《同文算指》中“带从开方”一题的详解

一   前 言

 

在现代，已知正方形面积AA=M，求其边长A的计算，叫“开方”。√ M=A。如M=AA=864，则A=√ M=√ 864=29.3938769。。。这种纯然的数值开方，可以称之谓正宗传统的开平方。它是自乘的逆运算。

但在中国古算中，若已知长方形面积AB=M，及边长的差A-B=D时， (或边长的和A+B=D时 )，求其边B （或A）的计算，也叫“开方”，不过增加二个字，叫“带从开方”。如AB=864，A-B=12，转化为一元二次方程 B² +12B = 864 ，通式表示为 X² +bX = F 。其中一次项系数b=12，古称为“从法”。X² 与bX一起开方，便称之为“带从开方”， 算得B=24。有了B=24，则A=36。

由此可见，这种“带从开方”，其实不是真正意义上的数值开方，即不是自乘的逆运算，而是一种解算一元二次方程的方法。扩展一下，也可用来解一元三次方程。

“带从开方”的具体开法，表面看，与正宗传统的开方相仿，但实质不同。中间运算也比传统开方要烦复得多。我曾做过二道“带从开方” 题，一道是《数书九章》中的古池推元，一道是《缉古算经》中的开三次方X³+136X²+5918.72X=125974.233。

成书于1613年明代的《同文算指》中，便有近20道“带从开方”题。我又要用现代手算方法复习一下，并对第一题原文作一解释，以检验我的解题能力。

 

 

二   再说“带从开方”的原理

 

中国古算有个传统，无论除法或开方，都是按千、百、十、个，一位一位求算，而不是一次性求算的。例如M=237169，X=√237169=487，不是马上算出487，也不是先求出A=450，再求出B=37的，而是先求出A=400，再求出B=80，再求出C=7，共三次。那么是不是就将X分为A、B、C，即令 X= A+B+C呢？不， X始终只分解为两个位的A、B。A是高位，B是低位。

第一轮A₁=400是高位，B₁=80是低位。第二轮A₂=A₁+B₁=480是高位，B₂=7是低位。第三轮A₃=A₂+B₂=487是高位，B₃= .。。。是低位。这样就可以一位位一直开方下去。

 

“带从开方”，解 方程X² +bX = F 。X是一位一位求算的，于是令X=( A₁+B₁)。则

 X²+bX =(A₁+B₁) ²+b (A₁+B₁) =F，…(1)   F叫自由项。

先估出A₁（是估，不是算。怎样估？有点玄，说白了就是一个凑），用A₁代入，得 A₁²+bA₁=V1 …(2)  

由于A₁， V1必定小于F，计算F-V1=F1，F1叫第一次剩余项。

经过上述计算，得剩余项F1，再估B₁（是估、凑，不是算）。用B₁代入公式。这个公式还是(2)的形式 B₁²+bB₁吗？不是的。怎样算呢？答，由于已用A₁算过，即用(2)式算过 ，整个方程就剩余为 (1)-(2)=(3)了。所以应该用(3)式计算。下面看 (3)式如何来。

(A₁+B₁)²+b(A₁+B₁) =F              … (1)   可展开成等价的  

A₁²+2 A₁B₁+B₁²+bA₁+ bB₁  = F          … (1)   则

    -  A₁²                        -bA₁            =V1          … (2)      

2 A₁B₁+B₁²                 + bB₁   = F-V1 =F1     … (3)

B₁²+(2 A₁+b)B₁ = F1                      … (3)

  变换为      (B₁+2 A₁+b) B₁ = F1                      … (3)

    现在就用B₁代入方程(3)计算，得 (B₁+2 A₁+b) B₁=V2  如果V2=F1，开方开尽。如果V2不等于F1，则计算F2=F1-V2，叫第二次剩余项，再开下去。

 

这里，要注意(3)式的X项系数已由(2)式的b，变为现在的(2 A₁+b)，增加2 A₁了。由此可知，为什么不能用(2)式的道理。

如果还要开下去，就进入第二轮。

按先例，又要估A₂，但现在不必再估A₂了，因为有了(A1+B1)作为A₂，且方程剩余项F1也有了，所以不必再估A₂了。

再估B₂（是估，不是算），用这个B₂，代入(3)式算。但要注意，此时X项系数(2 A₁+b)中的A₁变为A₂，成为(2 A₂+b)了。代入B₂后，(3)式成为(B₂+2 A₂+b)B₂=V3 ，如果V3=F2，开方开尽。如果不相等，则计算F3=F2-V3，叫第三次剩余项，再开。这样可以一直开下去。

要注意，每一次代入B，都要小心注意X项系数的变化，要调整X项的系数(2 A_N+b)，其中A_N指A₁、A₂、A₃ …

这就是 “带从开方”的原理、计算步骤与方法。

 

 

三     对《同文算指》例一原文的解释

 

《同文算指》例一为:

