近似正7边形尺规作图法的数值验证及最终结论

 

一  尺规作图方法及基础点坐标的确定

 

1  先把任意长作为1份。用圆规在直线上连得7份。得的分点号为0、1、2、3、4、5、6、7(N)。

2  N作为坐标系原点，又是大圆的圆心，大圆半径R=7。

3  以3号4号的中点Q，作为小圆圆心，並以半径r=3.5作小圆。小圆圆心X轴上的Y都=3.5。

4  再作射线的左右起点A、B。A、 B是大圆与小圆心X轴线的交点。

5  B为右侧的射线起点，其圆方程为 X²+Y²=R²，其中R=7、Y=3.5。则有X²+3.5²=7²，得X=6.0621778、Y=3.5。

6  A为左侧的射线起点，其圆方程为 X²+Y²=R²，其中R=7、Y=3.5。则有X²+3.5²=7²，得X= -6.0621778、Y=3.5。A是B的对称点。

 

作图至此，便得射线B1、B3、B5、B7、A1、A3、A5、A7上各点的坐标:

                                                                          

     1     3     5     7(N)   小圆圆心Q       B            A       

X    0     0     0     0          0       6.0621778    -6.0621778  

Y    6     4     2     0          3.5         3.5          3.5

 

 

二  各射线方程的计算

 

多边形上的多个点，是用多个射线B1、B3、B5、…与小圆相交得到的。

例如B1射线与小圆相交得到C点。这时，待求点C(坐标为X、Y) 与已知点1(坐标为X1、Y1)、已知点B(坐标为XB、YB)位于同一直线，则有射线方程

(Y-YB)/(X-XB) = (Y1-YB)/(X1-XB)  …(1)

等式后项(Y1-YB)/(X1-XB)=K，其实就是射线的斜率K。代入已知坐标值，得K=(Y1-YB)/(X1-XB)=(6-3.5)/(0-6.0621778)=2.5/(-6.0621778)=-0.41239305

所以 (1) 式成为  (Y-YB)/(X-XB)=K= -0.41239305   …(2)，展开为

(Y-3.5)/(X-6.0621778)= -0.41239305

(Y-3.5)= -0.41239305 *(X-6.0621778) 最后，

射线B1的方程为Y=6 -0.41239305 X  

   同理:

射线B3的方程为Y=4-0.082479 X

射线B5的方程为Y=2+0.2474358 X

射线B7的方程为Y=0.5773503 X

A与B是对称点，X正负相反而Y相等。所以射线A1、A3、A5、A7不必重算了。

 

三  内接多边形的小圆方程的计算

 

小圆心坐标X=0、Y=3.5，半径r=3.5，则

小圆方程  (X-0)²+(Y-3.5)²= r² 展开为

X²+Y²-7Y+12.25=12.25  →  X² -7Y+Y²=0  →   Y=(7±√ (49-4X²))/2

 

 

四  在电子表格上解算射线与小圆的联立方程，得7边形各顶点坐标

 

内接多边形的各个顶点，是各条射线与小圆的交点，其坐标就是两者联立方程的解。

如，射线B1与小圆相交在C，要解联立方程

Y=6 -0.41239305 X          …  (B1射线方程)

Y=(7± √ (49-4X²))/2       … (小圆方程)

得  C点X=-1.548751   Y=6.6386894

 

解射线与小圆的联立方程很麻烦。我就在电子表格Excel上，用连续变动x的方法，求解两个Y。当两个Y相等时便录用。实际上取小数后6位相同就取平均值录用了。如C点的运算过程:

                                                                  

     输入X     小圆Y=(7±√(49-4X²))/2   射线B1 Y=6 -0.41239305 X

-1.548750829           6.638689355           6.638689354

-1.548750830           6.638689355           6.638689355  *录用

-1.548750831           6.638689354           6.638689355

最后，C点坐标录用为  X = -1.548751   Y = 6.6386894。

其他点相仿。最后结果汇总于下表。

                                                                                

射线 与 小圆的交点        X             Y           注          

B1  与      C       -1.548751     6.6386894   (详细计算见上)

B3  与      D       -3.4116615    4.2813885    

B5  与      E       -2.739821     1.3220700    

B7  与      N        0            0            

A5  与      F        2.739821     1.3220700    (E的对称点)

A3  与      G        3.4116615    4.2813885    (D的对称点)

A1  与      H        1.548751     6.6386894    (C的对称点)

 

五   7边形各边边长S及相应的中心角β的计算

 

计算公式及计算方法示例:

1  多边形各边边长S，即相邻点弦长S=√[(X _D-X _C)²+(Y _D -Y _C)²]

如CD边S=√[ (-3.4116615 + 1.548751)²+(4.2813885-6.63868945)² ]

S=3.0045479。

2  中心角β=ARC SIN(S/2/r) ，r=3.5。

如CDQ ， β=ARC SIN (3.0045479/7)*2 =ARC SIN (0.4292211)*2=

β=25.41814116 * 2 = 50.836282。

3  中心角β误差 = 实际角度 - 理论角度360/7。    最终结果如下表:

                                                                                                

点      已知 X        已知 Y     相邻点弦长S    中心角β(度)     误差 

C    -1.548751     6.6386894    CD= 3.0045479   50.836282   -35分

D    -3.4116615    4.2813885    DE= 3.034622    51.38199    - 3分

E    -2.739821     1.3220700    EN= 3.0342129   51.518216     5分

N     0            0            NF= 3.0342129   51.518216     5分

F     2.739821     1.3220700    FG= 3.034622    51.38199    - 3分

G     3.4116615    4.2813885    GH= 3.0045479   50.836282   -35分

H     1.548751     6.6386894    HA= 3.097502    52.52704     66分

A    -1.548751     6.6386894

      正7边形理论值   S= 3.0371855   β=51.428571428…   全文完