价格只能按固定比率上升或下降

　　2.没有任何交易费用

　　3.期权不会提前执行，股票也不会派任何红利

　　4.期权的标的股票数量为一个单位

　　简单二叉树模型：

　　构造一个股票与期权的无风险组合，使得不管股价是上升还是下降，这个组合的价值都是相等的。根据无风险套利原理，组合期末价值的贴现值等于组合期初的价值。

　　如图1，假设当前股价S为10元，上涨时收益率为10%，下降时收益率为-10%（可以计算风险中性上涨概率约为50%，且与实际套利策略无关），执行价格K为10元，无风险利率为5%，剩余期限1个月（1/12年）。构建证券组合：买入d股股票(d为对冲比例)，同时卖出一份价格为C的看涨期权，初始成本为10d-C。股价可上升为11元或者下降为9元（二叉树假设），对应的期权到期收益为1元或者0元。那么到期日证券组合价值分别为11d-1和9d。当两种情况的证券组合价值相等时，这个证券组合就是无风险的证券组合。即：11d-1=9d，可以得出股票的买入数量d=0.5。在这种情况下，该组合是无风险的，收益率一定是无风险利率。由无套利原理可知，该组合现值一定等于期初构造该组合的成本：http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/aCStQEEpnfpCj9zIjDxUBUtwXY6ric1OEN6K05koBl2YIPWWg1IZa8ictM7XWM8CV5skk5RF9lkMialg6DffSEScQ/640?wx_fmt=jpeg&tp=webp&wxfrom=5，最后得出当前期权价格为C=0.52元。

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　　多期二叉树模型

　　多期二叉树模型是假设在期权有效期内分为多个时期，股票价格在每一期都有两种变化方向，即上升或者下降。我们考虑2期二叉树模型，只需要使用单期二叉树模型通过回溯法计算各个节点的期权价格，最后就能算出期初的期权价格。需要注意的是多期二叉树的每个节点的对冲比率d一般来说是不同的，也就是为了维持组合的无风险性，需要改变组合里股票的数量。图2是之前例子的继续，如果标的价格按照图2进行发展，那么看涨期权的价格为0.54（标的走势的数值为粗略估计，具体计算稍微复杂，本文不多表述）。

　　BS定价模型

　　BS模型基于市场无风险套利机会，以及市场现有的状态（标的期望收益率、波动率、无风险利率）不变的假设，下面我们对模型做以下简单的介绍。

　　模型的基本思想：

　　推导BS模型的过程中需要构建一个由期权与标的股票所组成的无风险交易组合，在无套利机会条件下，该证券组合的收益必定为无风险利率。一般可以默认标的价格服从几何布朗运动，通过伊藤引理可以推导出无套利市场中期权的价格录。

　　BS模型欧式看涨期权定价公式：

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　　其中，http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/aCStQEEpnfpCj9zIjDxUBUtwXY6ric1OEs1SJNrU5h9I8EoIiarepDgERCI2eIngzJKsiajx1gz8ZAuoxX9xcxAxQ/640?wx_fmt=jpeg&tp=webp&wxfrom=5

N(x)是标准正态分布变量的累计概率分布函数，S为标的股票的期初价格，K为期权的执行价格，σ为股票的波动率，r为连续复利的无风险利率，T是期权到期期限。由BS模型可以看出，对于股票的期望回报率μ并没有出现在模型中，也就是说，投资者的风险偏好并没有影响期权的定价，任何投资者来说对同一期权都有一个相同的价格。

　　模型的假设：包括期权定价理论在内的各种金融资产的定价理论，都是建立在以下5条关于金融市场一般特征的假设基础之上。

　　1.市场不存在摩擦。即金融市场没有交易成本，没有保证金要求。

　　2.市场参与者不承担对家的风险。即合同对家不存在违约的可能。

　　3.市场是完全竞争的。即任一位参与者都是价格的承受者，而非价格的制定者。

　　4.市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。

　　5.市场不存在套利机会，即套利机会很快消失。

　　Black和Scholes在推导BS模型时，除了要求上述5条假设成立外，还做了如下4条基本假设：

　　1.无风险利率r已知，且为一不随时间变化的常数。这对绝大多数金融衍生品而言是合理的估计，然而对利率衍生品而言，无风险利率为常数的假设是不合适的。

　　2.标的资产价格是连续的，其变化服从几何布朗运动，且收益率服从正态分布。其中服从布朗运动的前提是市场是弱势有效的，即过去的价格不会影响将来的价格，这一点并不总是成立。另外收益率也不完全服从于正态分布，尤其是新兴市场的股票收益率存在比较明显的负偏态。

