“蝴蝶定理”在长方形面积分割中的应用

1    一道小升初考题

长方形ABCD面积36。E为AD边上三等分点，AE=2ED。求阴影EGOF的面积。

我用自己的思路解题。

根据图形，有8块小面积X Y Z K P N H及一个9。有以下8个方程:

Z+H=6、 X+Y+Z=6 

K+X=9、 N+H=9、 P+Y+Z=9、 X+Y+N=9 （即9+X+Y+N=18）

P+Y+N=12、 K+P=12  

解题步骤：

1   由 K+P=12、 K+X=9 相减，得 P - X= 3   P=X+3

2   GAE ≈ GCB， (X+3) /(9+X) =4/9、 9X+27=36+4X、5X=9、得 X=1.8

3   由 P=X+3、  P=1.8+3 、得p=4.8

4   由 K+X=9、 K+1.8=9、 得K=7.2

5   由 P+Y+N=12、 4.8+ Y+N=12、 Y+N=7.2

6   由 X+Y+Z=6、   1.8+Y+Z =6、Y+Z=4.2、Y+N=7.2、N-Z=3、N=Z+3  

7   FED ≈ FCB，Z/(9+N)=1/9、9Z=9+N、N=9Z-9 =Z+3、 8Z=12、得 Z=1.5

8   由 N=Z+3 =1.5+3 、得N=4.5

9   由 N+H=9、 4.5+H=9   得H=4.5

10  由 X+Y+Z=6、 1.8+Y+1.5=6、得Y=2.7

答：阴影EGOF的面积为Y。Y=2.7

这个题表面上是用解方程来算的，但关键，在于两组三角形的相似。如果忽略了这种相似，只在8个方程中转圈子，那就解不出。但可以凑算出一个与实际图形不符合的多解。如:

X   Y   Z   K   P   N   H

1    1   4   8    4   7   2

1    2   3   8    4   6   3

1    3   2   8    4   5   4

2    2   2   7    5   5   4                         

2    3   1   7    5   4   5      等等    

这个算题在小学数学视频中，却是用“蝴蝶定理”来解的，过程没有上述运算那么复杂。而我在1951年上初中时，几何教科书上没有“蝴蝶定理”，所以只能通过解方程来解算。

而现在，小学生的初中入学考试中，却有“蝴蝶定理”这样的考题了，真感到时代的进步。

2 “蝴蝶定理”及原理

“蝴蝶定理”其实并不复杂，只是比例的一个应用。

任意四边形ABCD，两根对角线相交成4个三角形。我想像，这是一只蝴蝶。S1是头部，S3是身尾，而S2与S4是两只翅膀。

已知:同高的二个三角形，其面积之比等于底边之比。所以

左侧  S1/S2=AO/OC     右侧  S4/S3=AO/OC  于是

任意四边形的“蝴蝶定理”是: 

                S1/S2=S4/S3  或  S1*S3=S2*S4

梯形中，S2与S4是相等三角形。而S1与S3是相似三角形，它俩面积之比等于边长比之平方，所以梯形的“蝴蝶定理” 是:

S1*S3=S2*S4    S2=S4   S1/S3=aa/bb

3   用“蝴蝶定理”解算上题

1  OAD面积为9=P+Y+Z，只要算出P与Z，就轻松得Y=9-P-Z

2  解P 。长方形面积36，则梯形ABCE面积36-6=30。三角形AEG与BCG相似，边长比为2/3，面积比为4/9。即面积P=S1占4份，面积9=S3占9份，S1*S3=4*9=36。则S2*S4=36，而S2=S4，所以S2=S4=6，即K与Y+N各占6份。全部4+9+6+6=25份。1份是30/25=1.2。那么占4份的P=4*1.25=4.8。

3  解Z 。长方形面积36，梯形EBCD面积36-12=24。三角形EDF与BCF相似，边长比为1/3，面积比为1/9。即面积Z=S1占1份，面积9+N=S3占9份，S1*S3=1*9=9。则S2*S4=9，而S2=S4，所以S2=S4=3，即Y+X与H各占3份。全部1+9+3+3=16份。1份是24/16=1.5。那么占1份的Z=1*1.5=1.5。

4  Y=9-P-Z=9-4.8-1.5=2.7

答：阴影EGOF的面积为Y。Y=2.7