假如有直田积864步，阔不及长12步，求阔几步。

题意:直角长方形农田，长A、阔B，已知面积F=AB=864平方步，A-B=12步。求B=？接着便用“带从开平方”算得阔B=24步。

 

原文，及我的解释如下：  

1  列实定位、以带纵12随首位列之。 / 长方形面积864称为实。将864与带纵12，列为二行，作筹算布局。

2  初商2，记格右，亦列首点下。 / 先确定初商为2，2的算筹放在点下。所谓“点”，实际上是开平方时两位一撇的记号。2放在十位的点上，初商2，即20，又记于右侧。

3  以并带纵1，共3 。乃变壹贰，注三 /  即初商2与带纵12中的1合并，2+1=3，即20+12=32，将3附注在1下，这样，原12与32都可看到。

4  相呼二三除六。/ 算20*32，先是2*3=6，实际是20*30=600。

5  三上捌，变二。/ 三上捌，指32的3，在下行，864的8在上行。现800-600=200，筹算相减，8变为2。

6  二二除四 / 再算20*（32中的2）=40，

7  贰上陆变二。/ 864中的64-40=24， 原64现变为24，即6变为2。但末位4不动，所以原文不再说了。

完。首段余实224步  即原实864，减去20*32=640之后，剩下224。

上述原文即先定初商20，→20+12=32 → 864 -(20*32)=864-640=224

由于是筹算，所以原864不保留，己变为余实224了。

 

以下是求次商。

8  次倍2作4，为廉法。/  2即初商，次倍2作4，即2*2=4，实际是2*20=40。之所以要乘2，这是手工开平方的特点，即X² 的导数2X。

9  挨退位下，亦列带纵，以廉4并纵一，其下列5，/  即2*20+12=52

10  次商4，记格右，亦注末位点下，为隅法。以并隅2下，注六/  选择次商4，放在个位记号下。52+4=56，因为已有5，所以将2改为6。

11  乃相呼除 /  于是用乘法口诀，在余实224中扣除乘积24*56。

12  先呼5、4除20， 进抹2 /  24*56=244先筹算4*50=200，在224中抹去200，留下24。

13  呼4、6、24。恰尽。得阔24步。/  再筹算4*6=24，24 -24=0，便抹去24。除尽了。

最后，初商20加次商4 ，得24，即阔24步。

应该指出，《同文算指》的叙述太简略。当然，实话实说，用文字来叙说筹算的“带从开平方”的确十分困难。即使略有古算开方知识者，也很难理解清楚。

 

对上述原文的解释，简直是我“详签”一样的摸索出来的，见下面的具体运算，就可明白其大意了。

 

四   示 例

 

由F=AB=864、A-B=12，可以得到A=(B+12) 。于是F=AB=（B+12）B =864  或 

 B² +12B = 864 。以X为所求量，则 通式可表示为:  

 X² +bX = F  即  X² +12X = 864 。注意，一次项系数b=12。

 

 X² 带着12X一起开方，除法形式的手算开方如下：

 

初商                      2  0         A₁ =20

除数（A₁+b）=20+12 =32        /  8  6  4         F

                                                               -  6  4  0       20*32

                                                                  2  2  4       F1

    

                    

                                           次商                         4          B₁=4   A₁=20         

除数（B₁+2A₁+b）=4+2*20+12=56   /  2  2  4         F1     

                                       -  2  2  4          4*56                 

                                                  0          F2

     B=20+4=24    A=36    AB=36*24=864   正确

 

 

五   “带从开平方”的灵活运算

                                            

古代筹算或珠算，不留底。每算一次，算筹就变化。只有一位位算才可运筹。所以开方的各个商，只能以万、千、百、十、个，一个个估。

现在用笔算，能留下全部数据，可以作多位数的加减乘除，所以估商时不必一位位估，也可以估二位数。开过头还可以来一个负商，去抵消。最后把各商加起来就行。只是有一个原则，剩余值为0。我自创一例于下，不怕见笑。

 

X² +12X = 864    X=？

 

  初商                     1  3        A₁ =13

除数（A₁+b）=13+12 =25        /  8  6  4                  F

                                                             -  3  2  5              13*25

                                                                   5  3  9          F1

                    

                                              次商                     6         B₁=6        A₁=13         

除数（B₁+2A₁+b）=6+2*13+12=44   /  5  3  9            F1     

                                       -  2  6  4          6*44                 

                                          2  7  5           F2

                

                                             次商                       7          B₂=7         A₂=13+6=19         

除数（B₂+2A₂+b）=7+2*19+12=57   /  2  7  5           F2     

                                       -  3  9  9         7 *57                 

                                        - 1  2  4          F3 

       

                                            次商                        -2       B₃= -2  A₁=19+7=26         

除数（B₃+2A₃+b）= -2+2*26+12=62   /-  1  2  4                F3     

                                           +  1  2  4             -2*62= -124                 

                                                       0          F4 

X=13+6+7-2=24

通过这个算例，说明“带从开平方”也有灵活性，做多了，也就不太难了。