　　3.标的股票不支付红利或其他收益。这一点比较容易得到修正。

　　4.期权是欧式期权，即期权只能在合约的到期日才能被执行，这一点也可以得到修正。

　　BS模型中的希腊字母及作用

　　Delta定义为期权的价格变化对其标的资产价格变化的比率。它是期权价格与标的资产价格关系曲线的斜率。若某股票看涨期权的delta为0.6，则当股票价格变化一个单位时，该期权价格变化约为0.6个单位。可以使用delta对期权风险进行对冲，即买入delta份股票同时卖出一份看涨期权。值得注意的是delta值在不断地变化，投资者的保值头寸保持delta对冲状态只能维持一个相当短暂的时间，所以需要不断调整保值头寸。

　　Gamma定义为资产的delta变化相对于标的资产价格变化的比率。它等于资产价值对资产价格的二阶导数，衡量了delta变化相对于资产价格的敏感度。Gamma越大，运用delta对冲策略效果越差。

　　Theta定义为在其他条件不变时，该证券组合的价值变化相对于时间变化的比率，有时theta也被称为有价证券组合的时间损耗。单个期权的theta通常是负数，因为随着到期日的临近，期权的时间价值就会变得越来越低。

　　Vega定义为有价证券组合的价值变化与标的资产波动率变化的比率，衡量了证券组合的价值对波动率变化的敏感度。Vega越大，证券组合的价值对波动率的变化越敏感。

　　Rho定义为有价证券组合价值变化与利率变化之间的比率，衡量了有价证券组合的价值对利率的敏感性。

　　Black定价模型

　　Black模型特点是用与期权相同期限远期的价格来代替标的的当前价格，这一点与BS模型有所不同。Black模型最初用于对一般的商品期货期权进行定价，对它经过适当的变换，可以得到一个确定形式的解，来决定欧式债券期权、期货期权、利率上限、利率下限以及欧式互换期权的价格。Black模型假设与BS模型的不同之处在于： Black模型并没有假设标的物服从几何布朗运动，但是有一个相对较弱的假设：在T时刻标的资产价格http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/aCStQEEpnfpCj9zIjDxUBUtwXY6ric1OE0zbVRmFBsKAK5C8fZJzlXZqASy8PRpsSJiclnLmP2KNkW7mrVYbwM2g/640?wx_fmt=jpeg&tp=webp&wxfrom=5。

　　基于BS模型的定量分析

　　期权具有不固定的杠杆率，并且可以投资标的波动率，这些特点都是其他投资工具所不具备的；另一方面，同一标的存在不同行权价、行权期的期权，进而演变出千变万化的投资组合，所以我们有必要理清期权价格、杠杆及其希腊字母与外界变量之间的关系。

　　以下将通过一系列图表来分析期权价格以及主要希腊字母。下列各图基本假设：行权价格10美元，市场波动率30%，市场无风险利率5%，近月合约距行权期30天，远月合约距行权期90天，假定行权日为每个月30日（这里是为了说明方便，美国行权日是每个月第三个周五之后1日）。另外，在对期权做价内和价外分别讨论时，我们以5%的深度为标准，主要原因是超过5%深度的价内、价外期权的成交量较少，一般情况下投资者对此类期权使用较少。

　　权利金分析：主要受标的价格影响：

　　套利者往往特别关注期权的细微变化，市场上的套利空间一般都很小，而且转瞬即逝，因此套利者需要根据市场的变化，对期权价格的变动幅度做出及时、准确判断。在影响权利金的因素中，标的价格变化产生的影响最大、其次是波动率变化，无风险利率变化的影响较小。下面具体分析各因素的作用：

　　标的价格对权利金的影响：对于看涨期权，权利金随标的价格升高而升高，但是两者相关性系数略小于1；对于看跌期权，权利金随标的价格升高而降低，但是两者相关性系数略大于-1。与期货相比：多方期货与标的相关系数等于1，也就是说其期货在投资层面上可以看作是杠杆化的标的。而期权不仅仅是标的杠杆化，其价格与标的价格是非线性的（凸性）关系。如下图，对于看涨期权，当标的价格升高时，权利金升高的速度越来越快；当标的价格下降的时候，权利金下降的速度越来越慢。这种凸性效应对买方是有利的，其代价则是时间价值的损失。对于看跌期权，权利金随着股票价格下降而升高，而且升高速度越来越快，除了权利金变化方向与看涨期权相反，其他方面都类似。

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　　从定量的角度分析，对于近月看涨期权，标的价格在9.5、10、10.5美元的时候，权利金分别为0.15，0.36和0.68（美国期权乘数为100美元），标的每变化5%，权利金相应变化82%，74%和62%左右。对于3个月到期合约，对于上述三种情况，权利金分别为0.41，0.65和0.97，即标的每变化5%，权利金相应变化47%，43%和39%左右。可见，权利金随标的价格增长而呈现出加速增长，收益率呈减速增长，近月合约的杠杆效应大于3个月到期合约。

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　　结合美国股指变化情况：2003-2011年，美国SP500指数1个月内最高最低点位相差超过5%的概率是69%左右。从上表可知，当权利金变化超过5%的时候，近月合约价格至少变动62%，也就是说期权在最后一个月，价格变化幅度超过60%比较常见；而对于行权期剩余三个月的期权，一个月内的涨跌幅也经常会在40%左右。

　　标的波动率对权利金的影响：其他条件不变时，期权权利金随着标的价格波动率升高而升高。因为期权买方是有行权权利，并且不需要承担行权义务，所以波动率提高可以增加正面收益（标的走势与期权方向相同）的概率，进而提高期权的期望值；同时也会增加负面收益（标的走势与期权方向相反）的概率，但是由于持有者可以选择不行权，因此负面概率对期权期望值影响较小。

　　通过平价公式可以推出，同一标的、行权价、行权期的看涨和看跌期权的Vega值相同，即波动率对两者权利金影响相同，因此以下我们只分析看涨期权。现实中权益类标的的波动率大多是在15%到65%之间，下面我们主要研究这一区间的权利金的变化情况。

　　由下图（左）可知，权利金与波动率基本上呈线性关系，且波动率对权利金影响程度（Vega）与标的价格基本无关。这里为了说明方便，定义波动率弹性的概念：http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/aCStQEEpnfpCj9zIjDxUBUtwXY6ric1OEIhtiaba8icEHUgqKDEAvuV6l2ibnRBJZBPJmM3DNzV0lvNjjK30SwVacA/640?wx_fmt=jpeg&tp=webp&wxfrom=5为波动率弹性，C为看涨期权价格，V为标的波动率。下图（右）可见，一般来说，波动率越大，波动率弹性越小。对于投机波动率的投资者，一般喜欢较高波动率弹性的期权，此类投资者偏爱近月价外期权；而对于其他投资者，则大多喜欢较低波动率弹性的期权，因为他们不愿意承受由波动率带来的额外风险。

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　　定量的角度上看，对于近月价内合约，波动率在20%、25%、30%的时候，波动率每变化5%，权利金相应变化7%左右。对于价外近月合约，波动率上述在三个数值时，波动率每变化5%，权利金相应变化分别在50%、42%、36%左右。波动率对权利金影响归纳为：从绝对变化数值上看，远月期权受波动率影响较大，主要是因为远月期权的时间价值较高。从变化率上看，价外近月期权受波动率影响最高，之后是价外远月期权，价内期权受波动率影响较小，主要原因是近月价外合约权利金较低。

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　　结合美国股指波动率变化情况，2003-2011年，美国市场波动率并不稳定，使得在30天内，波动率最大值与最小值差别超过5%的概率分别为66%左右。相当于最后30天的持有期内，存在很大可能性，波动性对价内、平价、价外权利金涨跌幅度影响分别超过7%、17%，36%。

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　　行权期对权利金的影响：行权时间对期权的影响，主要体现在其时间价值上，因此下面我们去除价内期权的内在价值，进而分析行权期对时间价值影响。如下图，远月期权蒸发的绝对数值基本恒定，平价期权的时间价值本身较高，所以蒸发率较低，一般每天蒸发在1%-2%左右；价外期权蒸发速度较快，一般每天蒸发在2%-5%左右。成为近月合约后每天蒸发速度大幅提高，最后一天蒸发所有时间价值。

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　　定量的角度上看，价内行权期在45、30、15天的时候，权利金分别是0.77，0.69，0.59，每半个月下降11%-15%。平价行权期在这三个时间点上权利金分别是0.45，0.37，0.25，每半个月下降21%-36%。价外行权期在这三个时间点上权利金分别是0.23，0.16，0.07，每半个月下降38%-74%。从绝对变化数值上看，权利金基本上随时间线性下降。

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　　无风险利率对权利金的影响：无风险利率与标的价格对权利金的影响类似，看涨期权权利金随无风险利率增加而增加。当无风险利率变动相同单位时，价内期权的变动幅度较小。由下图可知，看跌期权与看涨期权的权利金关于利率的变动方向相反。

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定量的角度上看，对于近月价内合约，无风险利率在0%、2.5%、5%的时候，权利金分别是0.65，0.67，0.68，无风险利率每变化2.5%，权利金相应变化2%左右。对于价外近月合约，无风险利率上述在三个数值时，权利金分别是0.14，0.20，0.27，无风险利率每变化2.5%，权利金相应变化分别在35%、34%、32%左右。无风险利率对权利金影响归纳为：从绝对变化数值上看，远月、平价期权受无风险利率影响较大。从变化率上看，价外远月期权受无风险利率影响最高，近月价内期权受到影响较小。

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　　结合美国无风险利率变化情况，2003-2011年，美国隔夜拆借利率，在1个月内变化幅度超过25基点的概率为40.96%左右，而变化2.5%的概率非常小，因此即使对于价外期权，无风险利率对权力金的影响也非常小。（未完待续）

来源：国信证券